Matritsa kalkulyatori

Matritsa kalkulyatori haqida

Matritsalar sonlarni satr va ustunlarda saqlaydi, ular chiziqli algebra, kompyuter grafikasi, iqtisodiy modellar, statistika va mashinali oʻqitish tilidir. Amallarning oʻzi oddiy, lekin ular koʻplab mayda koʻpaytirish va qoʻshishlarni oʻz ichiga oladi va bitta elementdagi birgina xato butun javobni buzadi.

Bu kalkulyator toʻqqizta matritsa amalini bajaradi: koʻpaytirish, qoʻshish, ayirish, songa koʻpaytirish, natural darajaga koʻtarish, transponirlash, keltirilgan pogʻonasimon shakl, rang va iz. Elementlar butun son, oʻnli yoki oddiy kasr boʻlishi mumkin, barcha hisob-kitoblar esa aniq, shuning uchun $\frac32$ kabi natija yaxlitlangan oʻnli kasr emas, oddiy kasr koʻrinishida koʻrsatiladi. Pogʻonasimon shaklga keltirishda satrlar ustidagi har bir almashtirish tartib bilan sanab oʻtiladi.

Matritsa nima?

Matritsa — $m$ ta satr va $n$ ta ustundan iborat toʻgʻri burchakli sonlar jadvali, u $m \times n$ matritsa deyiladi. $i$ -satr va $j$ -ustundagi element $a_{ij}$ deb yoziladi. Kvadrat matritsada satrlar va ustunlar soni bir xil, $I$ birlik matritsaning bosh diagonalida birlar, qolgan joylarda esa nollar turadi.

Matritsalar chiziqli akslantirishlar va chiziqli tenglamalar sistemalarini ifodalaydi. Matritsani vektorga koʻpaytirish burish yoki choʻzish kabi almashtirishni qoʻllaydi, ikki matritsani koʻpaytirish esa ikki almashtirishni bittaga birlashtiradi.

Matritsa kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Roʻyxatdan amalni tanlang.
A matritsani elementlar orasida boʻsh joy, satrlar orasida nuqtali vergul qoʻyib kiriting, masalan, 1 2; 3 4.
Koʻpaytirish, qoʻshish va ayirish uchun B matritsani ham xuddi shu formatda kiriting.
Songa koʻpaytirish yoki darajaga koʻtarish uchun $k$ sonni kiriting.
“Hisoblash” tugmasini bosing va natijagacha qadamlarni kuzating.

Formulalar

Matritsalar koʻpaytmasi elementi

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Yigʻindi

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Transponirlash

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Matritsa izi

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Yechib koʻrsatilgan misol: A × B (2×2)

Misolda $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ matritsa $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ ga koʻpaytiriladi. Koʻpaytmaning har bir elementi — $A$ ning satri bilan $B$ ning ustunining skalyar koʻpaytmasi; yuqori chap element $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

Qolgan uchta oʻrin uchun takrorlasak, $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ hosil boʻladi. Tartibni almashtirish $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ ni, yaʼni boshqa matritsani beradi — bu matritsalarni koʻpaytirish kommutativ emasligini koʻrsatadi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

Masalangizni qanday tushundik

A × B ni aniq hisoblang.

Bosqichma-bosqich yechim

A matritsani oʻqish
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
B matritsani oʻqish
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Har bir element — A ning satri bilan B ning ustunining skalyar koʻpaytmasi
Natija 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Natija
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Qoʻllanilgan formulalar

Matritsalar koʻpaytmasi
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A — 2×2, B esa 2×2, shuning uchun AB — 2×2. Matritsalarni koʻpaytirish kommutativ emas: BA odatda boshqacha boʻladi.

Tekshiruv

Barcha hisob-kitoblar aniq (kasrlar bilan, yaxlitlashsiz).

Batafsil tushuntirish

Amallar qachon aniqlangan

Qoʻshish va ayirish uchun matritsalar aynan bir xil oʻlchamda boʻlishi kerak va ular elementma-element bajariladi. $AB$ koʻpaytma uchun $A$ ning ustunlari soni $B$ ning satrlari soniga teng boʻlishi kerak; $m \times n$ matritsaning $n \times p$ matritsaga koʻpaytmasi $m \times p$ natijani beradi. $2 \times 3$ matritsani $2 \times 2$ matritsaga koʻpaytirib boʻlmaydi, kalkulyator esa xato kodini qaytarish oʻrniga oʻlchamlar mos emasligini tushuntiradi.

Darajalar faqat kvadrat matritsalar uchun aniqlangan, chunki $A \cdot A$ uchun oʻlchamlar mos boʻlishi kerak. $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ ni beshinchi darajaga koʻtarish $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ ni beradi, uning elementlari Fibonachchi sonlaridir.

Pogʻonasimon shaklga keltirish va rang

Keltirilgan pogʻonasimon shakl (RREF) satrlar ustidagi uchta almashtirish bilan olinadi: ikki satrning oʻrnini almashtirish, satrni noldan farqli songa koʻpaytirish va bir satrga boshqa satrning karralisini qoʻshish. Maqsad — har bir nolmas satrda yetakchi 1 boʻlishi, uning ustida va ostida esa nollar turishi. RREF chiziqli sistemalarni yechish, bazis topish va erklilikni tekshirishning standart usuli.

Rang — RREF dagi nolmas satrlar soni, u chiziqli erkli satrlar yoki ustunlar soniga teng. $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ matritsa nol satrli shaklga keltiriladi, shuning uchun uning rangi 2: uchinchi satr dastlabki ikkitasining chiziqli kombinatsiyasi.

Transponirlash va iz

Transponirlash matritsani bosh diagonaliga nisbatan aylantirib, satrlarni ustunlarga aylantiradi. U skalyar koʻpaytmalarda, eng kichik kvadratlar usulida va oʻz transponirlanganiga teng boʻlgan simmetrik matritsalar taʼrifida uchraydi. Iz kvadrat matritsaning diagonal elementlarini qoʻshadi; u xos qiymatlar yigʻindisiga teng, bu esa uni xos qiymatlarni hisoblashda tezkor tekshiruvga aylantiradi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Matritsalarni satrni ustunga emas, elementma-element koʻpaytirish.
$AB = BA$ deb hisoblash; koʻpaytuvchilar tartibi muhim.
Har xil oʻlchamli matritsalarni qoʻshishga urinish.
Koʻpaytma oʻlchamini notoʻgʻri aniqlash; $m \times n$ ning $n \times p$ ga koʻpaytmasi $m \times p$ .
Pogʻonasimon shaklga keltirishda satrni nolga koʻpaytirib oʻzgartirish, bu axborotni yoʻqotadi.

Maslahatlar

Koʻpaytma mavjudligini tasdiqlash uchun koʻpaytirishdan oldin har bir matritsa yoniga uning oʻlchamini yozing.
Pogʻonasimon shaklga keltirishni aniq saqlash uchun yaxlitlangan oʻnli kasrlar oʻrniga oddiy kasrlardan foydalaning.
Koʻpaytmani bitta elementini qoʻlda hisoblab tekshiring.
Kvadrat matritsa teskarilanuvchi ekanini tekshirish uchun determinant kalkulyatoridan foydalaning.
Matritsangiz chiziqli sistemadan kelib chiqqan boʻlsa, tenglamalar sistemasi kalkulyatoridan foydalaning.

Koʻp beriladigan savollar

Matritsani qanday kiritaman?

Satrdagi elementlarni boʻsh joy yoki vergul bilan, satrlarni esa nuqtali vergul bilan ajrating. Masalan, 1 2; 3 4 — satrlari (1, 2) va (3, 4) boʻlgan 2×2 matritsa.

Nega matritsalarni koʻpaytirish kommutativ emas?

AB A ning satrlarini B ning ustunlari bilan, BA esa B ning satrlarini A ning ustunlari bilan birlashtiradi. Bular har xil hisob-kitoblar, shuning uchun natijalar odatda farq qiladi, baʼzan esa bir koʻpaytma mavjud boʻlib, ikkinchisi mavjud boʻlmaydi.

Ikki matritsani qachon koʻpaytirish mumkin?

Birinchisining ustunlari soni ikkinchisining satrlari soniga teng boʻlganda. Koʻpaytmaning satrlari soni birinchisinikidek, ustunlari soni esa ikkinchisinikidek boʻladi.

Keltirilgan pogʻonasimon shakl nima?

Har bir nolmas satr yetakchi 1 dan boshlanadigan, har bir yetakchi 1 yuqoridagisidan oʻngda joylashgan va yetakchi 1 turgan ustundagi boshqa barcha elementlar nolga teng boʻlgan shakl.

Matritsa rangi menga nimani bildiradi?

Chiziqli erkli satrlar yoki ustunlar sonini. Kvadrat matritsa uchun toʻliq rang matritsa teskarilanuvchi ekanini va tegishli chiziqli sistema yagona yechimga ega ekanini bildiradi.

Matritsada kasrlardan foydalansam boʻladimi?

Ha. 1/2 kabi elementlar qabul qilinadi va barcha natijalar aniq kasrlar bilan hisoblanadi.

Matritsa izi nima?

Kvadrat matritsa bosh diagonalidagi elementlar yigʻindisi. U matritsa xos qiymatlarining yigʻindisiga ham teng.

Matritsa amalingizni bajaring

Matritsalaringizni aniq kasrlar bilan va har bir qadamni koʻrsatgan holda koʻpaytirish, keltirish yoki tahlil qilish uchun ularni yuqorida kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash