Determinant kalkulyatori

Determinant kalkulyatori haqida

Determinant kvadrat matritsani bir nechta muhim savolga birdaniga javob beradigan yagona songa jamlaydi. Matritsa teskarilanuvchimi? U ifodalaydigan chiziqli sistema yagona yechimga egami? Almashtirish yuza yoki hajmlarni necha marta choʻzadi va u yoʻnalishni teskarisiga oʻzgartiradimi? Bularning barchasi determinantdan oʻqiladi.

Bu kalkulyator amalda uchraydigan istalgan oʻlchamdagi kvadrat matritsalarning determinantini hisoblaydi. U darslikda qoʻllanadigan usulni tanlaydi: $2 \times 2$ matritsalar uchun koʻndalang koʻpaytirish qoidasi, $3 \times 3$ matritsalar uchun birinchi satr boʻyicha yoyish, $4 \times 4$ va kattaroqlari uchun esa yuqori uchburchak shaklga keltirish. Oddiy va oʻnli kasrlar aniq kasrlarga aylantiriladi, shuning uchun javob aniq chiqadi.

Determinant nima?

Determinant — har bir kvadrat matritsa uchun aniqlangan $\det(A)$ son, u $|A|$ deb ham yoziladi. $2 \times 2$ matritsa uchun u $ad - bc$ ga teng. Kattaroq matritsalar uchun u algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish orqali rekursiv tarzda yoki, teng kuchli ravishda, ustunlarning barcha oʻrin almashtirishlari boʻyicha ishorali yigʻindi sifatida aniqlanadi.

Geometrik nuqtai nazardan, $|\det(A)|$ — $A$ chiziqli akslantirish ikki oʻlchovda yuzani yoki uch oʻlchovda hajmni necha marta oʻzgartirishini bildiruvchi koeffitsient. Manfiy determinant akslantirish xuddi simmetriya kabi yoʻnalishni teskarisiga oʻzgartirishini, nol determinant esa akslantirish fazoni kichikroq oʻlchamga siqib qoʻyishini bildiradi.

Determinant kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Kvadrat matritsani elementlar orasida boʻsh joy, satrlar orasida nuqtali vergul qoʻyib kiriting, masalan, 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
“Determinantni topish” tugmasini bosing.
Matritsangiz oʻlchami uchun qoʻllangan usulni va har bir oraliq qiymatni oʻqing.
Matritsa teskarilanuvchi ekanini aniqlash uchun determinant nolga tengligini tekshiring.

Formulalar

2×2 matritsa determinanti

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish (birinchi satr)

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

Koʻpaytma qoidasi

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

Uchburchak matritsa

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

Yechib koʻrsatilgan misol: 3×3 matritsa

Misolda satrlari $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ va $(1, 4, 5)$ boʻlgan $3 \times 3$ matritsaning determinanti birinchi satr boʻyicha yoyish orqali topiladi. Birinchi satrning har bir elementi uning satri va ustuni oʻchirilgandan keyin qolgan $2 \times 2$ minorga $+$ , $-$ , $+$ ishoralar bilan koʻpaytiriladi.

Minorlar 4, 11 va 8 ga teng, shuning uchun determinant $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . Noldan farqli qiymat bu matritsa teskarilanuvchi ekanini bildiradi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

\det A = 49

Masalangizni qanday tushundik

3×3 matritsaning determinantini toping.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

Bosqichma-bosqich yechim

3×3 matritsani oʻqish
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
Birinchi satr boʻyicha yoyish (algebraik toʻldiruvchilar orqali)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
Har bir 2×2 minorni hisoblash
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
Navbatlashuvchi + − + ishoralar bilan birlashtirish
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

Qoʻllanilgan formulalar

2×2 matritsa determinanti
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

Determinant 49, u noldan farqli, shuning uchun matritsa teskarilanuvchi va uning satrlari chiziqli erkli.

Tekshiruv

Kasrlar bilan aniq hisoblandi; satrlar ustida almashtirishlar ham xuddi shu 49 qiymatni beradi.

Batafsil tushuntirish

Algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish

$M_{ij}$ minor — $i$ -satr va $j$ -ustun oʻchirilgandan keyin qolgan matritsaning determinanti. Algebraik toʻldiruvchi unga $(-1)^{i+j}$ ishorani biriktiradi, bu ishoralar yuqori chap burchakdagi $+$ dan boshlanib, shaxmat taxtasi tartibida almashadi. Istalgan satr yoki ustun boʻyicha yoyish bir xil natija beradi, shuning uchun qoʻlda hisoblaganda nollar bor satr yoki ustunni tanlash foydali.

Algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish $3 \times 3$ matritsalar uchun juda qulay, lekin hajmi tez oʻsadi: $4 \times 4$ yoyilma toʻrtta $3 \times 3$ determinantni talab qiladi, $10 \times 10$ yoyilma esa millionlab hadlarni talab qilgan boʻlardi. Shu sababli kalkulyator kattaroq matritsalar uchun usulni almashtiradi.

Uchburchak shaklga keltirish

Bir satrga boshqa satrning karralisini qoʻshish determinantni oʻzgartirmaydi, ikki satrning oʻrnini almashtirish uning ishorasini oʻzgartiradi, satrni songa koʻpaytirish esa determinantni ham shu songa koʻpaytiradi. Bu qoidalardan foydalanib, kalkulyator matritsa yuqori uchburchak boʻlguncha har bir yetakchi element ostidagi elementlarni nolga aylantiradi, soʻngra diagonal elementlarni koʻpaytiradi. Satrlari $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ va $(0, 1, 0, 2)$ boʻlgan $4 \times 4$ matritsa uchun bu $-15$ ni beradi.

Nol determinant nimani anglatadi

Determinantning nolga tengligi satrlar chiziqli bogʻliq ekanini bildiradi: kamida bitta satr qolganlarining chiziqli kombinatsiyasidir. Matritsaning teskarisi yoʻq, $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ sistema esa yo yechimga ega emas, yo cheksiz koʻp yechimga ega. Satrlari $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ va $(7, 8, 9)$ boʻlgan matritsa — klassik misol; uning determinanti 0, chunki oʻrta satr qolgan ikkitasining oʻrta arifmetigidir.

Determinantlar kichik sistemalarni yechishdagi Kramer qoidasida, ildizlari xos qiymatlar boʻlgan $\det(A - \lambda I) = 0$ xarakteristik tenglamada va karrali integrallarda oʻzgaruvchilarni almashtirish formulasida ham uchraydi.

Koʻp uchraydigan xatolar

$ad - bc$ oʻrniga $ad + bc$ yoki $ab - cd$ ni hisoblash.
Algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyishda navbatlashuvchi ishoralarni unutish.
Notoʻgʻri satr yoki ustunni oʻchirib, notoʻgʻri minordan foydalanish.
Pogʻonasimon shaklga keltirishda ikki satr oʻrni almashtirilgandan keyingi ishora oʻzgarishini eʼtiborsiz qoldirish.
Kvadrat boʻlmagan matritsaning determinantini olishga urinish.

Maslahatlar

Eng koʻp nolga ega satr yoki ustun boʻyicha yoying.
Avval satrdagi umumiy koʻpaytuvchini chiqaring; determinant aynan shu songa koʻpayadi.
Agar ikki satr teng yoki proporsional boʻlsa, determinant qoʻshimcha hisobsiz 0 ga teng.
Ustun boʻyicha yoyish qulayroq boʻlsa, $\det(A^{T}) = \det(A)$ dan foydalaning.
Determinant noldan farqli boʻlib, sizga $A^{-1}$ kerak boʻlsa, teskari matritsa kalkulyatoridan foydalaning.
$\det(A - \lambda I)$ ga asoslangan xos qiymatlar kalkulyatoridan foydalaning.

Koʻp beriladigan savollar

2×2 matritsaning determinanti qanday topiladi?

Bosh diagonal elementlarini koʻpaytiring va undan ikkinchi diagonal koʻpaytmasini ayiring: satrlari (a, b) va (c, d) boʻlganda determinant ad − bc ga teng.

3×3 matritsaning determinanti qanday topiladi?

Satr boʻyicha yoying: har bir elementni uning 2×2 minoriga koʻpaytiring, +, −, + ishoralarni qoʻllang va qoʻshing. Kalkulyator har bir minorni va yakuniy yigʻindini koʻrsatadi.

4×4 va kattaroq matritsalar uchun qaysi usul qoʻllanadi?

Yuqori uchburchak shaklga keltirish, soʻngra diagonal elementlarni koʻpaytirish. Katta matritsalar uchun bu algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyishdan ancha tezroq.

Nol determinant nimani anglatadi?

Matritsa xos (singulyar): uning satrlari chiziqli bogʻliq, teskarisi yoʻq va tegishli chiziqli sistema yagona yechimga ega emas.

Determinant manfiy boʻlishi mumkinmi?

Ha. Manfiy determinant almashtirish yoʻnalishni teskarisiga oʻzgartirishini bildiradi. Uning absolyut qiymati baribir yuza yoki hajmning oʻzgarish koeffitsienti boʻlib qoladi.

Kvadrat boʻlmagan matritsaning determinantini topsa boʻladimi?

Yoʻq. Determinantlar faqat kvadrat matritsalar uchun aniqlangan, kalkulyator esa kvadrat boʻlmagan kiritmaning oʻlchamini maʼlum qiladi.

Kasrlar qoʻllab-quvvatlanadimi?

Ha. Oddiy va oʻnli kasrlar aniq kasrlarga aylantiriladi, shuning uchun determinant aniq chiqadi.

Determinantingizni toping

Determinantni va qoʻllangan usulning har bir qadamini koʻrish uchun yuqorida kvadrat matritsani kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash