পরিসংখ্যান

পরিমিত ব্যবধান কীভাবে নির্ণয় করবেন (নমুনা ও সমগ্রক)

লেখক MathSolver Pro Editorial Team · প্রকাশিত 25 অক্টোবর, 2026

পরিমিত ব্যবধান মাপে উপাত্তের মানগুলো সাধারণত তাদের গড় থেকে কত দূরে থাকে। এই নির্দেশিকা ধাপে ধাপে হিসাবটি দেখায়, কখন n দিয়ে আর কখন n বিয়োগ 1 দিয়ে ভাগ করতে হয় তা ব্যাখ্যা করে, এবং উত্তর পাওয়ার পর কীভাবে তা পড়তে হয় দেখায়।

পরিমিত ব্যবধান কী মাপে

গড় বলে দেয় একটি উপাত্তসমষ্টির কেন্দ্র কোথায়, কিন্তু মানগুলো এর চারপাশে কতটা ঘন হয়ে আছে তা বলে না। পরিমিত ব্যবধান এই ফাঁক পূরণ করে। ছোট পরিমিত ব্যবধান মানে মানগুলো গড়ের কাছাকাছি; বড় মানে তারা বিস্তৃতভাবে ছড়ানো। এটি উপাত্তের একই এককে মাপা হয়, তাই উচ্চতার পরিমিত ব্যবধান 5 সেন্টিমিটার হলে একটি সাধারণ উচ্চতা গড় থেকে মোটামুটি 5 সেন্টিমিটার দূরে।

হিসাবটি একটি সরল যুক্তি মেনে চলে। প্রতিটি মান গড় থেকে কত দূরে তা মাপুন, দূরত্বগুলোর বর্গ করুন যাতে গড়ের ওপরের ও নিচের মানগুলো পরস্পরকে বাতিল না করে, বর্গগুলোর গড় নিন, এবং শেষে মূল এককে ফিরতে বর্গমূল নিন। গড় নিয়ে ঝালিয়ে নিতে চাইলে গড়, মধ্যমা, প্রচুরক ও পরিমিত ব্যবধান দিয়ে শুরু করুন।

দুটি সূত্র

আপনার উপাত্ত একটি সম্পূর্ণ সমগ্রক নাকি বড় একটি সমগ্রক থেকে নেওয়া নমুনা, তার ওপর নির্ভর করে দুটি সংস্করণ আছে:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

সমগ্রকের পরিমিত ব্যবধান $\sigma$ মানের সংখ্যা $N$ দিয়ে ভাগ করে। নমুনার পরিমিত ব্যবধান $s$ ভাগ করে $n - 1$ দিয়ে। বর্গমূলের নিচের রাশিটি হলো ভেদাঙ্ক, যা $\sigma^2$ বা $s^2$ লেখা হয়। তত্ত্বে ভেদাঙ্ক কাজের, কিন্তু এর একক বর্গ, যেমন বর্গ সেন্টিমিটার, আর এ কারণেই সাধারণত পরিমিত ব্যবধানের সংখ্যাটিই জানানো হয়।

হাতে কষা পাঁচটি ধাপ

উদাহরণ 1: পাঁচটি মানের পরিমিত ব্যবধান

উপাত্ত: 6, 8, 10, 12, 14। ধাপ 1, গড় নির্ণয়: $\frac{50}{5} = 10$ ।
ধাপ 2, প্রতিটি মান থেকে গড় বিয়োগ: $-4, -2, 0, 2, 4$ ।
ধাপ 3, প্রতিটি বিচ্যুতির বর্গ: $16, 4, 0, 4, 16$ ।
ধাপ 4, বর্গগুলোর যোগ: $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ ।
ধাপ 5, ভাগ করে বর্গমূল নিন। সমগ্রক হিসেবে: $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ । নমুনা হিসেবে: $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ ।

$x$ , $x - \bar{x}$ ও $(x - \bar{x})^2$ -এর কলামসহ একটি সারণি কাজটি গোছানো রাখে। একটি কাজের যাচাই হলো, দ্বিতীয় কলামের বিচ্যুতিগুলোর যোগফল সবসময় শূন্য। তা না হলে গড় ভুল, এবং এর পরের সবকিছুই ভুল হবে।

নমুনার জন্য কেন n বিয়োগ 1 দিয়ে ভাগ?

