Vektor koʻpaytma kalkulyatori

Vektor koʻpaytma kalkulyatori haqida

Vektor koʻpaytma fazodagi ikki vektordan ikkalasiga ham perpendikulyar uchinchi vektorni hosil qiladi. Bu tekislikka normal vektorni topish, 3 oʻlchovli fazoda parallelogramm yoki uchburchak yuzini hisoblash hamda fizikada kuch momenti va impuls momenti kabi aylanma kattaliklarni tavsiflashning standart usuli.

Bu kalkulyator uch oʻlchovli vektorlar uchun $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ ni birinchi satrida $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ va $\mathbf{k}$ turgan tanish determinant koʻrinishidan foydalanib hisoblaydi. U har bir komponentani alohida koʻrsatadi, jumladan, koʻp xatolarga sabab boʻladigan oʻrta haddagi ishora oʻzgarishini ham, soʻngra uzunlikni beradi va natija ikkala berilgan vektorga ortogonal ekanini tasdiqlaydi.

Vektor koʻpaytma nima?

$\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ va $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ vektorlar uchun vektor koʻpaytma $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ vektordir. U uch oʻlchovli vektorlar uchun aniqlangan va natija yana uch oʻlchovli vektor boʻladi.

Uning yoʻnalishi $\mathbf{u}$ ga ham, $\mathbf{v}$ ga ham perpendikulyar va oʻng qoʻl qoidasi bilan tanlanadi: oʻng qoʻlingiz barmoqlarini $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ tomon buksangiz, bosh barmogʻingiz $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ yoʻnalishini koʻrsatadi. Uning uzunligi $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ , yaʼni ikki vektor hosil qilgan parallelogramm yuziga teng.

Vektor koʻpaytma kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Birinchi vektorning uchta komponentasini vergul bilan ajratib kiriting, masalan, 1, 2, 3.
Ikkinchi vektorning uchta komponentasini kiriting.
“Hisoblash” tugmasini bosing.
i, j va k komponentalarni hamda hosil boʻlgan vektorni oʻqing.
Yuzalar uchun uzunlik qadamidan, natijani tasdiqlash uchun esa ortogonallik tekshiruvidan foydalaning.

Formulalar

Determinant koʻrinishi

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Vektor uzunligi

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Antikommutativlik

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Uchburchak yuzi

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Yechib koʻrsatilgan misol: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

Misolda $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ vektor $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ ga vektor koʻpaytiriladi. $\mathbf{i}$ komponenta $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ ; $\mathbf{j}$ komponenta $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ ; $\mathbf{k}$ komponenta $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

Demak, $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ , uning uzunligi $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ — ikki vektor hosil qilgan parallelogramm yuzi. Uning har bir berilgan vektor bilan skalyar koʻpaytmasi 0 ga teng, bu natija ikkalasiga perpendikulyar ekanini tasdiqlaydi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

Masalangizni qanday tushundik

Ikki 3D vektorning vektor koʻpaytmasi.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Bosqichma-bosqich yechim

Birinchi satrida i, j, k birlik vektorlar boʻlgan determinantni yozish
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
i komponenta
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
j komponenta (yoyilmadagi minus ishorasiga eʼtibor bering)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
k komponenta
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Uzunlik = u va v hosil qilgan parallelogramm yuzi
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Ortogonallikni tekshirish
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Qoʻllanilgan formulalar

Vektor koʻpaytma
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Vektor uzunligi
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

Natija u ga ham, v ga ham perpendikulyar; uning 3√6 ≈ 7.348469228 uzunligi ular hosil qilgan parallelogramm yuziga teng (uchburchak yuzi buning yarmiga teng).

Tekshiruv

Natija ikkala berilgan vektorga ham perpendikulyar (ikkala skalyar koʻpaytma ham 0) ga teng).

Batafsil tushuntirish

Determinant usuli

Birlik vektorlarni $3 \times 3$ determinantning birinchi satriga yozib, shu satr boʻyicha yoyish formulani eslab qolishning eng oson yoʻli. Har bir komponenta shu birlik vektorga tegishli boʻlmagan ustunlardan tuzilgan $2 \times 2$ determinant. Oʻrta had algebraik toʻldiruvchilarning $+, -, +$ ishoralar tartibidan minus ishorasini oladi, shuning uchun kalkulyator uni alohida belgilaydi.

Vektor koʻpaytma qoʻshishga nisbatan distributiv, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , va istalgan koʻpaytuvchini songa koʻpaytirish natijani ham shu songa koʻpaytiradi. Biroq u assotsiativ emas: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ va $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ umuman olganda har xil vektorlar. $\langle 1, 2, 0 \rangle$ va $\langle 3, 4, 0 \rangle$ kabi tekis vektorlar uchun $\langle 0, 0, -2 \rangle$ natija $z$ oʻqi boʻylab toʻgʻri pastga yoʻnalgan, uning 2 ga teng uzunligi esa tekislikdagi parallelogramm yuzidir.

