Matematik analizda limitlar: amaliy qoʻllanma

Limit gʻoyasi

$f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ funksiyani qaraylik. $x = 3$ da formula $\frac{0}{0}$ ni beradi, demak, $f(3)$ aniqlanmagan. Biroq $f$ ni 2.9, 2.99, 3.01 va 3.1 nuqtalarda hisoblasangiz, 5.9, 5.99, 6.01 va 6.1 qiymatlarni olasiz. Natijalar 6 ga yaqinlashib boradi. Biz $x$ 3 ga intilganda $f(x)$ ning limiti 6 ga teng deymiz va bunday yozamiz:

Funksiyaning aynan shu nuqtadagi qiymati limit uchun ahamiyatsiz. Faqat nuqta atrofidagi xatti-harakat muhim. Grafik jihatdan $f$ ning grafigi $(3, 6)$ nuqtasi teshik boʻlgan $y = x + 3$ toʻgʻri chiziqdir, limit esa shu teshikning balandligidir.

Norasmiy aytganda, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ yozuvi $x$ ni $a$ ga yetarlicha yaqin, lekin unga teng boʻlmagan holda olib, $f(x)$ ni $L$ ga xohlagancha yaqin qilish mumkinligini bildiradi. Bu jumlaning aniq shakli — epsilon-delta taʼrifi — uni isbotlash mumkin boʻlgan tasdiqqa aylantiradi.

1-usul: bevosita qoʻyish

Koʻphadlar, maxraji nolga teng boʻlmagan kasr-ratsional funksiyalar, ildizlar, koʻrsatkichli, logarifmik va trigonometrik funksiyalar oʻz aniqlanish sohalarida uzluksizdir. Uzluksiz funksiyalar uchun limit shunchaki funksiyaning qiymatiga teng, shuning uchun qiymatni qoʻying.

Masalan, $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$ va $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. Har doim avval qoʻyib koʻring. Agar haqiqiy son chiqsa, ish tugadi. Agar noldan farqli sonning nolga nisbati chiqsa, limit cheksiz yoki mavjud emas. Faqat $\frac{0}{0}$ va shunga oʻxshash aniqmasliklar qoʻshimcha ish talab qiladi.

2-usul: koʻpaytuvchilarga ajratib, qisqartirish

Agar kasr-ratsional funksiya uchun qoʻyish $\frac{0}{0}$ ni bersa, surat va maxraj umumiy $(x - a)$ koʻpaytuvchiga ega. Ikkalasini koʻpaytuvchilarga ajrating, qisqartiring va yana qoʻying.

Qisqartirishga ruxsat bor, chunki limit hech qachon aynan $x = a$ dagi qiymatdan foydalanmaydi. Bu yerda kerak boʻladigan usullar koʻpaytuvchilarga ajratish boʻyicha qoʻllanmada yoritilgan.

3-usul: qoʻshma ifodaga koʻpaytirish

Agar $\frac{0}{0}$ ga kvadrat ildiz sabab boʻlsa, surat va maxrajni qoʻshma ifodaga koʻpaytiring — bu kvadratlar ayirmasi orqali ildizni yoʻqotadi.

Bir tomonlama limitlar va limit qachon mavjud emas

Bir tomonlama limit argumentning faqat bir yoʻnalishdan yaqinlashishini qaraydi: $x \to a^-$ — chapdan, $x \to a^+$ — oʻngdan. Ikki tomonlama limit faqat ikkala bir tomonlama limit mavjud va teng boʻlganda mavjud boʻladi.

$f(x) = \frac{|x|}{x}$ uchun har bir musbat argument 1 ni, har bir manfiy argument esa $-1$ ni beradi. Demak, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ va $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Ular teng emas, shuning uchun $\lim_{x \to 0} f(x)$ mavjud emas. Bunday xatti-harakatning eng keng tarqalgan manbai boʻlakli funksiyalardir, shuning uchun boʻlaklar orasidagi chegarada doim ikkala tomonni tekshiring.

Limit funksiya tebranishi sababli ham mavjud boʻlmasligi mumkin. $x \to 0$ da $\sin\frac{1}{x}$ $-1$ va 1 orasida cheksiz koʻp marta tebranadi va hech bir qiymatda toʻxtamaydi.

Cheksiz limitlar va cheksizlikdagi limitlar

Agar funksiya $a$ atrofida chegarasiz oʻssa, limitni $\infty$ deb yozamiz, masalan, $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. Qatʼiy aytganda, limit son sifatida mavjud emas, ammo bu yozuv u qanday mavjud emasligini qayd etadi va $x = a$ da vertikal asimptota borligini bildiradi.

$x \to \infty$ dagi limitlar uzoq muddatli xatti-harakatni va gorizontal asimptotalarni tavsiflaydi. Kasr-ratsional funksiyalar uchun har bir hadni maxrajdagi $x$ ning eng yuqori darajasiga boʻling:

Agar maxrajning darajasi yuqoriroq boʻlsa, limit 0 ga teng; masalan, $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. Agar suratning darajasi yuqoriroq boʻlsa, funksiya chegarasiz oʻsadi. Cheksizlikdagi mashhur limitlardan biri konstantani aniqlaydi: $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

Ajoyib trigonometrik limitlar va ikki militsioner teoremasi

Barcha trigonometrik hosilalar ikki limitga asoslanadi:

Ikkalasida ham qoʻyish $\frac{0}{0}$ ni beradi va uni faqat algebra bilan yoʻqotib boʻlmaydi. Sonli hisoblasak, $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ va $\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$ — bu javobni taxmin qilishga yordam beradi, ikki militsioner teoremasi bilan geometrik mulohaza esa uni isbotlaydi. Burchak radianlarda boʻlishi shart.

Ikki militsioner teoremasiga koʻra, agar $a$ atrofida $g(x) \le f(x) \le h(x)$ boʻlsa va $g$ hamda $h$ ikkalasi $L$ ga intilsa, $f$ ham $L$ ga intiladi. Masalan, $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$ va ikkala chegara 0 ga intiladi, demak, $\sin\frac{1}{x}$ ning oʻzi limitga ega boʻlmasa ham, $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$.

Lopital qoidasi

Agar limit $\frac{0}{0}$ yoki $\frac{\infty}{\infty}$ koʻrinishida boʻlsa va funksiyalar nuqta atrofida differensiallanuvchi boʻlsa, surat va maxrajni ularning hosilalari bilan almashtirishingiz mumkin: $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$, faqat yangi limit mavjud boʻlishi shart.

Surat va maxrajni alohida-alohida differensiallang. Lopital qoidasi boʻlinmani differensiallash qoidasi emas va u faqat aniqmasliklarga qoʻllaniladi.

Limitlar, uzluksizlik va hosilalar

Agar $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ boʻlsa, funksiya $a$ nuqtada uzluksiz: limit mavjud, funksiya shu nuqtada aniqlangan va ikkalasi teng. Hosilaning oʻzi ham limitdir: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ va u har doim $\frac{0}{0}$ koʻrinishida boshlanadi; hosila nima maqolasiga qarang. Integrallar va qatorlarning yaqinlashishi ham limitlar orqali taʼriflanadi.

Limit kalkulyatori bir tomonlama va ikki tomonlama limitlarni, jumladan, cheksizlikdagi limitlarni hisoblaydi va qaysi usuldan foydalanganini koʻrsatadi. Limitni koʻz bilan tekshirish uchun grafik kalkulyatori nuqtani kattalashtirib koʻrish imkonini beradi.

Limitlar xossalari

Limitlar arifmetik amallar bilan yaxshi muvofiqlashadi. Agar $\lim f(x)$ va $\lim g(x)$ ikkalasi ham mavjud boʻlsa, yigʻindining limiti limitlar yigʻindisiga, koʻpaytmaning limiti limitlar koʻpaytmasiga, boʻlinmaning limiti esa — maxrajning limiti nolga teng boʻlmasa — limitlar boʻlinmasiga teng. Oʻzgarmas koʻpaytuvchilar va darajalar ham xuddi shunday limit ishorasidan chiqariladi. Aynan shu xossalar tufayli uzluksiz funksiyalar uchun bevosita qoʻyish ishlaydi: koʻphad $x$ va oʻzgarmaslarning yigʻindi va koʻpaytmalaridan tuzilgan, demak, uning limiti ham xuddi shunday tuziladi.

Bu xossalar har bir alohida limit mavjud boʻlishini talab qiladi. $x\sin\frac{1}{x}$ ning 0 dagi limiti 0 ga teng, ammo buni limitlarni koʻpaytirib olib boʻlmaydi, chunki $\sin\frac{1}{x}$ u yerda limitga ega emas. Bunday hollarda ikki militsioner teoremasi kerak boʻladi.

Aksariyat masalalar uchun ishlaydigan strategiya

1. Qoʻying. Haqiqiy son chiqsa — bu javob.
2. Noldan farqli son nolga boʻlinsa: $\infty$, $-\infty$ yoki limit yoʻqligini aniqlash uchun har bir tomondan ishorani tekshiring.
3. Koʻphadlarda nolning nolga nisbati: koʻpaytuvchilarga ajrating va qisqartiring.
4. Kvadrat ildizlarda nolning nolga nisbati: qoʻshma ifodaga koʻpaytiring.
5. Trigonometrik funksiyalarda nolning nolga nisbati: $\frac{\sin x}{x} \to 1$ dan foydalanib qayta yozing.
6. Cheksizlikdagi limitlar: maxrajdagi eng yuqori darajaga boʻling.
7. Agar algebra yordam bermasa, Lopital qoidasini qoʻllang yoki ikkala tomondagi qiymatlar bilan sonli tekshiring.

Javoblari bilan mashq: kublar ayirmasini koʻpaytuvchilarga ajratib, $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$. Uni $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$ koʻrinishida yozib, $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$. Surat va maxrajni $x$ ga boʻlib, $\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$.

Koʻp beriladigan savollar