Teylor qatorlari: funksiyalarni koʻphadlar bilan yaqinlashtirish

Gʻoya: hosilalarni moslashtirish

Koʻphadlar bilan ishlash eng oson. Ularni faqat qoʻshish va koʻpaytirish yordamida hisoblash mumkin, ularni differensiallash yoki integrallash esa odatiy ish. $e^x$, $\sin x$ va $\ln x$ kabi funksiyalarni qoʻlda hisoblash ancha qiyin. Teylor qatorining gʻoyasi tanlangan $a$ nuqta yaqinida funksiyaga oʻxshab oʻzini tutadigan koʻphad topishdan iborat.

Nuqta orqali oʻtuvchi eng yaxshi toʻgʻri chiziq bu urinmadir: u oʻsha nuqtada funksiyaning qiymati va birinchi hosilasiga mos keladi. Parabola ikkinchi hosilaga ham mos kela oladi, shuning uchun u egri chiziqning egilishini kuzatib boradi. Kub koʻphad uchinchi hosilaga ham mos kela oladi va hokazo. Har bir qoʻshimcha mos kelgan hosila koʻphadni nuqta atrofidagi kengroq oraliqda funksiyaga yopishtiradi. Bu jarayonni cheksiz davom ettirsak, Teylor qatori hosil boʻladi.

Teylor qatori formulasi

Koʻphadning $a$ nuqtadagi $n$-tartibli hosilasi $f^{(n)}(a)$ ga teng boʻlishini talab qilsak, $(x - a)^n$ oldidagi koeffitsiyent albatta $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ boʻladi. Faktorial paydo boʻlishining sababi shuki, $(x - a)^n$ ni $n$ marta differensiallash $n!$ ni beradi. Toʻliq qator quyidagicha:

$a = 0$ boʻlganda qator Makloren qatori deb ataladi va darajalar oddiygina $x^n$ boʻladi. $(x - a)^n$ gacha boʻlgan hadlardan tuzilgan koʻphad $n$-darajali Teylor koʻphadi deyiladi va $P_n(x)$ bilan belgilanadi. Faqat birinchi ikki had urinma orqali yaqinlashishni beradi, bu chiziqlilashtirish deb ham ataladi.

e ning x-darajasi uchun qatorni tuzish

$x = 1$ deb olsak, konstantaning oʻzi uchun mashhur formula hosil boʻladi: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$; faktoriallar juda tez oʻsgani uchun bu qator oʻn ikkita atrofidagi haddan keyin 2.71828 ga yetadi.

Bilish kerak boʻlgan qatorlar

Quyidagi Makloren qatorlari doimo uchraydi, qolganlarining aksariyatini esa ulardan oʻrniga qoʻyish, koʻpaytirish, differensiallash yoki integrallash orqali tuzish mumkin:

Sinus qatorida faqat toq darajalar bor, bu uning toq funksiya ekanligiga mos keladi; kosinus qatorida esa faqat juft darajalar bor, bu uning simmetriyasiga mos keladi. Sinus qatorini hadma-had differensiallasak, kosinus qatori hosil boʻladi, bu $\sin x$ ning hosilasi $\cos x$ boʻlishi kerakligiga aynan mos.

Tekshirib koʻramiz: $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, haqiqiy qiymat esa $0.0998334$. Ikki hadning oʻzi verguldan keyin oltita toʻgʻri raqam beradi, shuning uchun kalkulyatorlar trigonometrik funksiyalarni qisqa koʻphadlar yordamida juda tez hisoblay oladi.

Noldan farqli nuqta atrofida yoyish

$a$ ni sizni qiziqtirgan qiymatga yaqin tanlash yaqinlashishni ancha tezlashtiradi. $\sqrt{4.1}$ ni baholash uchun $\sqrt{x}$ ni kvadrat ildiz oson hisoblanadigan $a = 4$ nuqta atrofida yoying.

Xatolik qanchalik katta?

Teylor teoremasi Teylor koʻphadining xatoligini beradi. Agar $a$ va $x$ oraligʻida $|f^{(n+1)}| \le M$ boʻlsa, $n$-darajali haddan keyingi qoldiq quyidagini qanoatlantiradi:

$n = 3$ da $e^{0.5}$ uchun toʻrtinchi hosila oraliqda $e^t \le e^{0.5} < 2$, shuning uchun xatolik koʻpi bilan $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. Haqiqiy xatolik $0.0029$ bu chegara ichida. Bahoni teskari yoʻnalishda ham ishlatish foydali: u hisoblashni boshlashdan oldin berilgan aniqlikni kafolatlash uchun nechta had kerakligini aytadi.

Sinus va kosinus qatorlari kabi ishorasi almashinuvchi qatorlar uchun yanada soddaroq baho bor: xatolik tashlab yuborilgan birinchi haddan katta boʻlmaydi. Bu qoidaning asosidagi gʻoyalar qatorlarning yaqinlashish alomatlari maqolasida yoritilgan.

