Matematik analiz

Hosila nima? Tushunarli kirish

Q: Hosila ogʻma bilan bir xilmi?

Nuqtadagi hosila shu nuqtadagi urinmaning ogʻmasiga teng. Toʻgʻri chiziq uchun hosila oʻzgarmas va chiziqning ogʻmasiga teng; egri chiziq uchun esa u nuqtadan nuqtaga oʻzgaradi.

Q: Nega taʼrifga shunchaki h = 0 ni qoʻyib boʻlmaydi?

Bevosita qoʻyish 0/0 ni beradi, uning qiymati yoʻq. Limit h 0 ga yaqinlashganda nisbat nimaga intilishini soʻraydi va bu maxrajdagi h qisqarishi uchun avval soddalashtirish orqali topiladi.

Q: Uzluksiz funksiya hosilaga ega boʻlmasligi mumkinmi?

Ha. Modul funksiyasi 0 da uzluksiz, ammo u yerda burchak nuqtaga ega, shuning uchun uning chap va oʻng ogʻmalari teng emas va hosila mavjud emas. Hatto hech bir nuqtada hosilaga ega boʻlmagan uzluksiz funksiyalar ham bor.

Q: Hosila qanday oʻlchov birliklariga ega?

Funksiya qiymati birliklarining argument birliklariga nisbati. Agar V — litrlardagi hajm, t — daqiqalardagi vaqt boʻlsa, (dV)/(dt) daqiqasiga litrlarda oʻlchanadi.

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Funksiyaning hosilasi argument oʻzgarganda uning qiymati bir onda qanchalik tez oʻzgarishini oʻlchaydi. Grafik jihatdan bu urinmaning ogʻmasi; algebraik jihatdan esa tobora kichrayib boruvchi oraliqlardagi oʻrtacha oʻzgarish tezliklarining limitidir.

Oʻrtacha tezlikdan oniy tezlikka

Agar avtomobil 2 soatda 120 km yoʻl bosgan boʻlsa, uning oʻrtacha tezligi soatiga 60 km. Bu son maʼlum bir lahzada spidometrda koʻrsatilgan tezlik haqida hech narsa demaydi: u svetoforda 0 yoki avtomagistralda 100 boʻlgan boʻlishi mumkin. Hosila spidometr koʻrsatkichining matematik koʻrinishidir: oraliq boʻyicha emas, balki bir ondagi oʻzgarish tezligi.

Istalgan $f$ funksiya uchun $x$ va $x + h$ orasidagi oʻrtacha oʻzgarish tezligi grafikdagi shu ikki nuqta orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq — kesuvchining ogʻmasiga teng:

\frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Oniy tezlikni olish uchun oraliqni kichraytiring. $h$ 0 ga intilganda kesuvchi urinmaga — egri chiziqqa shu nuqtada shunchaki tegib oʻtadigan toʻgʻri chiziqqa — tomon buriladi. Kesuvchilar ogʻmalarining limiti hosiladir.

Rasmiy taʼrif

$f$ ning $x$ nuqtadagi hosilasi

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

ga teng, agar bu limit mavjud boʻlsa. Limit mavjud boʻlganda $f$ funksiya $x$ nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. Kasrga shunchaki $h = 0$ ni qoʻyib boʻlmaydi, chunki bu $\frac{0}{0}$ ni beradi. Buning oʻrniga maxrajdagi $h$ qisqarguncha algebraik soddalashtiring, soʻng limitga oʻting. Agar limitlar siz uchun yangi boʻlsa, avval limitlar boʻyicha qoʻllanmamiz bilan tanishing.

1-misol: $f(x) = x^2$ ning hosilasi

Ayirmali nisbat: $\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$ .
Soddalashtiramiz: $\frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$ , bu $h \ne 0$ da oʻrinli.
Limitga oʻtamiz: $h \to 0$ da $2x + h \to 2x$ . Demak, $f'(x) = 2x$ .
$x = 3$ da ogʻma 6 ga teng, $(3, 9)$ nuqtadan oʻtuvchi urinma esa $y = 6x - 9$ .

2-misol: $f(x) = \frac{1}{x}$ ning hosilasi

$\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x + h)}{h\,x(x + h)} = \frac{-1}{x(x + h)}$ .
$h \to 0$ da: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ , bu har bir $x \ne 0$ uchun aniqlangan.
Ogʻma doim manfiy, bu grafikka mos keladi: $\frac{1}{x}$ funksiya 0 ning har ikki tomonida kamayadi.

3-misol: $f(x) = \sqrt{x}$ ning hosilasi

Ayirmali nisbatni qoʻshma ifodaga koʻpaytiramiz: $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$ .
$h \to 0$ da: $x > 0$ uchun $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Belgilashlar

Bir nechta belgilash keng qoʻllaniladi va ularning barchasi bir xil maʼnoni anglatadi. Lagranjning shtrixli belgilashi $f'(x)$ deb yoziladi. Leybnits belgilashi $\frac{dy}{dx}$ yoki $\frac{d}{dx}f(x)$ koʻrinishida boʻlib, hosila kichik oʻzgarishlar nisbati ekanini eslatadi va murakkab funksiya hosilasi qoidasini tabiiy koʻrsatadi. Fiziklar vaqt boʻyicha hosilani koʻpincha nuqta bilan, $\dot{x}$ deb yozadi.

Hosilani ikki marta olish ikkinchi tartibli hosilani beradi, u $f''(x)$ yoki $\frac{d^2y}{dx^2}$ deb yoziladi. Agar $s(t)$ — vaziyat boʻlsa, $s'(t)$ — tezlik, $s''(t)$ esa tezlanishdir.

Hosila grafik haqida nimalarni aytadi

$f'(x) > 0$ boʻlgan joyda funksiya oʻsadi.
$f'(x) < 0$ boʻlgan joyda u kamayadi.
$f'(x) = 0$ boʻlgan joyda urinma gorizontal; lokal maksimum va minimumlar shunday nuqtalarda (yoki $f'$ mavjud boʻlmagan joylarda) boʻladi.
$f''(x) > 0$ boʻlgan joyda grafik pastga qavariq, kosa kabi egiladi; $f''(x) < 0$ boʻlgan joyda esa yuqoriga qavariq.

4-misol: $f(x) = x^3 - 3x$ ning ekstremum nuqtalari

Daraja qoidasidan foydalanib, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ .
$x = -1$ va $x = 1$ da $f'(x) = 0$ .
Bu nuqtalardan oʻtishda $f'$ ning ishorasi $+, -, +$ tartibda oʻzgaradi, demak, $x = -1$ — lokal maksimum, $f(-1) = 2$ , $x = 1$ esa lokal minimum, $f(1) = -2$ .
Ikkinchi hosila bilan tekshirish: $f''(x) = 6x$ $-1$ da manfiy (yuqoriga qavariq, maksimum) va 1 da musbat (minimum).

Bu ishni tezlashtiradigan qoidalar, masalan, bu yerda qoʻllanilgan daraja qoidasi, hosila qoidalari tushuntirilgan maqolasida yoritilgan.

Fizik misol: tushayotgan tosh

Tinch holatdan qoʻyib yuborilgan tosh havo qarshiligini hisobga olmaganda $t$ sekundda $s(t) = 4.9t^2$ metr masofaga tushadi. $t = 1$ va $t = 3$ oraligʻida u 4.9 m dan 44.1 m gacha tushadi, demak, uning oʻrtacha tezligi $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ m/s.

Uning oniy tezligi hosilaga teng: $s'(t) = 9.8t$ m/s. $t = 2$ da bu 19.6 m/s, yaʼni 1 dan 3 sekundgacha boʻlgan oraliqdagi oʻrtacha tezlikka aynan teng; kvadrat funksiya uchun oraliqdagi oʻrtacha tezlik har doim uning oʻrta nuqtasidagi oniy tezlikka teng. Ikkinchi hosila $s''(t) = 9.8$ m/s² — erkin tushish tezlanishi, u oʻzgarmas.

Oʻlchov birliklari har qanday hosilani tekshirishning yaxshi usuli. Metrlarda oʻlchanadigan miqdorning sekundlardagi vaqt boʻyicha hosilasi metr/sekundda oʻlchanadi. Iqtisodiyotda dollarlardagi umumiy xarajatning ishlab chiqarilgan miqdor boʻyicha hosilasi chekli xarajat boʻlib, u bir birlik uchun dollarlarda ifodalanadi.

Hosila qachon mavjud emas

Agar nuqtada ayirmali nisbatning limiti mavjud boʻlmasa, funksiya shu nuqtada differensiallanuvchi emas. Grafikda bu toʻrt xil koʻrinishda namoyon boʻladi:

Burchak nuqta, masalan, $|x|$ ning 0 dagi nuqtasi: bu yerda ogʻma chapdan $-1$ , oʻngdan $+1$ .
Qaytish nuqtasi, masalan, $x^{2/3}$ ning 0 dagi nuqtasi: bu yerda ogʻmalar qarama-qarshi yoʻnalishlarda cheksiz tik boʻlib ketadi.
Vertikal urinma, masalan, $\sqrt[3]{x}$ ning 0 dagi nuqtasi: bu yerda ogʻma cheksiz.
Uzilish, masalan, sakrash yoki teshik.

Differensiallanuvchanlikdan uzluksizlik kelib chiqadi: agar $f'(a)$ mavjud boʻlsa, $f$ funksiya $a$ nuqtada uzluksiz. Teskarisi notoʻgʻri, buni $|x|$ koʻrsatadi: u hamma joyda uzluksiz, ammo 0 da burchak nuqtaga ega.

Hosilani sonli baholash

Formula boʻlmaganda, masalan, oʻlchangan maʼlumotlar bilan ishlaganda, hosilani kichik qadam yordamida baholash mumkin. Simmetrik ayirmali nisbat odatda bir tomonlamasidan aniqroq:

f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}

$f(x) = \sin x$ uchun $x = 0$ nuqtada $h = 0.01$ bilan bu $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$ ni beradi, bu aniq qiymat $\cos 0 = 1$ ga juda yaqin. Grafik kalkulyatorlar va elektron jadvallar shunday baholashdan foydalanadi. Hosila kalkulyatori esa simvolik differensiallaydi va qoʻllagan har bir qoidasini koʻrsatadi, limit kalkulyatori esa limit orqali taʼrifni bevosita hisoblaydi.

Hosilalar qayerda qoʻllaniladi

“Qanchalik tez?” yoki “Qaysi qiymat eng yaxshi?” koʻrinishidagi har qanday savol hosilaga oid savoldir. Muhandislar sirt yuzining hosilasini nolga tenglab, eng kam material sarflanadigan idish oʻlchamlarini topadi. Iqtisodchilar foydani maksimal qiladigan ishlab chiqarish hajmini topadi — bu chekli daromad chekli xarajatga teng boʻlgan nuqta. Shifokorlar qondagi dori konsentratsiyasining vaqt boʻyicha oʻzgarishini modellashtiradi va hosila uning qachon eng yuqori nuqtaga yetishini koʻrsatadi.

Mashinali oʻqitish hosilalarga ulkan miqyosda tayanadi. Modelni oʻqitish xatolik oʻlchovini kamaytirish uchun millionlab parametrlarni sozlashni anglatadi, har bir parametrni qaysi yoʻnalishda oʻzgartirish kerakligini esa hosila beradi — bu usul gradient tushish deb ataladi. Fizika deyarli butunlay hosilalar tilida yozilgan: Nyutonning ikkinchi qonuniga koʻra, kuch massaning vaziyatdan olingan ikkinchi tartibli hosilaga koʻpaytmasiga teng.

Qisqacha tarix

Isaak Nyuton va Gotfrid Vilgelm Leybnits oʻn yettinchi asrning ikkinchi yarmida matematik analizni bir-biridan mustaqil ravishda yaratdilar. Nyuton vaqt ichida oqib oʻzgaradigan miqdorlar nuqtai nazaridan fikrlagan, Leybnits esa cheksiz kichik ayirmalar bilan ishlagan va uning $\frac{dy}{dx}$ belgilashi bugungi kunda koʻpchilik darsliklarda qoʻllaniladi. Ularning usullari ajoyib natija bergan, ammo cheksiz kichik sonlar haqidagi noaniq gʻoyalarga tayangan. Ushbu maqolada qoʻllanilgan aniq limit taʼrifi oʻn toʻqqizinchi asrda, asosan, Ogyusten Lui Koshi va Karl Veyershtrass tomonidan ishlab chiqilgan va nihoyat bu fanni qatʼiy asosga qoʻygan.

Koʻp beriladigan savollar

Hosila ogʻma bilan bir xilmi?

Nuqtadagi hosila shu nuqtadagi urinmaning ogʻmasiga teng. Toʻgʻri chiziq uchun hosila oʻzgarmas va chiziqning ogʻmasiga teng; egri chiziq uchun esa u nuqtadan nuqtaga oʻzgaradi.

Nega taʼrifga shunchaki h = 0 ni qoʻyib boʻlmaydi?

Bevosita qoʻyish $\frac{0}{0}$ ni beradi, uning qiymati yoʻq. Limit $h$ 0 ga yaqinlashganda nisbat nimaga intilishini soʻraydi va bu maxrajdagi $h$ qisqarishi uchun avval soddalashtirish orqali topiladi.

Uzluksiz funksiya hosilaga ega boʻlmasligi mumkinmi?

Ha. Modul funksiyasi 0 da uzluksiz, ammo u yerda burchak nuqtaga ega, shuning uchun uning chap va oʻng ogʻmalari teng emas va hosila mavjud emas. Hatto hech bir nuqtada hosilaga ega boʻlmagan uzluksiz funksiyalar ham bor.

Hosila qanday oʻlchov birliklariga ega?

Funksiya qiymati birliklarining argument birliklariga nisbati. Agar $V$ — litrlardagi hajm, $t$ — daqiqalardagi vaqt boʻlsa, $\frac{dV}{dt}$ daqiqasiga litrlarda oʻlchanadi.

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.