Matematik analiz

Differensiallash qoidalari yechilgan misollar bilan

Q: Boʻlinma qoidasisiz ishlash mumkinmi?

Koʻpincha mumkin. f/g ni f · g^(-1) koʻrinishida yozing va koʻpaytma hamda murakkab funksiya qoidalaridan foydalaning yoki avval kasrni soddalashtiring. Ikkala yoʻl ham bir xil javob beradi, garchi ular bir xil koʻrinishi uchun soddalashtirish kerak boʻlishi mumkin.

Q: Murakkab funksiya qoidasini qachon qoʻllashni qanday bilaman?

Funksiya ichida oddiy x dan boshqa narsa turgan har safar: qavsning darajasi, 2x ning trigonometrik funksiyasi, x dan boshqa narsa darajasidagi e yoki ifodaning logarifmi. Agar ichida shunchaki x boʻlsa, uning hosilasi 1 ga teng va bu qoida hech narsani oʻzgartirmaydi.

Q: Nega e ning x-darajasining hosilasi oʻziga teng?

e ≈ 2.71828 soni aynan shunday asoski, a^x ning x = 0 dagi ogʻmasi 1 ga teng boʻladi. Bu xossa bilan limit orqali taʼrif har bir nuqtadagi ogʻma funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga tengligini koʻrsatadi.

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Hosilalarni limit orqali taʼrifdan hisoblash sekin kechadi. Har biri shu taʼrifdan bir marta isbotlangan kichik qoidalar toʻplami deyarli istalgan formulani bir necha qatorda differensiallash imkonini beradi. Ushbu qoʻllanma har bir qoidani, u nima uchun ishlashini va ularni qanday birlashtirishni tushuntiradi.

Nega limitlar emas, qoidalar

Hosila limit sifatida taʼriflanadi: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ , hosila nima maqolasi esa bu taʼrifni oddiy funksiyalar uchun bosqichma-bosqich koʻrib chiqadi. Buni har bir masala uchun qilish juda mashaqqatli boʻlardi. Buning oʻrniga matematiklar umumiy qoidalarni bir marta isbotlashgan va endi bu qoidalar koʻphadlar, ildizlar, koʻrsatkichli va logarifmik funksiyalar, trigonometrik funksiyalar hamda ularning istalgan birikmasi bilan ishlaydi.

Qoidalarni ikki guruhga ajratib tasavvur qiling: asosiy qurilish bloklarining hosilalari va bloklarni yigʻindi, koʻpaytma, boʻlinma va kompozitsiya orqali birlashtirish qoidalari.

Asosiy qoidalar: oʻzgarmaslar, darajalar va yigʻindilar

\frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g'

Oʻzgarmas hech qachon oʻzgarmaydi, shuning uchun uning oʻzgarish tezligi nolga teng. Daraja qoidasi faqat musbat butun sonlar uchun emas, balki istalgan haqiqiy $n$ koʻrsatkich uchun ishlaydi, bu esa uni dastlab koʻringanidan ancha foydaliroq qiladi. Oʻzgarmas koʻpaytuvchi hosila ishorasidan toʻgʻridan-toʻgʻri chiqariladi, yigʻindining hosilasi esa hosilalar yigʻindisiga teng.

1-misol: koʻphad

$5x^4 - 3x^2 + 7x - 2$ ni hadma-had differensiallaymiz.
$5 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7$ .

2-misol: ildizlar va teskari kattaliklar

Avval darajalar koʻrinishida yozamiz: $\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}$ va $6\sqrt{x} = 6x^{1/2}$ .
$\frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$ .
$\frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

Differensiallashdan oldin ildizlarni va maxrajida $x$ boʻlgan kasrlarni darajalar koʻrinishida yozing. Daraja qoidasidagi xatolarning aksariyati shu qadamni tashlab ketishdan kelib chiqadi.

Koʻrsatkichli, logarifmik va trigonometrik funksiyalar

Bu hosilalarni yodlab olishga arziydi, chunki har bir kattaroq masala ulardan tuziladi:

\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x

$e^x$ funksiya oʻzining hosilasiga teng, shuning uchun $e$ soni matematik analizning hamma joyida uchraydi. Trigonometrik qoidalar burchakning radianlarda boʻlishini talab qiladi; graduslarda qoʻshimcha $\frac{\pi}{180}$ koʻpaytuvchi paydo boʻladi. Qolgan trigonometrik hosilalar: $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ , $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ va $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ ; ularning barchasi quyidagi boʻlinma qoidasidan kelib chiqadi.

Koʻpaytma qoidasi

\frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Koʻpaytmaning hosilasi hosilalar koʻpaytmasiga teng emas. Sababini tushunish uchun tomonlari $f$ va $g$ boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchakni tasavvur qiling. Ikkala tomon biroz oʻsganda yuzaga bir tomon boʻylab $f' \cdot g$ oʻlchamli tasma, ikkinchi tomon boʻylab $f \cdot g'$ oʻlchamli tasma va limitda yoʻqolib ketadigan juda kichik burchak qoʻshiladi.

3-misol: $y = x^2\sin x$

$f = x^2$ va $g = \sin x$ deylik, u holda $f' = 2x$ va $g' = \cos x$ .
$y' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .
$x = \pi$ da: $y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2$ .

Boʻlinma qoidasi

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Bu yerda ayirish tufayli tartib muhim. Eslab qolish uchun qulay qoida: “suratning hosilasi maxrajga koʻpaytiriladi, undan surat maxrajning hosilasiga koʻpaytmasi ayiriladi va hammasi maxrajning kvadratiga boʻlinadi”.

4-misol: $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

$f = x^2 + 1$ , $f' = 2x$ ; $g = x - 1$ , $g' = 1$ .
$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$ .
Suratni soddalashtiramiz: $2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$ , demak, $y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$ .

Uni $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ga qoʻllash $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ ni beradi va bu yuqoridagi jadvalni tasdiqlaydi.

Murakkab funksiya hosilasi qoidasi

Bu qoida kompozitsiyalar, yaʼni funksiya ichidagi funksiyalar bilan ishlaydi. Agar $y = f(g(x))$ boʻlsa, u holda:

\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Soʻz bilan aytganda: ichki qismga tegmasdan tashqi funksiyani differensiallang, soʻng ichki qismning hosilasiga koʻpaytiring. Leybnits belgilashida, $u = g(x)$ bilan, u $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ koʻrinishida yoziladi. Tezliklar koʻpaytiriladi: agar $u$ $x$ ga qaraganda 3 marta tez, $y$ esa $u$ ga qaraganda 2 marta tez oʻzgarsa, $y$ $x$ ga qaraganda 6 marta tez oʻzgaradi. Ichki va tashqi funksiyalarni ajrata bilish funksiyalar kompozitsiyasi maqolasida mashq qilinadi.

5-misol: murakkab funksiya qoidasi bilan toʻrtta hosila

$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$ .
$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$ .
$\frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x}$ .
$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4}$ .

Qoidalarni birlashtirish

Haqiqiy masalalarda qoidalar aralash keladi. Tashqaridan ichkariga qarab ishlang: ifodadagi oxirgi amal qaysi ekanini aniqlang, uning qoidasini qoʻllang, soʻng har bir qism bilan alohida ishlang.

6-misol: $y = xe^{3x}$

Eng tashqi amal — koʻpaytma, shuning uchun koʻpaytma qoidasidan foydalanamiz.
$e^{3x}$ ning hosilasi uchun murakkab funksiya qoidasi kerak: $3e^{3x}$ .
$y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$ .

7-misol: $y = x^x$ ni logarifmlab differensiallash

Na daraja qoidasi, na koʻrsatkichli funksiya qoidasi qoʻllanmaydi, chunki asos ham, daraja koʻrsatkichi ham oʻzgaradi.
Logarifmlaymiz: $\ln y = x\ln x$ .
Ikkala tomonni differensiallaymiz, chap tomonda murakkab funksiya qoidasidan foydalanamiz: $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ .
Demak, $x > 0$ uchun $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

$y$ ni umuman ajratib boʻlmaganda, masalan, $x^2 + y^2 = 25$ da, murakkab funksiya qoidasi oshkormas differensiallash orqali baribir ishlaydi.

Keng tarqalgan xatolar

Murakkab funksiya qoidasida ichki hosilani unutish, masalan, $\sin(x^2)$ ning hosilasi uchun $\cos(x^2)$ deb yozish.
Koʻpaytma qoidasi oʻrniga koʻpaytmaning hosilalarini shunchaki koʻpaytirish.
Boʻlinma qoidasining suratida tartibni almashtirib yuborish — bu ishorani teskarisiga oʻzgartiradi.
Daraja qoidasini $e^x$ yoki $2^x$ ga qoʻllash; bular daraja emas, koʻrsatkichli funksiyalardir.
Trigonometrik hosilalarda graduslardan foydalanish.

Javobni tekshirish uchun hosila kalkulyatori har bir qadamda qaysi qoidani qoʻllaganini koʻrsatadi, grafik kalkulyatori esa egri chiziq ogʻmasini hosilangiz qiymatlari bilan solishtirish imkonini beradi.

Teskari trigonometrik funksiyalar

Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari algebraik ifodalardir va bu ularni birinchi marta koʻrgan koʻplab oʻquvchilarni hayratda qoldiradi. Ular teskari bogʻlanishni oshkormas differensiallashdan kelib chiqadi; masalan, agar $y = \arcsin x$ boʻlsa, $\sin y = x$ , va ikkala tomonni differensiallash $\cos y \cdot y' = 1$ ni beradi. Arksinusning qiymatlar sohasida $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ boʻlgani uchun natija kelib chiqadi:

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Bu ikki natija differensiallashdan koʻra integrallashda muhimroq, chunki ular $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ kabi integrallar nima uchun arktangensni berishini tushuntiradi.

Yuqori tartibli hosilalar

Hosiladan hosila olish ikkinchi tartibli hosilani beradi va har safar oʻsha qoidalar qoʻllaniladi. $y = x^4$ uchun hosilalar ketma-ket $4x^3$ , keyin $12x^2$ , keyin $24x$ , soʻng 24 ga teng, undan keyingi barcha hosilalar esa 0. $n$ -darajali koʻphad har doim $n + 1$ marta differensiallashdan keyin nolga aylanadi.

Sinus va kosinus esa aylanma takrorlanadi: $\sin x$ ning hosilalari $\cos x$ , $-\sin x$ , $-\cos x$ va yana $\sin x$ boʻlib, har toʻrt qadamda takrorlanadi. $e^x$ koʻrsatkichli funksiya umuman oʻzgarmaydi. Bu qonuniyatlar funksiyalarni bitta nuqtadagi barcha hosilalari yordamida yaqinlashtiradigan Teylor qatorlarini qurishning boshlangʻich nuqtasidir.

Javoblari bilan mashqlar

Javobni oʻqishdan oldin har birini oʻzingiz yechib koʻring. Avval qaysi qoida eng tashqi ekanini aniqlang.

$\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$ . Javob: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$ . Javob: koʻpaytma qoidasi boʻyicha $x^2e^x(3 + x)$ .
$\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$ . Javob: murakkab funksiya qoidasi boʻyicha $-5\sin(5x + 1)$ .
$\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$ . Javob: boʻlinma qoidasi boʻyicha $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$ . Javob: $\frac{1}{2}$ daraja bilan murakkab funksiya qoidasi boʻyicha $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ .

Qoidalar amalda: bir-biriga bogʻliq tezliklar

Bogʻliq tezliklarga oid masalalarni aynan murakkab funksiya qoidasi yechish imkonini beradi. Faraz qilaylik, hovuzda doiraviy toʻlqin tarqalib, uning radiusi sekundiga 2 cm ga oʻsmoqda. Yuza $A = \pi r^2$ ga teng, uni vaqt boʻyicha differensiallash $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ ni beradi. Radius 10 cm boʻlganda yuza sekundiga $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ kvadrat santimetrga oʻsadi.

Xuddi shu gʻoya devor boʻylab sirpanayotgan narvon, puflanayotgan shar yoki koʻcha chirogʻidan uzoqlashayotgan odamning soyasi haqidagi savollarga javob beradi. Har bir holatda miqdorlarni bogʻlovchi tenglamani yozasiz, har bir hadni murakkab funksiya qoidasidan foydalanib vaqt boʻyicha differensiallaysiz, soʻng sizni qiziqtirgan ondagi qiymatlarni qoʻyasiz. Differensiallashdan oldin qiymatlarni qoʻyish — klassik xato, chunki u oʻzgaruvchan miqdorlarni oʻzgarmaslarga aylantirib qoʻyadi.

Koʻp beriladigan savollar

Daraja qoidasi manfiy va kasr koʻrsatkichlar uchun ishlaydimi?

Ha. U har qanday haqiqiy koʻrsatkich uchun oʻrinli, shuning uchun $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2}$ va $\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ . Avval ildizlar va teskari kattaliklarni darajalar koʻrinishida yozing.

Boʻlinma qoidasisiz ishlash mumkinmi?

Koʻpincha mumkin. $\frac{f}{g}$ ni $f \cdot g^{-1}$ koʻrinishida yozing va koʻpaytma hamda murakkab funksiya qoidalaridan foydalaning yoki avval kasrni soddalashtiring. Ikkala yoʻl ham bir xil javob beradi, garchi ular bir xil koʻrinishi uchun soddalashtirish kerak boʻlishi mumkin.

Murakkab funksiya qoidasini qachon qoʻllashni qanday bilaman?

Funksiya ichida oddiy $x$ dan boshqa narsa turgan har safar: qavsning darajasi, $2x$ ning trigonometrik funksiyasi, $x$ dan boshqa narsa darajasidagi $e$ yoki ifodaning logarifmi. Agar ichida shunchaki $x$ boʻlsa, uning hosilasi 1 ga teng va bu qoida hech narsani oʻzgartirmaydi.

Nega e ning x-darajasining hosilasi oʻziga teng?

$e \approx 2.71828$ soni aynan shunday asoski, $a^x$ ning $x = 0$ dagi ogʻmasi 1 ga teng boʻladi. Bu xossa bilan limit orqali taʼrif har bir nuqtadagi ogʻma funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga tengligini koʻrsatadi.

Differensiallash qoidalarini qanday tartibda qoʻllash kerak?

Ifodani biror son uchun hisoblaganingizda bajaradigan oxirgi amaldan boshlang. Agar bu koʻpaytirish boʻlsa, koʻpaytma qoidasidan foydalaning; agar bu funksiyani qavsga qoʻllash boʻlsa, murakkab funksiya qoidasidan foydalaning. Soʻng xuddi shu savolni har bir qismga bering va ichkariga qarab ishlang.

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.