Geometrik maʼnosi

Vektor koʻpaytmaning uzunligi tomonlari $\mathbf{u}$ va $\mathbf{v}$ boʻlgan parallelogramm yuziga teng, shuning uchun uning yarmi ular hosil qilgan uchburchak yuzidir. Uchlari $P$ , $Q$ va $R$ boʻlgan uchburchak uchun $\overrightarrow{PQ}$ ni $\overrightarrow{PR}$ ga vektor koʻpaytiring va uzunlikni teng ikkiga boʻling.

Agar vektorlar parallel boʻlsa, parallelogramm buziladi va vektor koʻpaytma nol vektorga teng boʻladi. $\langle 1, 2, 3 \rangle$ va $\langle 2, 4, 6 \rangle$ uchun kalkulyator $\langle 0, 0, 0 \rangle$ ni qaytaradi — bu parallel vektorlar uchun tezkor tekshiruv.

Normallar, tekisliklar va fizika

Tekislikda yotgan ikki yoʻnaltiruvchi vektorni vektor koʻpaytirish tekislikka normal vektorni beradi, tekislikdagi bitta nuqta bilan esa uning $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ tenglamasini yozish mumkin. Kompyuter grafikasida xuddi shu hisob yoritish uchun sirt normallarini beradi.

Fizikada kuch momenti $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ , harakatlanayotgan zaryadga taʼsir qiluvchi magnit kuch esa $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . Har ikki holatda ham natija oʻng qoʻl qoidasi bashorat qilganidek, ikki berilgan vektor tekisligiga perpendikulyar yoʻnalgan.

Koʻp uchraydigan xatolar

$\mathbf{j}$ komponentadagi minus ishorasini unutish.
$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ deb hisoblash; tartibni almashtirish yoʻnalishni teskarisiga oʻzgartiradi.
Ikki oʻlchovli vektorlarga avval nolga teng uchinchi komponenta qoʻshmasdan vektor koʻpaytmani qoʻllash.
Vektor koʻpaytmani son qaytaradigan skalyar koʻpaytma bilan adashtirish.
Uchburchak yuzini topishda uzunlikni teng ikkiga boʻlishni unutish.

Maslahatlar

Javobingizni har bir berilgan vektor bilan skalyar koʻpaytirib tekshiring; ikkala natija ham 0 boʻlishi shart.
Eslab qolish uchun $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ va $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ dan foydalaning.
2 oʻlchovli vektorlar uchun uchinchi komponenta sifatida 0 kiriting; shunda javob $z$ oʻqi boʻylab yoʻnaladi.
Vektorlar orasidagi burchakni topish uchun skalyar koʻpaytma kalkulyatoridan foydalaning.
$\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ aralash koʻpaytmani $3 \times 3$ determinant sifatida hisoblash uchun determinant kalkulyatoridan foydalaning.
Hisoblashdan oldin har bir komponentaning ishorasini oldindan aytish uchun ikki vektorni chizing va oʻng qoʻl qoidasini qoʻllang.

Koʻp beriladigan savollar

Vektor koʻpaytma qanday hisoblanadi?

i, j va k ni 3×3 determinantning birinchi satriga, ikki vektorni keyingi satrlarga joylashtiring, soʻngra birinchi satr boʻyicha yoying. j komponentadagi minus ishorasini unutmang.

Vektor koʻpaytmaning uzunligi nimani ifodalaydi?

Ikki vektor hosil qilgan parallelogramm yuzini. Uning yarmi ular hosil qilgan uchburchak yuziga teng.

Vektor koʻpaytma kommutativmi?

Yoʻq. Tartibni almashtirish yoʻnalishni teskarisiga oʻzgartiradi: v × u = −(u × v).

2 oʻlchovli vektorlarning vektor koʻpaytmasini olsa boʻladimi?

Bevosita emas; vektor koʻpaytma uchta komponenta uchun aniqlangan. Har bir vektorga uchinchi komponenta sifatida 0 qoʻshing, shunda natija z oʻqi boʻylab yoʻnaladi.

Nolga teng vektor koʻpaytma nimani anglatadi?

Vektorlar parallel (yoki ulardan biri nol vektor), shuning uchun ular hech qanday yuza hosil qilmaydi.

Vektor koʻpaytmani qanday tekshiraman?

Uning har bir dastlabki vektor bilan skalyar koʻpaytmasini oling. Ikkala natija ham nolga teng boʻlishi kerak, chunki vektor koʻpaytma ikkala berilgan vektorga perpendikulyar. Kalkulyator bu tekshiruvni siz uchun bajaradi.

Tekislikka normal vektorni qanday topaman?

Tekislikda yotgan ikki noparallel vektorni oling va ularning vektor koʻpaytmasini hisoblang. Natija tekislikka perpendikulyar boʻladi.

Vektor koʻpaytmangizni hisoblang

Vektor koʻpaytma, uning uzunligi va ortogonallik tekshiruvini olish uchun yuqorida ikki 3 oʻlchovli vektorni kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash