বিন্যাস ও সমাবেশের ব্যাখ্যা

গণনার মূলনীতি

গণনার সমস্যা জানতে চায় কোনো কিছু কত উপায়ে ঘটতে পারে। এর ভিত্তি হলো গণনার মূলনীতি: একটি বাছাই $m$ উপায়ে এবং দ্বিতীয় একটি স্বাধীন বাছাই $n$ উপায়ে করা গেলে দুটি একসঙ্গে $m \times n$ উপায়ে করা যায়। ধারণাটি যেকোনো সংখ্যক ধাপে প্রসারিত হয়।

আপনার 3টি শার্ট, 4 জোড়া প্যান্ট ও 2 জোড়া জুতা থাকলে আপনি $3 \times 4 \times 2 = 24$টি ভিন্ন পোশাক-সমাহার বানাতে পারেন। 0 থেকে 9 অঙ্ক দিয়ে, পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত রেখে, চার অঙ্কের একটি পিনের $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10{,}000$টি সম্ভাবনা আছে। এই নিবন্ধের প্রতিটি সূত্র এই গুণেরই সংক্ষিপ্ত রূপ, তাই কোনো সমস্যা অপরিচিত মনে হলে ধাপে ধাপে গোনায় ফিরে যাওয়া সবসময় একটি নিরাপদ বিকল্প।

ফ্যাক্টোরিয়াল

$n$টি ভিন্ন বস্তুর সবগুলোকে এক সারিতে সাজালে প্রথম অবস্থানের জন্য $n$টি বিকল্প, দ্বিতীয়টির জন্য $n - 1$টি, এভাবে নামতে নামতে 1 পর্যন্ত। এই গুণফলকে $n$ ফ্যাক্টোরিয়াল বলে:

তাই $5! = 120$: পাঁচটি বই একটি তাকে 120টি ক্রমে সাজানো যায়। সংজ্ঞা অনুযায়ী $0! = 1$, যা নিচের সূত্রগুলোকে সুসংগত রাখে, কারণ কিছুই না সাজানোর ঠিক একটি উপায় আছে। ফ্যাক্টোরিয়াল বিস্ময়কর দ্রুত বাড়ে: $10! = 3{,}628{,}800$, আর ভাঁজ করা এক প্যাকেট তাসের $52!$টি সম্ভাব্য ক্রম আছে, যা 68 অঙ্কের একটি সংখ্যা।

বিন্যাস: ক্রম গুরুত্বপূর্ণ

বিন্যাস হলো $n$টি ভিন্ন বস্তু থেকে বেছে নেওয়া $r$টি বস্তুর একটি ক্রমযুক্ত সাজানো। ক্রম গুরুত্বপূর্ণ বলে প্রথম-দ্বিতীয়-তৃতীয় আর তৃতীয়-দ্বিতীয়-প্রথম আলাদা। বিন্যাসের সংখ্যা

গোল টেবিলের চারপাশে মানুষ বসানো একটি বিশেষ ক্ষেত্র। সবাইকে এক আসন ঘোরালে একই সাজানো পাওয়া যায়, তাই $n$ জন মানুষকে $(n-1)!$টি ভিন্ন উপায়ে বসানো যায়। একটি গোল টেবিলের চারপাশে ছয়জনের $5! = 120$টি সাজানো আছে, 720টি নয়।

সমাবেশ: ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়

সমাবেশ হলো এমন বাছাই, যেখানে কেবল সদস্যপদই গোনা হয়। একটি কমিটির জন্য আনা, বেন ও কারাকে বেছে নেওয়া যেকোনো ক্রমেই একই কমিটি। $r$টি বস্তুর প্রতিটি দল $r!$টি বিন্যাসের সংশ্লিষ্ট, তাই আমরা সেগুলো ভাগ করে বাদ দিই:

সমাবেশ প্রতিসম: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$, কারণ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য 3 জন বেছে নেওয়া আর বাদ রাখার জন্য 5 জন বেছে নেওয়া একই কথা। এরা প্যাসকেলের ত্রিভুজের ভুক্তি এবং $(a + b)^n$-এর দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগও।

কোনটি ব্যবহার করবেন কীভাবে বুঝবেন

একটিই প্রশ্ন করুন: বেছে নেওয়া দুটি জিনিস অদলবদল করলে কি ভিন্ন ফল পাই? হ্যাঁ হলে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ এবং আপনার বিন্যাস দরকার। না হলে সমাবেশ ব্যবহার করুন।

• অবস্থান, র‍্যাঙ্কিং, পাসওয়ার্ড, বসার পরিকল্পনা ও সময়সূচি: বিন্যাস।
• দল, কমিটি, তাসের হাত, লটারির টিকিট ও পিৎজার টপিং: সমাবেশ।
• একটি দলের ভেতরে ভূমিকা, যেমন একজন সভাপতি ও একজন কোষাধ্যক্ষ, মানুষগুলো একই দল থেকে এলেও ক্রমকে গুরুত্বপূর্ণ করে তোলে।

একটি দ্রুত যাচাই: বিন্যাসের সংখ্যা সবসময় সমাবেশের সংখ্যার $r!$ গুণ। আপনার দুটি উত্তর এই সম্পর্ক না মানলে একটি ভুল।

পুনরাবৃত্তি ও পুনরাবৃত্ত অক্ষরসহ গণনা

জিনিস পুনর্ব্যবহার করা গেলে সূত্র বদলে যায়। পুনরাবৃত্তিসহ ক্রমযুক্ত বাছাইয়ের সংখ্যা $n^r$, যেমন পিনের উদাহরণে। পুনরাবৃত্তিসহ ক্রমহীন বাছাই, যেমন 5টি স্বাদ থেকে 3 স্কুপ আইসক্রিম বেছে নেওয়া যেখানে একটি স্বাদ একাধিকবার নেওয়া যায়, তার সংখ্যা

পুনরাবৃত্ত অক্ষরসহ অক্ষর সাজাতে আরও একটি সমন্বয় লাগে: প্রতিটি পুনরাবৃত্ত সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করুন, কারণ অভিন্ন অক্ষর অদলবদল করলে কিছুই বদলায় না। মিসিসিপি নদীর নামের ইংরেজি বানানে 11টি অক্ষর আছে, যাতে I আছে 4 বার, S আছে 4 বার এবং P আছে 2 বার, তাই এর $\frac{11!}{4!\,4!\,2!} = 34{,}650$টি ভিন্ন সাজানো আছে।

গণনা দিয়ে সম্ভাবনা নির্ণয়

ফলাফলগুলো সমসম্ভাব্য হলে সম্ভাবনা হলো অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে সব ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ, তাই কাজের বেশিরভাগই করে বিন্যাস ও সমাবেশ। এই অনুপাতের মূল কথা আলোচিত হয়েছে সম্ভাবনার মূল কথা নিবন্ধে।

তাসের খেলা আরও অনুশীলন দেয়। পাঁচ তাসের সম্ভাব্য হাত আছে $\binom{52}{5} = 2{,}598{,}960$টি। চারটি টেক্কাই আছে এমন হাতে আর মাত্র একটি তাস দরকার, যা বাকি 48টি থেকে বাছাই করা হয়, তাই সম্ভাবনা $\frac{48}{2{,}598{,}960} = \frac{1}{54{,}145}$।

সাধারণ ভুল

• দল বা কমিটির জন্য বিন্যাস ব্যবহার করা, যা $r!$ গুণ বেশি গোনে।
• $0! = 1$ ভুলে যাওয়া, যা $\binom{n}{n}$-এর মতো সূত্র ভেঙে দেয়।
• অভিন্ন জিনিস উপেক্ষা করা, যেমন পুনরাবৃত্ত অক্ষরসহ অক্ষর সাজানোয়।
• পরের গণনাগুলো সমন্বয় না করেই স্বাধীন নয় এমন ধাপগুলো গুণ করা।

বিন্যাস ও সমাবেশ ক্যালকুলেটর ফ্যাক্টোরিয়ালের ধাপ দেখিয়ে ${}_nP_r$ ও ${}_nC_r$-এর মান নির্ণয় করে, আর সম্ভাবনা ক্যালকুলেটর সেই গণনাগুলোকে সম্ভাবনায় রূপান্তর করে।

প্যাসকেলের ত্রিভুজ ও উপসেট

প্যাসকেলের ত্রিভুজের প্রতিটি ভুক্তি তার ওপরের দুটি ভুক্তির যোগফল, এবং সারি $n$ মানগুলো $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ তালিকাভুক্ত করে। সারি 4 পড়ে 1, 4, 6, 4, 1, যা ঠিক $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$-এর সহগগুলো। ত্রিভুজটি গঠনের নিয়মটি নিজেই একটি গণনাগত সত্য:

কেন তা দেখতে একটি নির্দিষ্ট জিনিস স্থির করুন। $r$টি জিনিসের প্রতিটি বাছাই হয় এটিকে অন্তর্ভুক্ত করে, তখন বাকি $n - 1$টি থেকে $r - 1$টি বাছাই বাকি থাকে, অথবা একে বাদ দেয়, তখন বাকি $n - 1$টি থেকে সব $r$টিই বাছাই করতে হয়। একটি পুরো সারি যোগ করলে পাওয়া যায় $2^n$, যা $n$-সদস্যের একটি সেটের মোট উপসেটের সংখ্যা, কারণ প্রতিটি জিনিস হয় ভেতরে নয়তো বাইরে। তাই 8টি টপিংয়ের একটি পিৎজার দোকান সাদা পিৎজাসহ $2^8 = 256$টি ভিন্ন পিৎজা বানাতে পারে।

অনুশীলনী

1. 7টি ভিন্ন বইয়ের 4টি একটি তাকে কত উপায়ে সাজানো যায়? উত্তর: ${}_7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$।
2. 10টি থেকে 4টি টপিং কত উপায়ে বাছাই করা যায়? উত্তর: $\binom{10}{4} = 210$।
3. কলার ইংরেজি নামের বানানের অক্ষরগুলো কতভাবে ভিন্নভাবে সাজানো যায়? উত্তর: $\frac{6!}{3!\,2!} = 60$।
4. পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত হলে 26টি অক্ষর থেকে পাঁচ অক্ষরের কতগুলো কোড বানানো যায়? উত্তর: $26^5 = 11{,}881{,}376$।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন