সমাধানকৃত উদাহরণসহ z-স্কোরের ব্যাখ্যা

z-স্কোর কী মাপে

শুধু একটি কাঁচা নম্বর খুব কমই কিছু বলে। পরীক্ষায় 85 পাওয়া ভালো শোনায়, কিন্তু বাকি সবাই 95 পেলে এটি আসলে দুর্বল। z-স্কোর, যাকে প্রমিত স্কোরও বলে, একটি মানকে তার গোষ্ঠীর সাপেক্ষে মেপে এই সমস্যার সমাধান করে। এটি একটি প্রশ্নের উত্তর দেয়: এই মানটি গড় থেকে কত পরিমিত ব্যবধান দূরে?

এখানে $x$ হলো মান, $\mu$ গড় এবং $\sigma$ পরিমিত ব্যবধান। ধনাত্মক z-স্কোর মানে মানটি গড়ের ওপরে, ঋণাত্মক মানে নিচে, আর শূন্য মানে ঠিক গড়। z-স্কোর 2 মানে গড়ের দুই পরিমিত ব্যবধান ওপরে, যা বেশিরভাগ উপাত্তসমষ্টিতে অস্বাভাবিক রকম বেশি। পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় ঝালিয়ে নিতে চাইলে দেখুন পরিমিত ব্যবধান কীভাবে নির্ণয় করবেন।

ধাপে ধাপে z-স্কোর নির্ণয়

একক সবসময় কাটাকাটি হয়ে যায়, কারণ লব ও হর দুটিই মূল এককে মাপা। এ কারণেই z-স্কোর এককহীন এবং সম্পূর্ণ ভিন্ন পরিমাপের মধ্যেও তুলনীয়।

ভিন্ন মাপকাঠির ফলাফলের তুলনা

z-স্কোরের সবচেয়ে ব্যবহারিক প্রয়োগ হলো ন্যায্য তুলনা। ধরুন একজন শিক্ষার্থী রসায়ন পরীক্ষায় 82 পেল, যেখানে গড় 75 এবং পরিমিত ব্যবধান 5, আর ইতিহাস পরীক্ষায় 88 পেল, যেখানে গড় 80 এবং পরিমিত ব্যবধান 8। ইতিহাসের নম্বর বেশি, কিন্তু কোন ফলাফল বেশি প্রশংসনীয়?

সহপাঠীদের সাপেক্ষে রসায়নের ফলাফল বেশি শক্তিশালী: গড়ের 1.4 পরিমিত ব্যবধান ওপরে, যেখানে অন্যটি 1.0। একই ধারণায় বিজ্ঞানীরা ভিন্ন যন্ত্রের পরিমাপ তুলনা করেন, এবং বিশ্লেষকেরা খুব ভিন্ন সাধারণ মানের শিল্পখাতের বিপরীতে একটি কোম্পানির কর্মদক্ষতা তুলনা করেন।

z-স্কোর থেকে উল্টো পথে

সূত্রটি পুনর্বিন্যাস করলে একটি নির্দিষ্ট z-স্কোরের সংশ্লিষ্ট কাঁচা মান পাওয়া যায়:

গড় 70 এবং পরিমিত ব্যবধান 10-এর পরীক্ষায় z-স্কোর $-1.2$ মানে $70 + (-1.2)(10) = 58$। এই রূপটি সীমারেখা নির্ধারণে কাজে লাগে, যেমন শীর্ষ 10 শতাংশে থাকতে একজন শিক্ষার্থীর কত কাঁচা নম্বর দরকার তা ঠিক করা, যা নিচের উদাহরণ 4 দেখায়।

z-স্কোর থেকে শতমক

উপাত্ত পরিমিত বণ্টন, অর্থাৎ ঘণ্টাকৃতি বক্ররেখা মেনে চললে একটি z-স্কোরকে শতমকে রূপান্তর করা যায়, অর্থাৎ এর নিচে পড়া মানগুলোর অনুপাতে। প্রমিত পরিমিত বণ্টনের গড় 0 এবং পরিমিত ব্যবধান 1, এবং এর ক্রমযোজিত ফাংশন, যা $\Phi(z)$ লেখা হয়, সেই অনুপাত দেয়। কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ মান মনে রাখার মতো:

• $\Phi(0) = 0.5$: গড় থাকে 50তম শতমকে।
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ এবং $\Phi(-1) \approx 0.1587$।
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, তাই উদাহরণ 1-এর শিক্ষার্থী শ্রেণির প্রায় 93 শতাংশের চেয়ে বেশি নম্বর পেয়েছে।
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$, তাই উদাহরণ 2-এর শিক্ষার্থী 21তম শতমকের কাছাকাছি।
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, আর এ কারণেই 95 শতাংশ আস্থা ব্যবধিতে 1.96 আসে।

অভিজ্ঞতালব্ধ নিয়ম ঘণ্টাকৃতি বক্ররেখার সারসংক্ষেপ দেয়: প্রায় 68 শতাংশ মান গড় থেকে এক পরিমিত ব্যবধানের মধ্যে, প্রায় 95 শতাংশ দুইয়ের মধ্যে এবং প্রায় 99.7 শতাংশ তিনের মধ্যে থাকে। তাই $|z| > 3$ মানগুলো বিরল এবং প্রায়ই সম্ভাব্য বহিঃস্থ মান হিসেবে খতিয়ে দেখা হয়।

নমুনা গড়ের z-স্কোর

একক মানের চেয়ে গড় কম ওঠানামা করে। গড় $\mu$ এবং পরিমিত ব্যবধান $\sigma$-বিশিষ্ট একটি সমগ্রক থেকে $n$ আকারের নমুনা নিলে নমুনা গড়ের পরিমিত ব্যবধান হয় $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, যাকে পরিমিত ত্রুটি বলে। একটি নমুনা গড়ের z-স্কোর হলো

যেমন, ওপরের পরীক্ষার 25 জন শিক্ষার্থীর গড় 73 হলে পরিমিত ত্রুটি $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ এবং $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$। তিন নম্বর বৃদ্ধি একজন শিক্ষার্থীর জন্য সাধারণ, কিন্তু 25 জন শিক্ষার্থীর গড়ের জন্য লক্ষণীয়ভাবে অস্বাভাবিক। প্রারম্ভিক পরিসংখ্যানে z-পরীক্ষা ও আস্থা ব্যবধির সূচনাবিন্দু এই সূত্রটি।

z-স্কোর ব্যবহারে সতর্কতা

• $\Phi$ দিয়ে z-স্কোরকে শতমকে রূপান্তর কেবল তখনই বৈধ, যখন উপাত্ত মোটামুটি পরিমিত। আয়ের মতো তীব্র বঙ্কিম উপাত্তে শতমক উপাত্ত থেকেই নিতে হবে।
• সমগ্রকের পরিমিত ব্যবধান জানা থাকলে সেটি ব্যবহার করুন, নইলে প্রাক্কলন হিসেবে নমুনার পরিমিত ব্যবধান; ছোট নমুনার জন্য এর বদলে t-বণ্টন দরকার।
• z-স্কোর একটি গোষ্ঠীর ভেতরে অবস্থান বর্ণনা করে। খুব ভিন্ন দক্ষতার স্তরের গোষ্ঠীর z-স্কোর তুলনা করলে তবুও বিভ্রান্তি হতে পারে।
• চিহ্নটি রাখুন। z-স্কোর $-2$ এবং $2$ সমানভাবে অস্বাভাবিক, কিন্তু বিপরীত অর্থ বহন করে।

z-স্কোর ক্যালকুলেটর z-স্কোর, শতমক এবং দুটি মানের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে, আর পরিমিত ব্যবধান ক্যালকুলেটর প্রথমে প্রয়োজনীয় গড় ও পরিমিত ব্যবধান দেয়।

বাস্তবে z-স্কোর কোথায় দেখা যায়

প্রমিত পরীক্ষার প্রতিবেদন প্রায়ই কাঁচা নম্বরকে মাপকৃত স্কোর বা শতমকে রূপান্তর করে, যা z-স্কোরের মতো একই ধারণার ওপর দাঁড়িয়ে। শিশুরোগ বিশেষজ্ঞরা বৃদ্ধির চার্টের বিপরীতে শিশুর উচ্চতা ও ওজন অনুসরণ করেন, এবং কিছু চিকিৎসা-সরঞ্জাম এই পরিমাপগুলো সরাসরি শিশুর বয়সের জন্য z-স্কোর হিসেবে জানায়। হাড়ের ঘনত্বের স্ক্যান একটি T-স্কোর জানায়, যা সুস্থ তরুণ প্রাপ্তবয়স্কদের বিপরীতে মাপা একটি z-স্কোর। মান-প্রকৌশলীরা সেই যন্ত্রাংশগুলো চিহ্নিত করেন, যাদের পরিমাপ লক্ষ্যমান থেকে তিন পরিমিত ব্যবধানের বেশি সরে যায়, আর আর্থিক বিশ্লেষকেরা মুনাফাকে প্রমিত করেন, যাতে ভিন্ন ঝুঁকির তহবিলগুলো একই মাপকাঠিতে তুলনা করা যায়।

অনুশীলনী

1. একটি উপাত্তসমষ্টির গড় 50 এবং পরিমিত ব্যবধান 4। 56-এর z-স্কোর নির্ণয় করুন। উত্তর: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$।
2. নম্বরগুলোর গড় 100 এবং পরিমিত ব্যবধান 15। কোন নম্বরের $z = -2$? উত্তর: $100 + (-2)(15) = 70$।
3. মানগুলো পরিমিত, গড় 500 এবং পরিমিত ব্যবধান 100। কত অনুপাত 650-এর নিচে? উত্তর: $z = 1.5$, তাই প্রায় $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, অর্থাৎ 93 শতাংশ।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন