Xos qiymatlar kalkulyatori

Xos qiymatlar kalkulyatori haqida

Xos qiymatlar va xos vektorlar matritsa oʻzgartirmay qoldiradigan yoʻnalishlarni va ularni qanchalik choʻzishini tavsiflaydi. Ular Google ning dastlabki PageRank algoritmi, koʻpriklar va molekulalarning tebranish modalari, statistikadagi bosh komponentalar tahlili, differensial tenglamalar turgʻunligi va kvant mexanikasidagi energiya sathlari asosida yotadi. Chiziqli algebra kursida bu odatda shu paytgacha oʻrganilgan hamma narsa — determinantlar, pogʻonasimon shaklga keltirish va yadrolar — birlashadigan mavzu.

Bu kalkulyator darslikdagi usulga amal qiladi. U $\det(\lambda I - A)$ xarakteristik koʻphadni tuzadi, uning ildizlarini ratsional ildizlar haqidagi teorema, kvadrat tenglama ildizlari formulasi va koʻphadlarni boʻlish yordamida aniq topadi, soʻngra har bir xos qiymat uchun $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ ni yechib, iloji boricha oddiy butun elementli xos vektorlarni hosil qiladi.

Irratsional xos qiymatlar aniq radikal koʻrinishida saqlanadi, kompleks xos qiymatlar qoʻshma juftliklar sifatida beriladi, takrorlanuvchi xos qiymatlar esa algebraik va geometrik karraliliklari bilan birga koʻrsatiladi, shuning uchun matritsa diagonallashtiriladimi yoki yoʻqmi, bir qarashda bilib olasiz. 2×2 dan 4×4 gacha boʻlgan matritsalar qoʻllab-quvvatlanadi, bu deyarli barcha uy vazifasi va imtihon masalalarini qamrab oladi.

Xos qiymatlar va xos vektorlar nima?

Agar $A$ ga koʻpaytirish nolmas $\mathbf v$ vektorni faqat choʻzsa, yaʼni biror $\lambda$ son uchun $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ boʻlsa, bu vektor $A$ kvadrat matritsaning xos vektori deyiladi. Bu son $\mathbf v$ ga tegishli xos qiymatdir. Koʻpchilik vektorlar matritsaga koʻpaytirilganda yoʻnalishini oʻzgartiradi; xos vektorlar esa koordinata boshidan oʻtuvchi oʻz toʻgʻri chizigʻida qoladigan maxsus vektorlardir.

Taʼrifni $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ koʻrinishda qayta yozish ularni qanday topishni koʻrsatadi. Nolmas yechim faqat $A - \lambda I$ xos boʻlganda, yaʼni uning determinanti nolga teng boʻlganda mavjud. $\det(A - \lambda I) = 0$ tenglama xarakteristik tenglama deyiladi; $n \times n$ matritsa uchun u $n$ -darajali koʻphad, shuning uchun karraliligi hisobga olinganda aynan $n$ ta xos qiymat mavjud, ularning baʼzilari kompleks boʻlishi mumkin.

Har bir xos qiymat cheksiz koʻp xos vektorga ega, chunki xos vektorning istalgan nolmas karralisi ham xos vektordir. Shu sababli javoblar vakil vektor yoki bir nechta erkli yoʻnalish boʻlganda bazis sifatida beriladi, darsligingizda esa xuddi shu vektorning boshqa karralisi koʻrsatilgan boʻlishi mumkin.

Xos qiymatlar kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Matritsani har bir satrini alohida qatorga, elementlarni boʻsh joy bilan ajratib yozing, masalan, birinchi qatorga 4 1, ikkinchisiga 2 3.
Butun matritsani satrlar orasiga nuqtali vergul qoʻyib bitta qatorga ham yozishingiz mumkin, masalan, 4 1; 2 3.
Elementlar butun sonlar, oʻnli kasrlar, oddiy kasrlar yoki manfiy sonlar boʻlishi mumkin. Matritsa 2×2 dan 4×4 gacha kvadrat boʻlishi kerak.
Xarakteristik koʻphad, uning ildizlari va har bir xos qiymat uchun xos vektor hisobini koʻrish uchun “Xos qiymatlarni topish” tugmasini bosing.
Matritsa diagonallashtiriladimi yoki yoʻqligini bilishingiz kerak boʻlsa, takrorlanuvchi xos qiymatlar uchun koʻrsatilgan karraliliklarni tekshiring.

Formulalar

Xos qiymat tenglamasi

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

Xarakteristik tenglama

\det(\lambda I - A) = 0

2×2 uchun qisqa formula

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

Iz va determinant

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

Diagonallashtirish

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

Yechib koʻrsatilgan misol: 2×2, ratsional

Quyidagi namunaviy misol $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ uchun jonli hisoblanadi. Iz 7 ga, determinant $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ ga teng, shuning uchun xarakteristik koʻphad $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ , xos qiymatlar esa 5 va 2.

$\lambda = 5$ uchun $A - 5I$ matritsaning satrlari $(-1, 1)$ va $(2, -2)$ , uning yadrosi $\langle 1, 1 \rangle$ bilan hosil qilinadi. $\lambda = 2$ uchun $A - 2I$ ning satrlari $(2, 1)$ va $(2, 1)$ , bu $\langle -1, 2 \rangle$ ni beradi. Bittasini tekshirish oson: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ , yaʼni aynan vektorning besh baravari.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

\lambda = 5,\ 2

Masalangizni qanday tushundik

2×2 matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

Bosqichma-bosqich yechim

Xarakteristik tenglamani tuzish
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
2×2 matritsa uchun u λ² − (iz)λ + det
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
Xarakteristik koʻphad
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
Ratsional ildizlar ratsional ildizlar haqidagi teorema yordamida topildi
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
λ = 5 uchun xos vektorlar: (A − λI)v = 0 ni yechish
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
λ = 2 uchun xos vektorlar: (A − λI)v = 0 ni yechish
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

Qoʻllanilgan formulalar

Xarakteristik tenglama
$\det(\lambda I - A) = 0$
Xos vektor tenglamasi
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

Xos qiymatlar — xarakteristik koʻphadning ildizlari. Xos vektorlar: λ = 5: ⟨1, 1⟩; λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

Tekshiruv

Xos qiymatlar yigʻindisi ≈ 7 izga teng 7.
Xos qiymatlar koʻpaytmasi determinantga teng 10.

Batafsil tushuntirish

1-qadam: xarakteristik koʻphad

2×2 matritsa uchun koʻphadni darhol $\lambda^2 - (\text{iz})\lambda + \det$ koʻrinishida yozish mumkin. Kattaroq matritsalar uchun kalkulyator $\det(\lambda I - A)$ ni algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyadi. Satrlari $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ va $(0, 4, 9)$ boʻlgan 3×3 simmetrik matritsa $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ ni beradi.

Ikkita tezkor tekshiruv koʻpchilik hisob xatolarini aniqlaydi. $\lambda^{n-1}$ oldidagi koeffitsient minus izga teng, bu yerda $-(2 + 3 + 9) = -14$ , ozod had esa $(-1)^n \det A$ , bu yerda $-22$ , chunki determinant 22 ga teng.

2-qadam: ildizlarni topish

Elementlar butun boʻlganda har qanday ratsional xos qiymat ozod hadning boʻluvchisi boʻlishi kerak, shuning uchun kalkulyator 22 ning boʻluvchilarini sinab koʻradi va $\lambda = 1$ ni topadi, soʻngra koʻphadni $(\lambda - 1)$ ga boʻladi va qolgan kvadrat uchhadni koʻpaytuvchilarga ajratadi. Xos qiymatlar 11, 2 va 1, ularning yigʻindisi 14 esa, boʻlishi kerak boʻlganidek, izga teng.

Qolgan kvadrat uchhad ratsional sonlar ustida koʻpaytuvchilarga ajralmasa, kvadrat tenglama ildizlari formulasi aniq radikallarni beradi. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ uchun $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ koʻphadning ildizlari $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ , taxminan 5.372 va $-0.372$ . Agar diskriminant manfiy boʻlsa, ildizlar qoʻshma kompleks sonlar; $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ burish matritsasi uchun $\lambda^2 + 1 = 0$ , shuning uchun $\lambda = \pm i$ — bu 90° ga burish hech bir haqiqiy yoʻnalishni oʻzgarmay qoldirmasligini aks ettiradi.

3-qadam: yadrodan xos vektorlarni topish

Har bir xos qiymatni $A - \lambda I$ ga qoʻying va bir jinsli sistemani pogʻonasimon shaklga keltirish orqali yeching. Matritsa xos boʻlgani uchun kamida bitta satr nollarga aylanadi va erkin oʻzgaruvchi qoladi. Erkin oʻzgaruvchiga qulay qiymat berib, teskari oʻrniga qoʻyish xos vektorni beradi, kalkulyator esa uni kichik butun sonlarga keltiradi.

3×3 misoldagi $\lambda = 11$ uchun $A - 11I$ ning satrlari $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ va $(0, 4, -2)$ . Birinchi satr $v_1 = 0$ ni talab qiladi, qolgan ikkitasi esa $v_3 = 2v_2$ deydi, shuning uchun $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . Bunga oʻxshash simmetrik matritsalar doim haqiqiy xos qiymatlarga va oʻzaro perpendikulyar xos vektorlarga ega, buni skalyar koʻpaytma bilan tasdiqlash mumkin.

Takrorlanuvchi xos qiymatlar va diagonallashtirish

Ildiz sifatida $k$ marta uchraydigan xos qiymatning algebraik karraliligi $k$ ga teng. Unga tegishli erkli xos vektorlar soni uning geometrik karraliligi boʻlib, u kichikroq boʻlishi mumkin. $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ ham, $2I$ ham ikki karrali 2 xos qiymatga ega, lekin birinchisida faqat bitta xos vektor yoʻnalishi, $\langle 1, 0 \rangle$ , bor, ikkinchisida esa ikkita: $\langle 1, 0 \rangle$ va $\langle 0, 1 \rangle$ .

Matritsani xos qiymatlar $D$ ning diagonalida, xos vektorlar esa $P$ ning ustunlari boʻlgan $PDP^{-1}$ koʻrinishida yozish aynan har bir xos qiymatning geometrik karraliligi uning algebraik karraliligiga teng boʻlganda mumkin. Diagonallashtirish darajaga koʻtarishni osonlashtiradi, chunki $A^k = PD^kP^{-1}$ , xos qiymatlar populyatsiya modellari va Markov zanjirlarida uzoq muddatli xatti-harakatni aynan shu tarzda bashorat qiladi.

Bilish foydali boʻlgan qisqa yoʻllar

Uchburchak matritsaning xos qiymatlari uning diagonal elementlaridir, shuning uchun satrlari $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ va $(0, 0, 6)$ boʻlgan matritsaning xos qiymatlari hech qanday hisobsiz 6, 4 va 1 ga teng. Matritsa aynan 0 xos qiymat boʻlmaganda teskarilanuvchi boʻladi, $A^{-1}$ ning xos qiymatlari esa $A$ xos qiymatlariga teskari sonlar boʻlib, xos vektorlari bir xil.

Matritsadagi oddiy oʻzgarishlar uning xos qiymatlarini oldindan aytib boʻladigan tarzda siljitadi. Birlik matritsaning $c$ karralisini qoʻshish har bir xos qiymatga $c$ ni qoʻshadi, matritsani songa koʻpaytirish har bir xos qiymatni shu songa koʻpaytiradi, $k$ -darajaga koʻtarish esa har bir xos qiymatni $k$ -darajaga koʻtaradi, bularning barchasi xos vektorlarni oʻzgartirmaydi. Matritsa va uning transponirlangani bir xil xos qiymatlarga ega, lekin odatda xos vektorlari har xil. Bu faktlar javoblarni tekshirish va hech narsani hisoblamasdan oldin natijalarni bashorat qilish imkonini beradi.

Koʻp uchraydigan xatolar

$\det(A - \lambda I)$ oʻrniga $\det(A) - \lambda$ ni hisoblash; $\lambda$ har bir diagonal elementdan ayirilishi kerak.
Nol vektorni xos vektor deb qabul qilish; taʼrifga koʻra xos vektorlar nolmas boʻlishi kerak.
Koʻphadda hisob xatosiga yoʻl qoʻyib, soʻngra faqat nol vektordan iborat yadroni topish.
Har bir matritsa haqiqiy xos qiymatlarga ega deb hisoblash; burishlar va koʻplab nosimmetrik matritsalar kompleks xos qiymatlarga ega.
Xos vektor darslikdagidan oʻzgarmas koʻpaytuvchiga farq qilgani uchun uni notoʻgʻri deb oʻylash.
Takrorlanuvchi xos qiymatlarning geometrik karraliligini tekshirmasdan matritsa diagonallashtiriladi degan xulosaga kelish.

Maslahatlar

Xos qiymatlar yigʻindisi izga, koʻpaytmasi esa determinantga teng ekanini tekshiring.
Har bir xos vektorni $A\mathbf v$ ni hisoblab, uni $\lambda\mathbf v$ bilan solishtirib tekshiring.
Uchburchak matritsalarning xos qiymatlarini toʻgʻridan-toʻgʻri diagonaldan oʻqing.
3×3 matritsalar uchun determinantni eng koʻp nolga ega satr yoki ustun boʻyicha yoying.
Har bir xos qiymat uchun $A - \lambda I$ xos ekanini tasdiqlash uchun determinant kalkulyatoridan foydalaning.
Matritsa simmetrik boʻlsa, haqiqiy xos qiymatlar va perpendikulyar xos vektorlarni kuting.
Avval matritsadan umumiy koʻpaytuvchini chiqaring; xos qiymatlar shunchaki shu koʻpaytuvchiga koʻpayadi.

Koʻp beriladigan savollar

Xos qiymatlar kalkulyatoriga matritsani qanday kiritaman?

Har bir satrni alohida qatorga elementlar orasida boʻsh joy qoldirib yozing yoki barcha satrlarni nuqtali vergul bilan ajratib bitta qatorga yozing, masalan, 4 1; 2 3. Oddiy kasrlar, oʻnli kasrlar va manfiy sonlar qabul qilinadi.

Qanday oʻlchamdagi matritsalar qoʻllab-quvvatlanadi?

2×2 dan 4×4 gacha boʻlgan kvadrat matritsalar. Xos qiymatlar faqat kvadrat matritsalar uchun aniqlangan, shuning uchun, masalan, 3×2 matritsa tushuntirish bilan rad etiladi.

Kalkulyator kompleks xos qiymatlarni topa oladimi?

Ha. Xarakteristik koʻphadning diskriminanti manfiy boʻlganda xos qiymatlar qoʻshma kompleks juftlik sifatida beriladi, masalan, 90° ga burish matritsasi uchun λ = i va −i.

Nega mening xos vektorim darslikdagidan farq qiladi?

Xos vektorning istalgan nolmas karralisi ham xos vektordir. ⟨1, 1⟩ va ⟨3, 3⟩ bir xil yoʻnalishni tavsiflaydi. Bir vektor ikkinchisining karralisi ekanini tekshiring.

Algebraik va geometrik karralilik nimani anglatadi?

Algebraik karralilik — xos qiymat xarakteristik koʻphadning ildizi sifatida necha marta takrorlanishi. Geometrik karralilik — unga tegishli erkli xos vektorlar soni. Kalkulyator takrorlanuvchi xos qiymatlar uchun ikkalasini ham koʻrsatadi.

Kalkulyator xos qiymatlarni aniq yoki oʻnli kasr koʻrinishida beradimi?

Iloji boricha aniq: butun sonlar, kasrlar va 5/2 ± √33/2 kabi radikallar. Faqat kub yoki toʻrtinchi darajali koʻphad ildizlarini aniq topib boʻlmaganda u yuqori aniqlikdagi oʻnli qiymatlarga oʻtadi.

Xos qiymatlar determinant va iz bilan qanday bogʻliq?

Barcha xos qiymatlar koʻpaytmasi determinantga, yigʻindisi esa izga teng. Satrlari (4, 1) va (2, 3) boʻlgan matritsa uchun 5 × 2 = 10 — determinant, 5 + 2 = 7 esa iz.

Nolga teng xos qiymat nimani anglatadi?

Matritsa xos: uning teskarisi yoʻq va determinanti nolga teng. λ = 0 uchun xos vektorlar matritsaning yadrosini hosil qiladi.

Xos qiymatlar auditoriyadan tashqarida qayerda qoʻllanadi?

Tebranishlar tahlilida, boshqaruv tizimlari turgʻunligida, bosh komponentalar tahlilida, kvant mexanikasida, Markov zanjirlarida va qidiruv tizimlarida saralashda — chiziqli almashtirishni takroriy qoʻllashni tushunish kerak boʻlgan hamma joyda.

Matritsangizning xos qiymatlarini toping

Xarakteristik koʻphad, aniq xos qiymatlar va har biri uchun xos vektorni har bir qadam bilan olish uchun yuqorida kvadrat matritsani kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash