Trigonometriya

Kosinuslar teoremasi misollar bilan tushuntirilgan

Q: Kosinuslar teoremasi Pifagor teoremasi bilan bir xilmi?

U uning umumlashmasidir. Toʻgʻri burchak uchun cos 90^circ = 0, shuning uchun qoʻshimcha had yoʻqoladi va teorema c^2 = a^2 + b^2 ga aylanadi. Boshqa burchaklar uchun -2abcos C had burchak toʻgʻri burchakdan qanchalik farq qilishini tuzatadi.

Q: Burchak oʻtmas boʻlganda formulaga nima boʻladi?

Oʻtmas burchak kosinusi manfiy, shuning uchun -2abcos C musbat boʻladi va qarshidagi tomon Pifagor qiymatidan uzunroq chiqadi. Bu sezgiga mos: burchakni kengroq ochish uchlarni bir-biridan uzoqlashtiradi.

Q: SSS masalasida qaysi burchakni birinchi topish kerak?

Avval eng uzun tomon qarshisidagi burchakni toping. Faqat u oʻtmas boʻlishi mumkin va arkkosinus uni toʻgʻri aniqlaydi. Shundan keyin qolgan ikki burchak oʻtkir ekani kafolatlanadi.

Q: Kosinuslar teoremasi mumkin boʻlmagan uchburchaklarni aniqlay oladimi?

Ha. Agar uchta uzunlik uchburchak tengsizligini buzsa, kosinus formulasi -1 dan kichik yoki 1 dan katta qiymat beradi, bunday kosinusli burchak yoʻq. Masalan, 3, 4 va 8 tomonlar -1.625 ni beradi.

Q: Kosinuslar teoremasi uchun gradus kerakmi yoki radian?

Kalkulyatoringiz siz kiritayotgan burchak bilan bir xil birlikka sozlangan boʻlsa, ikkalasi ham ishlaydi. Koʻpchilik uchburchak masalalarida burchaklar gradusda beriladi, shuning uchun cos C ni hisoblashdan oldin kalkulyator gradus rejimida ekanini tekshiring.

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Kosinuslar teoremasi Pifagor teoremasini har qanday uchburchakka kengaytiradi. U ikki tomon va ular orasidagi burchak maʼlum boʻlganda uchinchi tomonni, uchala tomon maʼlum boʻlganda esa istalgan burchakni topadi.

Formula

Uchburchakni odatdagidek belgilang: $A$ , $B$ , $C$ burchaklar va ularning qarshisidagi $a$ , $b$ , $c$ tomonlar. Kosinuslar teoremasining har bir tomon uchun bittadan, jami uchta koʻrinishi bor va ularning hammasi bir xil qolipga boʻysunadi:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

Uni shunday oʻqing: bir tomonning kvadrati qolgan ikki tomon kvadratlari yigʻindisidan tuzatish hadini ayirganiga teng. Tuzatish hadidagi burchak chapdagi tomon qarshisidagi burchak boʻlib, u oʻngdagi ikki tomon orasidagi burchak hamdir. $C = 90^\circ$ boʻlganda $\cos C = 0$ va tuzatish yoʻqoladi, natijada $c^2 = a^2 + b^2$ qoladi. Demak, Pifagor teoremasi xususiy holdir.

Kosinusga nisbatan yechish burchaklarni topishda ishlatiladigan koʻrinishni beradi:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Koordinatalar yordamida qisqa isbot

$C$ uchni koordinatalar boshiga, $a$ tomonni esa x oʻqining musbat yoʻnalishi boʻylab joylashtiring, shunda $B$ uch $(a, 0)$ nuqtada boʻladi. $A$ uch koordinatalar boshidan $C$ burchak yoʻnalishida $b$ masofada joylashgan, shuning uchun uning koordinatalari $(b\cos C, b\sin C)$ .

$c$ tomon $A$ dan $B$ gacha boʻlgan masofa. Masofa formulasiga koʻra $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$ . Qavslarni ochsak, $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$ hosil boʻladi va $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$ boʻlgani uchun bu $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ ga teng. Isbot $C$ oʻtkir yoki oʻtmas boʻlishidan qatʼi nazar ishlaydi, chunki koordinatalar ishoralarni avtomatik hisobga oladi.

Xuddi shu ayniyat vektor koʻrinishida $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ sifatida namoyon boʻladi, shuning uchun vektorlar orasidagi burchakni topishda skalyar koʻpaytmadan foydalanish mumkin.

Tomonni topish: ikki tomon va ular orasidagi burchak

Ikki tomon va ular orasidagi burchak (SAS) maʼlum boʻlganda sinuslar teoremasini boshlab boʻlmaydi, chunki hech bir tomon qarshisidagi burchak bilan juftlanmagan. Kosinuslar teoremasi uchinchi tomonni bevosita beradi.

1-misol: $a = 7$ , $b = 9$ , $C = 48^\circ$

Qoʻying: $c^2 = 7^2 + 9^2 - 2(7)(9)\cos 48^\circ = 130 - 126\cos 48^\circ$ .
$\cos 48^\circ \approx 0.6691$ , demak, $c^2 \approx 130 - 84.31 = 45.69$ va $c \approx 6.76$ .
Berilganlar ichidagi eng uzun tomon, $b = 9$ qarshisidagi burchakni yana kosinuslar teoremasi bilan toping: $\cos B = \frac{7^2 + 6.76^2 - 9^2}{2(7)(6.76)}$ , bundan $B \approx 81.68^\circ$ .
Oxirgi burchak: $A = 180^\circ - 48^\circ - 81.68^\circ \approx 50.32^\circ$ .

2-misol: ikki sayyoh

Ikki sayyoh lagerdan orasidagi burchak $60^\circ$ boʻlgan toʻgʻri yoʻllar boʻylab yoʻlga chiqadi. Biri 5 km, ikkinchisi 8 km yuradi. Ular orasidagi masofa qancha?
$d^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8)\cos 60^\circ = 25 + 64 - 40 = 49$ .
Aynan $d = 7$ km, chunki $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ .

Burchaklarni topish: uchta tomon

Uchala tomon maʼlum boʻlsa (SSS), har bir burchak uchun kosinus koʻrinishidan foydalaning. Eng katta burchakdan, yaʼni eng uzun tomon qarshisidagisidan boshlang. Agar u oʻtmas boʻlsa, uning kosinusi manfiy va arkkosinus buni toʻgʻri hisobga oladi, chunki u $0^\circ$ dan $180^\circ$ gacha burchaklarni qaytaradi. Eng katta burchak topilgach, qolgan ikkitasi oʻtkir boʻlishi shart, shuning uchun hatto sinuslar teoremasi ham ishni noaniqliksiz yakunlay oladi.

3-misol: $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 10$

Eng katta $C$ burchak: $\cos C = \frac{25 + 49 - 100}{2(5)(7)} = \frac{-26}{70} \approx -0.3714$ , demak, $C \approx 111.80^\circ$ , bu oʻtmas burchak.
$A$ burchak: $\cos A = \frac{49 + 100 - 25}{2(7)(10)} = \frac{124}{140} \approx 0.8857$ , demak, $A \approx 27.66^\circ$ .
$B$ burchak: $180^\circ - 111.80^\circ - 27.66^\circ \approx 40.54^\circ$ . Uni bevosita hisoblash, $\cos B = \frac{25 + 100 - 49}{100} = 0.76$ , xuddi shu qiymatni beradi.

Agar uchta uzunlikdan uchburchak tuzib boʻlmasa, formula buni koʻrsatadi: kosinus $[-1, 1]$ dan tashqariga chiqadi. 3, 4 va 8 tomonlar uchun 8 qarshisidagi burchakda $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$ , bu imkonsiz va $3 + 4 < 8$ uchburchak tengsizligiga mos keladi.

Kalkulyatorsiz oʻtkir, toʻgʻri yoki oʻtmas

$a^2 + b^2 - c^2$ ning ishorasi $\cos C$ ning ishorasi bilan bir xil. $c$ eng uzun tomon boʻlsa, bu tez tasniflash imkonini beradi:

$c^2 < a^2 + b^2$ : eng katta burchak oʻtkir, demak, uchburchak oʻtkir burchakli.
$c^2 = a^2 + b^2$ : uchburchak toʻgʻri burchakli.
$c^2 > a^2 + b^2$ : uchburchak oʻtmas burchakli.

5, 7 va 10 tomonlar uchun $100 > 74$ , demak, uchburchak oʻtmas burchakli, 3-misol buni tasdiqladi. 6, 8 va 9 uchun $81 < 100$ , demak, u oʻtkir burchakli.

Uchta tomon boʻyicha yuza: Geron formulasi

Kosinuslar teoremasini $\frac{1}{2}ab\sin C$ yuza formulasi bilan birlashtirish faqat tomon uzunliklarini talab qiladigan Geron formulasiga olib keladi. $s = \frac{a + b + c}{2}$ yarim perimetr boʻlsin. U holda:

\text{Yuza} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}

5, 7 va 10 tomonlar uchun $s = 11$ va yuza $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$ . Tekshirish uchun $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ ham xuddi shu 16.25 ni beradi.

Teoremalar orasida tanlash

Tomon va qarshisidagi burchak juftligi boʻlmagan ikki hol, SAS va SSS uchun kosinuslar teoremasidan foydalaning. Tomon va uning qarshisidagi burchak maʼlum boʻlganda sinuslar teoremasidan foydalaning. Aralash masalalarda koʻpincha avval kosinuslar teoremasi, soʻng sinuslar teoremasi qoʻllaniladi. Uchburchaklarni yechish qoʻllanmasi barcha hollarni bir joyda bayon qiladi.

Kosinuslar teoremasining amaliy afzalliklaridan biri shuki, u burchak uchun hech qachon noaniq javob bermaydi, chunki $-1$ va 1 orasidagi har bir kosinus $0^\circ$ va $180^\circ$ orasidagi aynan bitta burchakka mos keladi. Sinuslar teoremasi esa oʻtkir burchakni uni toʻldiruvchi oʻtmas burchakdan farqlay olmaydi. Shuning uchun koʻp darsliklar oʻtmas burchak boʻlishi mumkin boʻlgan har safar eng katta burchakni kosinuslar orqali topishni tavsiya qiladi.

Keng tarqalgan xatolar

Avval $a^2 + b^2 - 2ab$ ni hisoblab, soʻng $\cos C$ ga koʻpaytirish. $2ab\cos C$ koʻpaytma ayirishdan oldin bajarilishi kerak.
Berilgan ikki tomon orasida boʻlmagan burchakdan foydalanish.
Tomonni topishda oxirida kvadrat ildiz chiqarishni unutish.
Kalkulyatorda gradus va radianlarni aralashtirib yuborish.
$c$ ni erta yaxlitlab, soʻng burchaklarni topishda yaxlitlangan qiymatdan foydalanish.

Kosinuslar teoremasi kalkulyatori SAS, SSS va boshqa hollarni har bir qoʻyishni koʻrsatgan holda yechadi. Maxsus burchaklardagi kosinusning aniq qiymatlarini takrorlash uchun birlik aylana kalkulyatoriga qarang.

Kosinuslar teoremasi qayerda qoʻllaniladi

Ikki maʼlum masofa va ular orasidagi burchak qatnashgan har qanday vaziyat kosinuslar teoremasiga oid masaladir. Navigatorlar undan turli yoʻnalishlardagi ikki bosqichli safardan keyin kema portdan qanchalik uzoqda ekanini topish uchun foydalanadi. Muhandislar maʼlum burchak ostida tutashgan ikki toʻsinning uchlarini birlashtiruvchi tirgak yoki trosning uzunligini topishda undan foydalanadi. Robototexnikada ikki boʻgʻinli manipulyatorning har bir boʻgʻini nuqtaga yetish uchun qanday burchak olishi kerakligi kosinuslar teoremasini burchakka nisbatan yechish orqali topiladi, chunki ikki boʻgʻinning uzunliklari va nishongacha masofa maʼlum.

Xuddi shu formula maʼlumotlar ilmida ikki sonlar roʻyxati qanchalik oʻxshashligini oʻlchaydi. Har bir roʻyxatni vektor deb qarasak, skalyar koʻpaytmadan hisoblangan ular orasidagi burchak kosinusi kosinus oʻxshashligi deyiladi va u qidiruv tizimlari hamda tavsiya tizimlarida qoʻllaniladi. Geometriya uchburchak variantidagi bilan aynan bir xil; faqat oʻlchamlar soni oʻzgaradi.

Javoblari bilan mashqlar

4 va 6 tomonlar $120^\circ$ burchak ostida tutashgan. Uchinchi tomonni toping. Javob: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$ , chunki $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ .
Tomonlari 7, 8 va 13 boʻlgan uchburchakning eng katta burchagini toping. Javob: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$ , demak, burchak aynan $120^\circ$ .
Tomonlari 9, 12 va 15 boʻlgan uchburchak oʻtkir, toʻgʻri yoki oʻtmas burchaklimi? Javob: $81 + 144 = 225 = 15^2$ , demak, u toʻgʻri burchakli uchburchak.
Tomonlari 13, 14 va 15 boʻlgan uchburchakning yuzini toping. Javob: $s = 21$ , yuza $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ .

Koʻp beriladigan savollar

Kosinuslar teoremasi Pifagor teoremasi bilan bir xilmi?

U uning umumlashmasidir. Toʻgʻri burchak uchun $\cos 90^\circ = 0$ , shuning uchun qoʻshimcha had yoʻqoladi va teorema $c^2 = a^2 + b^2$ ga aylanadi. Boshqa burchaklar uchun $-2ab\cos C$ had burchak toʻgʻri burchakdan qanchalik farq qilishini tuzatadi.

Burchak oʻtmas boʻlganda formulaga nima boʻladi?

Oʻtmas burchak kosinusi manfiy, shuning uchun $-2ab\cos C$ musbat boʻladi va qarshidagi tomon Pifagor qiymatidan uzunroq chiqadi. Bu sezgiga mos: burchakni kengroq ochish uchlarni bir-biridan uzoqlashtiradi.

SSS masalasida qaysi burchakni birinchi topish kerak?

Avval eng uzun tomon qarshisidagi burchakni toping. Faqat u oʻtmas boʻlishi mumkin va arkkosinus uni toʻgʻri aniqlaydi. Shundan keyin qolgan ikki burchak oʻtkir ekani kafolatlanadi.

Kosinuslar teoremasi mumkin boʻlmagan uchburchaklarni aniqlay oladimi?

Ha. Agar uchta uzunlik uchburchak tengsizligini buzsa, kosinus formulasi $-1$ dan kichik yoki 1 dan katta qiymat beradi, bunday kosinusli burchak yoʻq. Masalan, 3, 4 va 8 tomonlar $-1.625$ ni beradi.

Kosinuslar teoremasi uchun gradus kerakmi yoki radian?

Kalkulyatoringiz siz kiritayotgan burchak bilan bir xil birlikka sozlangan boʻlsa, ikkalasi ham ishlaydi. Koʻpchilik uchburchak masalalarida burchaklar gradusda beriladi, shuning uchun $\cos C$ ni hisoblashdan oldin kalkulyator gradus rejimida ekanini tekshiring.

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.