Asosiy mazmunga oʻtish
MathSolver Pro
  • Yechuvchini ochish
  • AI repetitordan so‘rash
  • AP kursini topish
  • Test yaratish
  • Kalkulyatorni ochish
  • Grafik kalkulyator
  • Barcha kalkulyatorlar
  • Matematika qo‘llanmalarini o‘qish
↑ ↓Ochish uchun Enter · Yopish uchun Esc
Masala yechish
Ketma-ketliklar va qatorlarAlgebraOliygoh≈ 2:00

n/2ⁿ ning n=1 dan ∞ gacha yigʻindisini hisoblang

Animatsion bosqichma-bosqich dars. Har bir qadamni subtitrlar bilan ko‘rish uchun Ijro tugmasini bosing yoki quyidagi qadamlar va matnni o‘qing. Javob: Qator yaqinlashuvchi (nisbat belgisi); yigʻindi ≈ 2 (mos keladi 2 10+ xonagacha).

Yozib olingan video: ovoz va tasvirdagi yozuvlar ingliz tilida. Subtitrlar: Oʻzbekcha. Ushbu tildagi sharhlar uchun interaktiv versiyani oching.

Ingliz tilidagi video: MP4 faylini yuklab olish (0.7 MB) · Subtitrlar (WebVTT): Oʻzbekcha · Ingliz tilidagi subtitrlar (WebVTT)

Ekrandagi qadamlar

  1. 1. Masala
    Yechilgan misol
    ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}
  2. 2. Qadamma-qadam
    1. ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}
      Qatorni yozish
    2. lim⁡n→∞n2n=0\lim_{n\to\infty} \frac{n}{{2}^{n}} = 0
      Yaqinlashishning zaruriy sharti
    3. L=lim⁡n→∞n+12n=12L = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{2}}{n} = \frac{1}{2}
      Dalamber alomati
    4. Yigʻindini sonli baholash
  3. 3. Javob
    ∑n=1∞n2n yaqinlashadi≈2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}} \ \text{yaqinlashadi} \approx 2

    ratio test ⇒ converges, S ≈ 2 (matches 2 to 10+ digits)

  4. 4. Tekshirish
    • Xususiy yigʻindilar (isbot emas, qoʻshimcha dalil): S₁₀ = 1.9882813, S₁₀₀ = 2, S₁₀₀₀ = 2, S₁₀₀₀₀ = 2

Matn

Masala. Mana masala: n/2 n-darajasi ning n teng 1 dan cheksizlik gacha yigʻindisini hisoblang. 1 dan ∞) gacha Σ n / 2 n-darajasi (n qator yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.

Qadamma-qadam. Qatorni yozish. Σ a(n), bunda n teng 1, 2, 3, … va a(n) teng n / 2 n.-darajasi Dastlabki hadlar: 0.5, 0.5, 0.375, 0.25, …. Yaqinlashishning zaruriy sharti. lim a(n) teng 0, shuning uchun uzoqlashish alomati hech narsa demaydi; hadlar kamayadi, demak, nozikroq alomat kerak. Dalamber alomati. Musbat hadlar: a(n plyus 1)/a(n) ifoda (n plyus 1) / 2 / n ga soddalashadi va uning n → ∞ dagi limiti L teng 1 bo‘lingan 2. L kichik 1, shuning uchun qator (absolyut) yaqinlashadi. Yigʻindini sonli baholash. Qismiy yigʻindilar S N bir nechta N uchun hisoblanib, N → ∞ ga ekstrapolyatsiya qilindi (Richardson ekstrapolyatsiyasi; ishorasi almashinuvchi hadlarda avval oʻrtacha olinadi). Ikki mustaqil ekstrapolyatsiya 10 minus 10-darajasi dan yaxshiroq mos kelib, S taxminan 2 ni beradi. Koʻrsatilgan yopiq shakl sonli moslashtirish, isbot emas.

Javob. Demak, javob: Qator yaqinlashuvchi (nisbat belgisi); yigʻindi taxminan 2 (mos keladi 2 10+ xonagacha). Qatorning xususiy yigʻindilari chekli songa intilsa, qator yaqinlashadi. Buning uchun hadlar 0 ga intilishi kerak, lekin buning oʻzi yetarli emas (garmonik qator uzoqlashadi), shuning uchun hal qilishda taqqoslash, Dalamber, Koshi radikal, Leybnits yoki integral alomati qoʻllanadi.

Tekshirish. Xususiy yigʻindilar (isbot emas, qoʻshimcha dalil): S₁₀ teng 1.9882813, S₁₀₀ teng 2, S₁₀₀₀ teng 2, S₁₀₀₀₀ teng 2.

O‘xshash darslar

n/2ⁿ ning n=1 dan ∞ gacha yigʻindisini hisoblang — bosqichma-bosqich video dars