নমুনা নিয়ে কাজ করার সময় আপনি সমগ্রকের প্রকৃত গড় জানেন না, তাই এর বদলে নমুনা গড় থেকে বিচ্যুতি মাপেন। গঠনগতভাবেই নমুনা গড় হলো সেই বিন্দু, যা ওই নির্দিষ্ট নমুনার বিচ্যুতির বর্গের যোগফলকে যথাসম্ভব ছোট করে। তাই এর থেকে মাপা বিচ্যুতিগুলো প্রকৃত গড় থেকে মাপা বিচ্যুতির চেয়ে গড়ে সামান্য ছোট হয়।

$n$ -এর বদলে $n - 1$ দিয়ে ভাগ করলে এটি সংশোধিত হয়, ফলে নমুনা ভেদাঙ্ক সমগ্রক ভেদাঙ্কের একটি পক্ষপাতহীন প্রাক্কলন হয়। এই সমন্বয়কে বেসেলের সংশোধন বলে। স্বাধীনতার মাত্রা দিয়েও এটি দেখা যায়: গড় এবং $n - 1$ টি বিচ্যুতি জানা হয়ে গেলে শেষ বিচ্যুতিটি বাধ্যতামূলকভাবে নির্ধারিত, কারণ তাদের যোগফল শূন্য হতেই হবে। কেবল $n - 1$ টি বিচ্যুতিই স্বাধীন তথ্য বহন করে।

ব্যবহারে নমুনার সূত্রই নিন, যদি না আপনার উপাত্তে সত্যিই আপনার আগ্রহের গোষ্ঠীর প্রতিটি সদস্য থাকে, যেমন কেবল একটি শ্রেণি নিয়ে আগ্রহী হলে ওই শ্রেণির প্রত্যেক শিক্ষার্থীর নম্বর।

একটি সংক্ষিপ্ত সূত্র ও গণসংখ্যা সারণি

বীজগাণিতিকভাবে সমতুল্য একটি সূত্রে প্রতিটি বিচ্যুতি আলাদাভাবে হিসাব করতে হয় না:

\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2

উদাহরণ 1-এর উপাত্তের জন্য $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ , তাই $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ , আগের মতোই। হাতে সংক্ষিপ্ত পথটি দ্রুত, কিন্তু বড় বা খুব সূক্ষ্ম সংখ্যার ক্ষেত্রে কম্পিউটার এটি এড়িয়ে চলে, কারণ প্রায় সমান দুটি বড় সংখ্যা বিয়োগ করলে নির্ভুলতা কমে যায়।

উদাহরণ 2: গণসংখ্যা সারণিতে উপাত্ত

একটি জরিপে 10টি বাড়ির পোষা প্রাণীর সংখ্যা লেখা হলো: মান 1 এসেছে 2 বার, 2 এসেছে 5 বার এবং 3 এসেছে 3 বার।
গড়: $\frac{1(2) + 2(5) + 3(3)}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$ ।
ভারযুক্ত বর্গ বিচ্যুতি: $2(1 - 2.1)^2 + 5(2 - 2.1)^2 + 3(3 - 2.1)^2 = 2.42 + 0.05 + 2.43 = 4.9$ ।
নমুনা হিসেবে: $s = \sqrt{\frac{4.9}{9}} \approx 0.738$ । সমগ্রক হিসেবে: $\sigma = \sqrt{\frac{4.9}{10}} = 0.7$ ।

ফলাফলের ব্যাখ্যা

যে উপাত্ত মোটামুটি ঘণ্টাকৃতি পরিমিত বণ্টন মেনে চলে, তার জন্য অভিজ্ঞতালব্ধ নিয়ম পরিমিত ব্যবধানের একটি সুনির্দিষ্ট পাঠ দেয়: প্রায় 68 শতাংশ মান গড় থেকে এক পরিমিত ব্যবধানের মধ্যে, প্রায় 95 শতাংশ দুইয়ের মধ্যে এবং প্রায় 99.7 শতাংশ তিনের মধ্যে থাকে। একটি গোষ্ঠীর প্রাপ্তবয়স্কদের উচ্চতার গড় 170 সেন্টিমিটার এবং পরিমিত ব্যবধান 8 হলে গোষ্ঠীর মোটামুটি 95 শতাংশের উচ্চতা 154 থেকে 186 সেন্টিমিটারের মধ্যে।

যেকোনো আকারের উপাত্তের জন্যও চেবিশেভের অসমতা নিশ্চয়তা দেয় যে অন্তত 75 শতাংশ মান গড় থেকে দুই পরিমিত ব্যবধানের মধ্যে এবং অন্তত প্রায় 89 শতাংশ তিনের মধ্যে থাকে। একটি মানের গড় থেকে দূরত্বকে পরিমিত ব্যবধানের এককে প্রকাশ করলে তার z-স্কোর পাওয়া যায়, যা ভিন্ন ভিন্ন মাপকাঠিতে মাপা মানগুলোর তুলনা সম্ভব করে।

উপাত্তের পরিবর্তনে পরিমিত ব্যবধান অনুমানযোগ্যভাবে সাড়া দেয়। প্রতিটি মানে একই ধ্রুবক যোগ করলে গড় সরে যায়, কিন্তু পরিমিত ব্যবধান অপরিবর্তিত থাকে, কারণ বিস্তার একই। প্রতিটি মানকে একটি ধ্রুবক দিয়ে গুণ করলে পরিমিত ব্যবধান ওই ধ্রুবকের পরম মান দিয়ে গুণিত হয়, তাই মিটারকে সেন্টিমিটারে রূপান্তর করলে এটি 100 দিয়ে গুণিত হয়।

ক্যালকুলেটর বা স্প্রেডশিটের ব্যবহার

বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটরে সাধারণত দুটি বোতাম থাকে, প্রায়ই সমগ্রক সংস্করণের জন্য $\sigma_x$ বা $\sigma_n$ এবং নমুনা সংস্করণের জন্য $s_x$ বা $\sigma_{n-1}$ চিহ্নিত। এক্সেল ও গুগল শিটসের মতো স্প্রেডশিটে ফাংশনের নাম ইংরেজিতেই থাকে: STDEV.P সমগ্রকের পরিমিত ব্যবধান এবং STDEV.S নমুনারটি হিসাব করে; পুরোনো STDEV ফাংশনও নমুনার মান দেয়। ভুলটি বেছে নেওয়াই উত্তর না মেলার সবচেয়ে সাধারণ কারণ।

পরিমিত ব্যবধান ক্যালকুলেটর সম্পূর্ণ বিচ্যুতি সারণিসহ দুটি সংস্করণই দেখায়, যা হাতে করা বাড়ির কাজ যাচাইয়ের জন্য আদর্শ। গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক ক্যালকুলেটর অন্যান্য সারসংক্ষেপ পরিসংখ্যান যোগ করে, আর z-স্কোর ক্যালকুলেটর ফলাফলটি ব্যবহার করে একক মানগুলোকে প্রমিত করে।

