Hosila kalkulyatori

Q: Hosilaning nuqtadagi qiymatini hisoblash mumkinmi?

Ha. x = a dagi urinmaning burchak koeffitsienti f'(a) ni olish uchun “Qiymatini hisoblash, x =” maydoniga 2 yoki pi/4 kabi qiymat kiriting.

Q: Nega javobim darslikdagidan farq qiladi?

Teng kuchli ifodalarni koʻp usulda yozish mumkin, masalan, (2x)/(x^2+1) va 2x(x^2+1)^(-1). Mos kelishini tasdiqlash uchun ikkalasiga bir xil qiymat qoʻying.

Q: Ikkinchi tartibli hosila grafik haqida nima deydi?

Uning ishorasi botiqlik yoʻnalishini beradi. f'' > 0 boʻlgan joyda grafik yuqoriga, f'' < 0 boʻlgan joyda pastga egiladi, ishora oʻzgaradigan joyda esa egilish nuqtasi bor.

Q: Funksiya qayerda differensiallanmaydi?

Burchakli nuqtalarda, qaytish nuqtalarida, vertikal urinmalarda va grafik uzilishlarida. Masalan, |x| ning 0 da burchakli nuqtasi bor, u yerda chap va oʻngdagi burchak koeffitsientlari -1 va 1, shuning uchun yagona urinma mavjud emas.

Hosila kalkulyatori haqida

$f'(x)$ hosila $f$ ning oniy oʻzgarish tezligini oʻlchaydi: bu har bir nuqtadagi urinmaning burchak koeffitsienti. U ifoda tuzilishiga qoʻllanadigan kichik qoidalar toʻplamidan quriladi.

Bu kalkulyator funksiyangizni daraxtga ajratadi, har bir tugunda mos qoidani qoʻllaydi va uni qadam sifatida yozib boradi. Natija soddalashtiriladi, soʻng koʻrsatilishidan oldin bir nechta nuqtada mustaqil differensiallagich bilan solishtiriladi.

Beshinchi tartibgacha boʻlgan hosilani tanlang va xohlasangiz, natijani hisoblash uchun x qiymatini kiriting.

Hosila aslida nima?

Funksiya hosilasi argument oʻzgarganda uning qiymati qanchalik tez oʻzgarishini oʻlchaydi. Geometrik jihatdan bu urinmaning burchak koeffitsienti — grafikka bir nuqtada tegib oʻtadigan va shu yerda egri chiziq bilan bir yoʻnalishda boʻlgan toʻgʻri chiziq. Toʻgʻri chiziqning burchak koeffitsienti hamma joyda bir xil, lekin $y = x^2$ kabi egri chiziqda u nuqtadan nuqtaga oʻzgaradi, shuning uchun hosilaning oʻzi ham funksiya: $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$ burchak koeffitsienti $x = 1$ da 2 ga, $x = 3$ da 6 ga va $x = -2$ da $-4$ ga tengligini bildiradi.

Rasman hosila ayirmalar nisbatining limiti: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ . Bu nisbat grafikdagi ikki yaqin nuqta orqali oʻtuvchi kesuvchining burchak koeffitsienti, $h$ ni nolga intiltirish esa kesuvchini urinmaga aylantiradi. Bu limitni har safar bevosita hisoblash sekin boʻlardi, shuning uchun amalda hosilalar har biri limit taʼrifidan bir marta isbotlangan kichik qoidalar toʻplami yordamida topiladi. Kalkulyator aynan shu qoidalarni qoʻllaydi va har bir qadamda qaysi biri ishlatilganini koʻrsatadi.

Hosilalar tezlik muhim boʻlgan har joyda uchraydi: tezlik — koordinataning hosilasi, tezlanish — tezlikning hosilasi, chegaraviy xarajat — umumiy xarajatning hosilasi, kimyoviy reaksiya tezligi esa konsentratsiyaning hosilasi.

Bu kalkulyator $x$ boʻyicha hosilalar bilan ishlaydi. Bir nechta oʻzgaruvchili funksiyalar uchun xususiy hosila kalkulyatoridan, $x$ va $y$ aralashgan tenglamalar uchun esa oshkormas differensiallashdan foydalaning.

Hosila kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

x ning funksiyasini kiriting, masalan, x^2 sin(x) yoki e^(3x)/x. Oldiga d/dx yozishingiz ham mumkin.
Tartibni tanlang: birinchi, ikkinchi va beshinchigacha boʻlgan hosila.
Xohlasangiz, hosilani hisoblash uchun x qiymatini kiriting, soʻng “Hosila olish” tugmasini bosing.