Qator qayerda yaqinlashadi

Teylor qatori har doim ham hamma joyda oʻz funksiyasiga teng boʻlavermaydi. $\frac{1}{1 - x}$ uchun geometrik qator faqat $|x| < 1$ da ishlaydi; $x = 2$ da chap tomon $-1$ ga teng, qatorning hadlari esa cheksiz oʻsadi. Qator yaqinlashadigan $x$ qiymatlari toʻplami markazi $a$ da boʻlgan oraliq boʻlib, uning yarim uzunligi yaqinlashish radiusi deyiladi. Odatda u Dalamber alomati yordamida topiladi.

$e^x$, $\sin x$ va $\cos x$ uchun qatorlar har qanday haqiqiy $x$ da yaqinlashadi. $\ln(1 + x)$ uchun qator $-1 < x \le 1$ da yaqinlashadi; $x = 1$ da u ajoyib natija beradi: $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$, garchi juda sekin yaqinlashsa ham.

Teylor qatorlari nima uchun ishlatiladi

• Funksiyalarni hisoblash: kalkulyatorlar va dasturlar Teylor koʻphadlariga yaqin koʻphadli yaqinlashishlardan foydalanadi.
• Limitlar: $\sin x$ ni $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ bilan almashtirish Lopital qoidasisiz $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ ekanini koʻrsatadi.
• Elementar boshlangʻich funksiyasi boʻlmagan integrallar: $e^{-x^2}$ qatorini hadma-had integrallash $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$ ni beradi, bu haqiqiy $0.7468$ ga yaqin.
• Fizika: mayatniklar uchun ishlatiladigan kichik burchak yaqinlashishi $\sin\theta \approx \theta$ sinus qatorining birinchi hadidir.
• Eyler formulasi $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, u uchta qatorni solishtirish orqali kelib chiqadi.

Teylor qatori kalkulyatori istalgan funksiyani istalgan nuqta atrofida tanlangan tartibgacha yoyadi va har bir hosilani koʻrsatadi. Bu yerda hosila olish koʻnikmalari juda muhim, shuning uchun hosila qoidalari tushuntirilgan maqolasi foydali hamroh boʻladi.

Har qanday Teylor koʻphadi uchun retsept

1. $a$ markazni tanlang: qiymatlar kerak boʻlgan joyga yaqin, funksiya va uning hosilalarini hisoblash oson boʻlgan nuqta.
2. Funksiyani kerakli daraja marta differensiallang va har bir hosilani soddalashtiring.
3. Har bir hosilani $a$ nuqtada hisoblang.
4. Har bir koeffitsiyentni olish uchun $n$-qiymatni $n!$ ga boʻling.
5. $a = 0$ boʻlmasa, koʻphadni $x$ ning darajalari bilan emas, $(x - a)$ ning darajalari bilan yozing.
6. Birinchi koeffitsiyentni tekshiring: $P_n(a)$ albatta $f(a)$ ga, $P_n$ ning $a$ dagi ogʻmasi esa $f'(a)$ ga teng boʻlishi kerak.

Koʻpincha qayta-qayta differensiallashdan koʻra maʼlum qatordan yangisini tuzish tezroq. Masalan, $e^x$ qatorida $x$ ni $-x^2$ bilan almashtirsak, darhol $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$ hosil boʻladi, sinus qatorini $x$ ga koʻpaytirsak esa $x\sin x$ uchun qator chiqadi.

Yaqinlashishlarni grafikda koʻrish

$\cos x$ ni uning 2, 4 va 6-darajali Teylor koʻphadlari bilan birga chizing, shunda aniq qonuniyat koʻrinadi. 2-darajali koʻphad, yaʼni pastga qaragan parabola, nol yaqinida kosinus egri chizigʻiga yaxshi mos keladi, lekin taxminan bir birlikdan keyin undan uzoqlashadi. 4-darajali koʻphad uzoqroq vaqt yaqin turadi, 6-darajali koʻphad esa egri chiziqning birinchi doʻngligining katta qismini kuzatib boradi. Har bir koʻphad oxir-oqibat cheksizlikka ketib qoladi, chunki hech bir koʻphad abadiy tebrana olmaydi, ammo hadlar qoʻshilgan sari bu ajralish nuqtasi tobora uzoqqa suriladi; amalda qatorning yaqinlashishi aynan shuni anglatadi.

Bu tasvir sezgini shakllantirishning eng yaxshi yoʻli: yaqinlashish markaz yaqinida aʼlo darajada, undan uzoqlashgan sari yomonlashadi. Grafik kalkulyatori funksiyani va uning bir nechta Teylor koʻphadlarini birga chizishi mumkin, shunda ularning yaqinlashishini kuzatasiz.

Koʻp beriladigan savollar