ভিন্ন মাপকাঠিতে বিস্তারের তুলনা

গড়গুলো খুব আলাদা হলে পরিমিত ব্যবধানের তুলনা কঠিন। 2 কিলোগ্রাম পরিমিত ব্যবধান নবজাতক শিশুর জন্য বড়, কিন্তু প্রাপ্তবয়স্ক হাতির জন্য নগণ্য। বিচলনাঙ্ক এই সমস্যার সমাধান করে পরিমিত ব্যবধানকে গড় দিয়ে ভাগ করে, যা প্রায়ই শতাংশে প্রকাশ করা হয়। গড় বার্ষিক মুনাফা 6 ও 9 শতাংশ এবং পরিমিত ব্যবধান 3 ও 9 শতাংশ বিন্দুবিশিষ্ট দুটি বিনিয়োগের বিচলনাঙ্ক 50 ও 100 শতাংশ, তাই দ্বিতীয়টি তার সাধারণ মুনাফার তুলনায় দ্বিগুণ অস্থির।

সাধারণ ভুল

বিচ্যুতিগুলোর বর্গ করতে ভুলে যাওয়া, ফলে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক মান কাটাকাটি হয়ে শূন্য হয়।
শেষ বর্গমূল নিতে ভুলে গিয়ে তার বদলে ভেদাঙ্ক জানানো।
নমুনা ও সমগ্রকের সূত্র গুলিয়ে ফেলা, বা ক্যালকুলেটরের ভুল বোতাম চাপা।
বিচ্যুতি হিসাবের আগে গড়কে খুব বেশি আসন্ন করা, যা আসন্নীকরণের ত্রুটি বাড়িয়ে দেয়।
গণসংখ্যা সারণিকে এমনভাবে বিবেচনা করা, যেন প্রতিটি মান একবারই এসেছে।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

নমুনা নাকি সমগ্রকের পরিমিত ব্যবধান ব্যবহার করব?

সমগ্রকের সূত্র কেবল তখনই ব্যবহার করুন, যখন আপনার উপাত্তে বর্ণনা করতে চাওয়া গোষ্ঠীর প্রতিটি সদস্য আছে। উপাত্ত যদি বড় একটি গোষ্ঠী সম্পর্কে জানতে ব্যবহৃত একটি নমুনা হয়, যা সাধারণ পরিস্থিতি, তবে $n - 1$ -সহ নমুনার সূত্র ব্যবহার করুন।

ভেদাঙ্কের বর্গমূল নেওয়ার দরকারই বা কী?

ভেদাঙ্ক হলো গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গের গড়, আর পরিমিত ব্যবধান এর বর্গমূল। দুটিতে একই তথ্য থাকে, কিন্তু পরিমিত ব্যবধান মূল এককে থাকে, তাই এর ব্যাখ্যা সহজ।

পরিমিত ব্যবধান শূন্য হলে কী বোঝায়?

উপাত্তসমষ্টির প্রতিটি মান অভিন্ন, তাই কোনো বিস্তারই নেই। সামান্যতম তারতম্যও পরিমিত ব্যবধানকে ধনাত্মক করে।

বড় পরিমিত ব্যবধান কি খারাপ?

অবশ্যই নয়। এর মানে কেবল উপাত্ত ছড়ানো। তা ভালো কি না প্রসঙ্গের ওপর নির্ভর করে: ডেলিভারির সময়ে বড় তারতম্য খারাপ, অথচ উদ্ভিদ প্রজননের একটি পরীক্ষায় বড় তারতম্যই হয়তো গবেষক ঠিক যা খুঁজছেন।

MathSolver Pro Editorial Team

গণিত বিষয়বস্তু ও পর্যালোচনা

আমাদের সম্পাদকীয় দল প্রতিটি নির্দেশিকা এমনভাবে লেখে যাতে কেবল উত্তর নয়, প্রতিটি পদ্ধতির পেছনের যুক্তিও ব্যাখ্যা করা হয়। প্রকাশের আগে প্রতিটি কষে দেখানো উদাহরণ সাইটের নিজস্ব সমাধান ইঞ্জিন ও স্বয়ংক্রিয় পরীক্ষার সঙ্গে মিলিয়ে যাচাই করা হয়, এবং কোনো পদ্ধতি বা পরীক্ষার কাঠামো বদলালে নিবন্ধগুলো সংশোধন করা হয়।