Formulalar

Daraja qoidasi

\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}

Koʻpaytma qoidasi

(uv)' = u'v + uv'

Boʻlinma qoidasi

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Murakkab funksiya hosilasi qoidasi

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Asosiy hosilalar

(\sin x)' = \cos x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac1x

Yechib koʻrsatilgan misol: x² sin(x)

Ishlangan misolda $f(x) = x^2 \sin x$ differensiallanadi. Funksiya $u = x^2$ va $v = \sin x$ ning koʻpaytmasi, shuning uchun kalkulyator $(uv)' = u'v + uv'$ koʻpaytma qoidasini qoʻllaydi. U daraja qoidasi bilan $u' = 2x$ ni, standart trigonometrik hosilalardan $v' = \cos x$ ni topadi, soʻng ularni $f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ ga birlashtiradi. Keyin javob tasdiqlash uchun bir nechta nuqtada ayirmalar nisbati bilan sonli solishtiriladi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)

Masalangizni qanday tushundik

x² sin(x) ning x boʻyicha hosilasini toping.

\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right]

Bosqichma-bosqich yechim

Koʻpaytma qoidasi: (uv)′ = u′v + uv′
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right] = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$
d/dx[sin x] = cos x
$\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
Daraja qoidasi: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Ixchamlash va soddalashtirish
$f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$

Qoʻllanilgan formulalar

Darajani darajaga koʻtarish qoidasi
$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$
Koʻpaytma qoidasi
$(uv)' = u'v + uv'$

Hosila tashqaridan ichkariga qarab quriladi: yigʻindilar hadlarga ajratiladi, oʻzgarmaslar qavsdan chiqariladi, koʻpaytma va boʻlinmalar oʻz qoidalaridan foydalanadi, har bir murakkab funksiya esa ichki funksiyasining hosilasiga koʻpaytiriladi (murakkab funksiya hosilasi qoidasi).

Tekshiruv

Mustaqil simvolik differensiallagich bilan 8 ta nuqtada sonli tekshirildi ✓

Batafsil tushuntirish

Asosiy qoidalar

Birinchi kursda uchraydigan deyarli har bir hosila bir nechta qoidadan kelib chiqadi. Daraja qoidasi har qanday haqiqiy $n$ uchun $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ ni beradi va ildizlarni ham qamraydi, chunki $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ning hosilasi $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Oʻzgarmas koʻpaytuvchi va yigʻindi qoidalari koʻphadni hadma-had differensiallash imkonini beradi. Koʻrsatkichli funksiya qoidasi $e^x$ ning hosilasi oʻziga teng ekanini aytadi, logarifm qoidasi esa $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$ ni beradi. Oltita trigonometrik funksiyaning har biri standart hosilaga ega; ular $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ va $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ dan boshlanadi.

Bu asosiy hosilalar uchta tuzilmaviy qoida bilan birlashtiriladi. Koʻpaytma qoidasi $f \cdot g$ ni, boʻlinma qoidasi $\frac{f}{g}$ ni, murakkab funksiya qoidasi esa boshqa funksiya ichidagi funksiyani hisoblaydi. Qaysi tuzilmaga qarayotganingizni aniqlash ishning katta qismi va shuning uchun kalkulyator har bir qadam sarlavhasida qoidani nomlaydi.

Murakkab funksiya qoidasi amalda

Murakkab funksiya qoidasiga koʻra, $y = f(g(x))$ boʻlsa, $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ : tashqi funksiyani differensiallang, ichki qismga tegmang, soʻng ichki funksiyaning hosilasiga koʻpaytiring. $\sin(x^2)$ uchun tashqi funksiya sinus, ichkisi esa $x^2$ , demak, hosila $\cos(x^2) \cdot 2x$ . Kalkulyator buni $2\cos(x^2)\,x$ koʻrinishida yozadi — bu koʻpaytuvchilari boshqa tartibda turgan oʻsha ifoda.

Murakkab funksiya qoidasi boshqa qoidalar ichida ham yashirinadi. $e^{3x}$ da ichki qism $3x$ , shuning uchun hosila $3e^{3x}$ , kalkulyator esa bu qadamni $e^u \cdot u'$ bilan koʻrsatkichli funksiya qoidasi deb belgilaydi. Ichki funksiyadan keladigan koʻpaytuvchini unutish eng keng tarqalgan hosila xatosi va natijangizni kalkulyatorning ichki funksiya uchun qadami bilan solishtirish uni topishning eng tez yoʻli.

Boʻlinmalar va soddalashtirish

$\frac{u}{v}$ boʻlinma uchun qoida $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ . Suratdagi tartib muhim, chunki ayirish oʻrin almashtirish xossasiga ega emas. $\frac{e^{3x}}{x}$ ni differensiallash $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$ ni beradi, kalkulyator uni $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ ga soddalashtiradi. Ikkala shakl ham toʻgʻri, $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ ham. Javobingiz koʻrsatilgandan farq qilsa, ikkalasiga $x = 1$ kabi qiymat qoʻying; bir nechta nuqtada qiymatlarning tengligi ifodalar teng kuchli ekanining kuchli dalili.

Yuqori tartibli hosilalar va nuqtadagi qiymat

Yana differensiallash ikkinchi tartibli hosilani beradi, u burchak koeffitsientining oʻzi qanday oʻzgarayotganini oʻlchaydi. Musbat ikkinchi hosila grafik pastga botiq, yaʼni kosaga oʻxshab egilganini, manfiysi esa yuqoriga qavariq ekanini bildiradi. $f(x) = x^3$ uchun birinchi hosila $3x^2$ , ikkinchisi $6x$ ; $x = 2$ da hisoblash $f''(2) = 12$ ni beradi. Fizikada $x^3$ koordinata boʻlsa, 12 vaqtning 2 momentidagi tezlanish boʻlardi.

Birinchi hosilaning nuqtadagi qiymati shu yerdagi urinmaning burchak koeffitsientini beradi, nuqtaning oʻzi bilan esa urinma tenglamasini nuqta va burchak koeffitsienti orqali yozish mumkin. Bu chiziqli yaqinlashish va tenglamalarni yechishning Nyuton usuli asosidir.

Hosila yordamida maksimum va minimumni topish

Silliq funksiya lokal maksimum yoki minimumga faqat hosilasi nolga teng yoki aniqlanmagan joyda erishishi mumkin, chunki tepalik choʻqqisida yoki vodiy tubida urinma gorizontal. Funksiyani optimallashtirish uchun uni differensiallang, $f'(x) = 0$ deb oling, $x$ ni toping va har bir nomzodni tekshiring. $f(x) = x^3 - 3x$ uchun hosila $3x^2 - 3$ , u $x = -1$ va $x = 1$ da nolga teng. $6x$ ikkinchi hosila $-1$ da manfiy, $1$ da musbat, demak, grafikda $(-1, 2)$ da lokal maksimum, $(1, -2)$ da lokal minimum bor.

Yopiq oraliqda eng katta va eng kichik qiymatlar uchlarda ham boʻlishi mumkin, shuning uchun funksiyani u yerda ham solishtiring. Hajmi belgilangan quti uchun materialni kamaytirish kabi koʻplab amaliy masalalar optimallashtiriladigan kattalik bir oʻzgaruvchili funksiya sifatida yozilgach, aynan shu sxema boʻyicha yechiladi.

Kalkulyator javobini qanday tekshiradi

Simvolik differensiallash, ayniqsa soddalashtirish paytida, sezilmaydigan tarzda xato qilishi mumkin, shuning uchun natijaga shunchaki ishonilmaydi. Kalkulyator hosilasini bir qator nuqtalarda hisoblaydi va uni toʻgʻridan-toʻgʻri dastlabki funksiyangizdan kichik $h$ uchun hisoblangan markaziy ayirmalar nisbati $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ bilan solishtiradi. Funksiya aniqlangan har bir nuqtada ikkalasi qatʼiy aniqlik chegarasida mos kelsa, tekshiruv oʻtadi va javob ostida koʻrsatiladi. Xuddi shu gʻoyani qoʻlda kalkulyator bilan qoʻllashingiz mumkin: $x$ qiymatini tanlang, uni biroz oshiring va kamaytiring hamda $f$ ning oʻzgarishini $x$ ning oʻzgarishiga boʻlganda hosilangiz chiqishini tekshiring.

Koʻp uchraydigan xatolar

Murakkab funksiya qoidasida ichki hosilani unutish: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ , $\cos 3x$ emas.
$(uv)' = u'v'$ deb yozish; koʻpaytma qoidasida ikkita had bor.
Boʻlinma qoidasida suratdagi tartibni almashtirib qoʻyish.
Daraja qoidasini $a^x$ ga qoʻllash; koʻrsatkichli funksiyalar uchun $(a^x)' = a^x \ln a$ kerak.
$(uv)' = u'v'$ deb yozish; koʻpaytmaning hosilasi hosilalar koʻpaytmasiga teng emas.
$\pi$ yoki $e^2$ kabi oʻzgarmasni oʻzgaruvchi deb hisoblab, uni differensiallash.

Maslahatlar

Ildiz va teskari ifodalarni daraja koʻrinishida yozing: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\frac1{x^2} = x^{-2}$ .
Ifodadagi oxirgi amalni aniqlang; u qaysi qoidadan boshlash kerakligini aytadi.
$x^x$ kabi funksiyalar uchun logarifmik differensiallashdan foydalaning.
Differensiallashdan oldin ildiz va teskari ifodalarni daraja koʻrinishida yozing: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ .
Boʻlinma qoidasini faqat maxrajda $x$ boʻlganda ishlating; $\frac{x^2}{5}$ shunchaki $\frac15x^2$ .
Iloji boʻlsa, funksiyani differensiallashdan oldin soddalashtiring; $x \ne 0$ da $\frac{x^3 + x}{x}$ shunchaki $x^2 + 1$ .

Koʻp beriladigan savollar

Hosila nima?

Bu funksiyaning oʻz oʻzgaruvchisiga nisbatan oʻzgarish tezligi boʻlib, urinmaning burchak koeffitsientiga teng: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .

Qaysi funksiyalarni differensiallay olaman?

Koʻphadlar, darajalar va ildizlar, koʻrsatkichli funksiyalar, logarifmlar, trigonometrik va teskari trigonometrik funksiyalar, giperbolik funksiyalar hamda ularning +, −, ×, ÷ va kompozitsiya yordamida tuzilgan har qanday birikmasi.

Ikkinchi tartibli hosila qanday topiladi?

“Tartib” menyusida “Ikkinchi tartibli hosila” ni tanlang. Kalkulyator soddalashtirilgan birinchi hosilani yana differensiallaydi va ikkala bosqichni koʻrsatadi.

Hosilaning nuqtadagi qiymatini hisoblash mumkinmi?

Ha. $x = a$ dagi urinmaning burchak koeffitsienti $f'(a)$ ni olish uchun “Qiymatini hisoblash, x =” maydoniga 2 yoki pi/4 kabi qiymat kiriting.

Javob toʻgʻriligini qanday bilaman?

Har bir natija mustaqil hisoblangan hosila bilan 8 ta nuqtada sonli solishtiriladi. Agar ular mos kelmasa, javob koʻrsatilmaydi.

Nega javobim darslikdagidan farq qiladi?

Teng kuchli ifodalarni koʻp usulda yozish mumkin, masalan, $\frac{2x}{x^2+1}$ va $2x(x^2+1)^{-1}$ . Mos kelishini tasdiqlash uchun ikkalasiga bir xil qiymat qoʻying.

Murakkab funksiya qoidasidan qanday foydalaniladi?

Ichki ifodani oʻzgartirmay tashqi funksiyani differensiallang, soʻng ichki ifodaning hosilasiga koʻpaytiring. $\sin(x^2)$ uchun bu $\cos(x^2) \cdot 2x$ ni beradi.

Ikkinchi tartibli hosila grafik haqida nima deydi?

Uning ishorasi botiqlik yoʻnalishini beradi. $f'' > 0$ boʻlgan joyda grafik yuqoriga, $f'' < 0$ boʻlgan joyda pastga egiladi, ishora oʻzgaradigan joyda esa egilish nuqtasi bor.

Funksiya qayerda differensiallanmaydi?

Burchakli nuqtalarda, qaytish nuqtalarida, vertikal urinmalarda va grafik uzilishlarida. Masalan, $|x|$ ning 0 da burchakli nuqtasi bor, u yerda chap va oʻngdagi burchak koeffitsientlari $-1$ va $1$ , shuning uchun yagona urinma mavjud emas.

Funksiyangizni differensiallang

Har bir qadamda qoʻllangan qoidani koʻrish, yuqori tartiblarni tanlash va hosilani istalgan nuqtada hisoblash uchun yuqoriga funksiya kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash