Skalyar koʻpaytma tushuntirilgan

Koordinatalar orqali formula

Skalyar koʻpaytma koordinatalari soni bir xil boʻlgan ikki vektorni olib, vektor emas, bitta son qaytaradi. Uni hisoblash uchun mos koordinatalarni koʻpaytiring va natijalarni qoʻshing:

Formula istalgan oʻlchamda ishlaydi, shuning uchun skalyar koʻpaytma vektorlar minglab koordinatalarga ega boʻlishi mumkin boʻlgan maʼlumotlar ilmida juda keng tarqalgan. U matritsalarni koʻpaytirishning ham asosiy gʻishtidir: matritsalar koʻpaytmasining har bir elementi satr bilan ustunning skalyar koʻpaytmasidir.

Geometrik formula va vektorlar orasidagi burchak

Skalyar koʻpaytmaning ikkinchi, geometrik taʼrifi ham bor. Agar $\theta$ bir nuqtadan chizilgan ikki vektor orasidagi burchak boʻlsa, u holda:

Bu yerda $|\mathbf{a}|$ — $\mathbf{a}$ ning uzunligi, yaʼni moduli. Ikki formula doimo mos keladi, bu $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ va $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ hosil qilgan uchburchakka qoʻllangan kosinuslar teoremasidan kelib chiqadi. Ularni birlashtirish istalgan ikki vektor orasidagi burchakni topishning amaliy usulini beradi:

Ishora nimani bildiradi

Uzunliklar musbat boʻlgani uchun skalyar koʻpaytma ishorasi $\cos\theta$ ishorasi bilan bir xil. Bu burchakni hisoblamasdan uni tez baholash imkonini beradi:

• Musbat: burchak oʻtkir, 90 gradusdan kichik va vektorlar taxminan bir tomonga qaragan.
• Nol: vektorlar perpendikulyar, ular ortogonal ham deyiladi.
• Manfiy: burchak oʻtmas, 90 gradusdan katta va vektorlar taxminan qarama-qarshi tomonlarga qaragan.

Nol holi eng foydalisidir. Masalan, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$, demak, bu vektorlar perpendikulyar. Ikki oʻlchamda vektor koordinatalarining oʻrnini almashtirib, ulardan birining ishorasini oʻzgartirish doimo perpendikulyar vektor beradi, bu toʻgʻri chiziqlarga normallarni topishning qulay usuli.

Uzunliklar va birlik vektorlar

Vektorning oʻziga skalyar koʻpaytmasi uning uzunligi kvadratini beradi, chunki burchak nolga teng va $\cos 0 = 1$:

Demak, $(2, -1, 3)$ ning uzunligi $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. Vektorni uning uzunligiga boʻlish uzunligi 1 ga teng va oʻsha yoʻnalishga qaragan birlik vektorni beradi. Birlik vektorlar qulay, chunki ikki birlik vektorning skalyar koʻpaytmasi shunchaki ular orasidagi burchak kosinusiga teng.

Bir vektorni boshqasiga proyeksiyalash

$\mathbf{a}$ ning $\mathbf{b}$ ga proyeksiyasi — yorugʻlik $\mathbf{b}$ orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar tushganda $\mathbf{a}$ shu chiziqqa tashlaydigan soya. Skalyar koʻpaytma uni bevosita beradi:

$\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ soni, bu yerda taxminan 4.427, $\mathbf{a}$ ning $\mathbf{b}$ boʻylab skalyar tashkil etuvchisi, yaʼni soyaning ishorali uzunligidir. Proyeksiyalar vektorni yoʻnalish boʻylab qismga va unga perpendikulyar qismga ajratadi, bu qadam fizikadan tortib statistikadagi eng kichik kvadratlar usuligacha hamma joyda qoʻllaniladi.

Kuch bajargan ish

Fizikada kuchning faqat harakat yoʻnalishi boʻylab taʼsir qiladigan qismi ish bajaradi. Shuning uchun jismni $\mathbf{d}$ koʻchishga siljituvchi oʻzgarmas $\mathbf{F}$ kuchning bajargan ishi skalyar koʻpaytmadir: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Xossalar va qoʻllanishlar

• Kommutativlik: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Distributivlik: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Skalyarlarni chiqarish mumkin: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$, bu kosinus formulasi doimo $-1$ va 1 orasidagi qiymat berishini kafolatlaydi.

Geometriyadan tashqari skalyar koʻpaytma qidiruv tizimlari va tavsiya tizimlari ikki hujjat yoki foydalanuvchi qanchalik oʻxshashligini oʻlchash uchun ishlatadigan kosinus oʻxshashligiga; yorqinlik sirt normalining yorugʻlik yoʻnalishi bilan skalyar koʻpaytmasiga bogʻliq boʻlgan 3D grafikadagi yoritishga; neyronlari kirishlarning vaznlar bilan skalyar koʻpaytmalarini hisoblaydigan neyron tarmoqlarga asos boʻladi. Skalyar koʻpaytma kalkulyatori koʻpaytma, burchak va proyeksiyalarni qadamlari bilan hisoblaydi, vektor koʻpaytma kalkulyatori esa vektorlarni koʻpaytirishning boshqa usuli bilan ishlaydi, u vektor koʻpaytma qoʻllanmamizda yoritilgan.

Klassik geometrik masala

Skalyar koʻpaytma baʼzi geometrik savollarni hayratlanarli darajada tez hal qiladi. Kubning katta diagonali uning qirralaridan biri bilan qanday burchak hosil qiladi? Kubni bir uchi koordinatalar boshida, uzunligi 1 boʻlgan qirralari oʻqlar boʻylab joylashadigan qilib qoʻying. Diagonal koordinatalar boshidan $(1, 1, 1)$ gacha, qirralardan biri esa $(1, 0, 0)$ gacha boradi.

Ularning skalyar koʻpaytmasi 1, diagonal uzunligi $\sqrt{3}$, qirra uzunligi 1, demak, $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ va $\theta \approx 54.7^\circ$. Klassik geometriya bilan buni bajarish kub ichida toʻgʻri burchakli uchburchak yasash va uning tomonlari haqida puxta mulohaza yuritishni talab qiladi; vektorlar bilan esa uch qator kifoya. Xuddi shu yondashuv yoʻnalishlarini vektorlar bilan tavsiflay olsangiz, istalgan ikki toʻgʻri chiziq, tekislik yoki kimyoviy bogʻ orasidagi burchakni topadi.

Keng tarqalgan xatolar

• Javobni vektor sifatida yozish, masalan, 2 yigʻindisi oʻrniga $(8, 0, -6)$.
• Burchak formulasi uchun uzunliklarni hisoblashda kvadrat ildiz chiqarishni unutish.
• Vektor proyeksiyasi formulasida $|\mathbf{b}|^2$ oʻrniga $|\mathbf{b}|$ ga boʻlish.
• Kalkulyatorda $\cos\theta$ yoki unga teskari funksiyani hisoblashda gradus va radianlarni nomuvofiq ishlatish.
• Vektorlardan biri aslida nol vektor boʻlganda ularni perpendikulyar deb xulosa qilish.

Yaxshi tekshiruv — ishora. Agar chizmangizda ikki vektor aniq oʻxshash yoʻnalishlarga qaragan boʻlsa, skalyar koʻpaytma musbat boʻlishi shart; hisobingiz manfiy son bersa, koordinatalardan biridagi ishora xatosini qidiring.

Mashqlar

Bularni yechib, soʻng quyidagi javoblar bilan solishtiring. Birinchidan, $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$ ni toping; koʻpaytmalar 4, $-3$ va $-10$, demak, javob $-9$, manfiy qiymat esa burchak oʻtmas ekanini bildiradi. Ikkinchidan, $(2, k)$ vektor $(3, -6)$ ga perpendikulyar boʻladigan $k$ ni toping: $6 - 6k = 0$ deb olsak, $k = 1$ chiqadi. Uchinchidan, $(1, 0)$ va $(1, 1)$ orasidagi burchakni toping: skalyar koʻpaytma 1, uzunliklar 1 va $\sqrt{2}$, demak, burchak 45 gradus, buni tez chizilgan chizma ham tasdiqlaydi.

Qisqacha tarix

Vektor belgilari maktab matematikasining aksariyat qismidan yoshroq. 1840-yillarda Uilyam Rouan Gamilton bitta haqiqiy va uchta mavhum qismga ega sonlar — kvaternionlarni ixtiro qildi va uning ikki sof kvaternioni koʻpaytmasi ham skalyar, ham vektor qismni oʻz ichiga olardi. 1880-yillarda Jozaya Uillard Gibbs va Oliver Xevisayd bu ikki qismni skalyar koʻpaytma va vektor koʻpaytmaga ajratib, fiziklarga hozir ham oʻqitiladigan soddaroq vektor algebrasini berdi. Gibbs belgi sifatida markazlashgan nuqtani tanladi, shuning uchun amal koʻp tillarda «nuqtali koʻpaytma» deb ham ataladi.

Koʻp beriladigan savollar