سلسلے اور تسلسلالجبرایونیورسٹی≈ 3:06

(-1)ⁿ/n کا n=1 سے ∞ تک مجموعہ معلوم کریں

ایک متحرک مرحلہ وار سبق۔ ہر مرحلہ سب ٹائٹلز کے ساتھ دیکھنے کے لیے چلائیں دبائیں، یا نیچے مراحل اور مکمل متن پڑھیں۔ جواب: سیریز مشروط طور پر کنورج کرتی ہے (آلٹرنیٹنگ سیریز ٹیسٹ); مجموعہ ≈ -0.6931471806 (مطابقت رکھتا ہے −ln(2) 10+ ہندسوں تک).

رفتارزبان

ابواب

ٹرانسکرپٹ

ریکارڈ شدہ ویڈیو: آواز اور تصویر میں لکھی تحریر انگریزی میں ہے۔ سب ٹائٹلز: اردو۔ اس زبان میں نیریشن (وضاحت) کے لیے، انٹرایکٹو ورژن کھولیں۔

انگریزی ویڈیو: MP4 ڈاؤن لوڈ کریں (1.1 MB) · سب ٹائٹلز (WebVTT): اردو · انگریزی کیپشنز (WebVTT)

اسکرین پر مراحل

1. سوال
حل شدہ مثال
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. مراحل، حصہ 1
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  سلسلہ لکھیں
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  n ویں رکن کی آزمائش
3. متبادل سلسلے کی آزمائش
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  p سلسلے سے حدی موازنہ
3. مراحل، حصہ 2
1. مطلق یا مشروط؟
2. مجموعے کا عددی اندازہ
4. جواب
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{مشروط طور پر مرتکز} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. جانچ
- جزوی مجموعے (معاون شہادت، ثبوت نہیں): S₁₀ = -0.64563492، S₁₀₀ = -0.68817218، S₁₀₀₀ = -0.69264743، S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

مکمل متن

سوال. یہ رہا سوال: (منفی 1) کی طاقت n/n کا n برابر 1 سے انفینٹی تک مجموعہ معلوم کریں. معلوم کریں کہ 1 سے ∞) تک Σ (منفی 1) کی طاقت n / n (n مرتکز ہے یا منتشر۔

مراحل، حصہ 1. سلسلہ لکھیں. Σ a(n) برائے n برابر 1, 2, 3، … جبکہ a(n) برابر (منفی 1) کی طاقت n / n۔ پہلے ارکان: منفی 1, 0.5, منفی 0.333333, 0.25، …. n ویں رکن کی آزمائش. lim |a(n)| برابر 0، اس لیے انتشار کی آزمائش غیر فیصلہ کن ہے؛ ارکان گھٹتے ضرور ہیں، اس لیے زیادہ باریک آزمائش درکار ہے۔ متبادل سلسلے کی آزمائش. علامتیں باری باری بدلتی ہیں اور مقداریں b(n) برابر 1 / n گھٹتی ہیں (10 کی طاقت 6) تک کے 310 اشاریوں پر جانچا گیا) اور 0 کی طرف جاتی ہیں، اس لیے سلسلہ مرتکز ہے۔ p سلسلے سے حدی موازنہ. مطلق قیمتیں Σ 1 / n: ارکان تقریباً 1/n کی طرح گھٹتے ہیں (a(2N)/a(N)) سے اندازہ)، اس لیے Σ 1/n سے موازنہ کریں: lim a(n) ضرب n برابر 1۔ حد ایک مثبت متناہی عدد ہے، اس لیے سلسلہ بالکل p سلسلے Σ 1/n جیسا برتاؤ کرتا ہے، جو منتشر ہے کیونکہ p سے کم یا برابر 1۔

مراحل، حصہ 2. مطلق یا مشروط؟. Σ |a(n)| منتشر ہے (Σ 1/n) سے حدی موازنہ)، اس لیے سلسلہ صرف مشروط طور پر مرتکز ہے۔ مجموعے کا عددی اندازہ. جزوی مجموعے S N کئی N کے لیے نکالے گئے اور N → ∞ تک بیرونی تخمینہ لگایا گیا (رچرڈسن تخمینہ؛ متبادل حدوں میں پہلے اوسط لیا جاتا ہے)۔ دو آزاد تخمینے 10 کی طاقت منفی 10 سے بہتر متفق ہیں اور S تقریباً منفی 0.6931471806 دیتے ہیں۔ دکھائی گئی بند شکل ایک عددی شناخت ہے، ثبوت نہیں۔

جواب. تو جواب ہے سیریز مشروط طور پر کنورج کرتی ہے (آلٹرنیٹنگ سیریز ٹیسٹ); مجموعہ تقریباً منفی 0.6931471806 (مطابقت رکھتا ہے منفی ln(2) 10+ ہندسوں تک). سلسلہ اس وقت مرتکز ہوتا ہے جب اس کے جزوی مجموعے کسی متناہی عدد کے قریب پہنچیں۔ اس کے لیے ارکان کا 0 کی طرف جانا ضروری ہے، مگر صرف اتنا کافی نہیں (ہارمونک سلسلہ منتشر ہے)، اس لیے فیصلے کے لیے موازنہ، نسبتی، جذری، متبادل یا تکملی آزمائش استعمال ہوتی ہے۔

جانچ. جزوی مجموعے (معاون شہادت، ثبوت نہیں): S₁₀ برابر منفی 0.64563492، S₁₀₀ برابر منفی 0.68817218، S₁₀₀₀ برابر منفی 0.69264743، S₁₀₀₀₀ برابر منفی 0.69309718.

اسکرین پر مراحل

مکمل متن

اس جیسے مزید اسباق