Kosinuslar teoremasi kalkulyatori

Q: Kosinuslar teoremasidan qachon foydalanish kerak?

Ikki tomon va ular orasidagi burchak (TBT) yoki uchala tomon (TTT) maʼlum boʻlganda. Bu hollarda hech bir tomon unga qarshi burchak bilan birga maʼlum emas, shuning uchun sinuslar teoremasi bilan boshlab boʻlmaydi.

Q: Kosinuslar teoremasi bilan burchak qanday topiladi?

Uni cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) koʻrinishiga keltiring, uchta tomonni qoʻying va arkkosinusni oling.

Q: Kosinuslar teoremasi Pifagor teoremasi bilan qanday bogʻlangan?

C burchak 90° boʻlganda cos C = 0 va formula c² = a² + b² ga aylanadi. Kosinuslar teoremasi har qanday uchburchak uchun umumiy koʻrinish.

Q: Uchta tomonim uchburchak hosil qilmasa-chi?

Kalkulyator uchburchak tengsizligini tekshiradi va bir tomon qolgan ikkitasining yigʻindisidan kichik boʻlmasa, masalan, 1, 2 va 5 tomonlarda, xato haqida xabar beradi.

Q: Uchburchak natijalari aniqmi yoki yaxlitlanganmi?

Uchinchi tomon kvadrat ildiz boʻlsa, u √39 yoki 2√19 kabi aniq koʻrinishda, oʻnli kasr bilan birga koʻrsatiladi. Burchaklar oʻnli kasrli graduslarda beriladi.

Q: Yuz qanday hisoblanadi?

Ikki tomon va ular orasidagi burchakdan foydalanib, yuz = ½ab sin C formulasi bilan. TTT rejimida avval burchak topiladi.

Q: Kosinuslar teoremasi ikkita uchburchak berishi mumkinmi?

Yoʻq. TBT va TTT maʼlumotlari har doim yagona uchburchakni aniqlaydi. Ikkita mumkin boʻlgan uchburchakli noaniq holat faqat TTB maʼlumotlari va sinuslar teoremasida yuzaga keladi.

Kosinuslar teoremasi kalkulyatori haqida

Toʻgʻri burchakli uchburchaklarni Pifagor teoremasi va oddiy trigonometriya yordamida yechish mumkin, lekin geodeziya, navigatsiya, muhandislik va fizikadagi aksariyat uchburchaklarda toʻgʻri burchak yoʻq. Kosinuslar teoremasi Pifagor teoremasini har qanday uchburchakka umumlashtiradi va ikki tomon hamda ular orasidagi burchak yoki uchala tomon maʼlum, burchaklar esa nomaʼlum boʻlganda aynan shu vosita kerak boʻladi.

Bu kalkulyator ikkala holatni ham yechadi. Ikki tomon va burchak (TBT) rejimida u uchinchi tomonni, mavjud boʻlsa $\sqrt{39}$ kabi aniq ildizni saqlagan holda, soʻng qolgan ikki burchakni topadi. Uch tomon (TTT) rejimida u tomonlar uchburchak hosil qila olishini tekshiradi va uchala burchakni topadi. Ikkala rejimda ham yuz bilan yakunlanadi.

Kosinuslar teoremasi nima?

Tomonlari $a$ , $b$ va $c$ , ularga qarshi burchaklari $A$ , $B$ va $C$ boʻlgan uchburchakda kosinuslar teoremasi $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ ekanini taʼkidlaydi. Xuddi shu munosabat har bir tomon va unga qarshi burchak uchun bajariladi.

$C = 90°$ boʻlganda $\cos C = 0$ va formula $c^2 = a^2 + b^2$ ga, yaʼni Pifagor teoremasiga aylanadi. Qoʻshimcha $-2ab\cos C$ had burchakni hisobga oladi: $C$ oʻtkir boʻlsa, $c$ ni qisqartiradi, $C$ oʻtmas boʻlsa, uzaytiradi, chunki oʻtmas burchakning kosinusi manfiy.

Kosinuslar teoremasi kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

TBT (ikki tomon va ular orasidagi burchak) yoki TTT (uch tomon) rejimini tanlang.
$a$ va $b$ tomonlarni kiriting.
TBT rejimida ular orasidagi $C$ burchakni gradusda, TTT rejimida esa uchinchi $c$ tomonni kiriting.
Yetishmayotgan tomon yoki burchaklarni, soʻng yuzni koʻrish uchun “Uchburchakni yechish” tugmasini bosing.
Natijani tekshiring: burchaklar yigʻindisi 180° boʻlishi va eng katta burchak eng uzun tomon qarshisida yotishi kerak.

Formulalar

Kosinuslar teoremasi

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Burchakka nisbatan yechilgan koʻrinish

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Burchaklar yigʻindisi

A + B + C = 180^\circ

Yuz (TBT)

K = \tfrac12 ab\sin C

Yechib koʻrsatilgan misol: a = 5, b = 7, C = 60°

Misolda $a = 5$ , $b = 7$ va ular orasidagi burchak $C = 60°$ . $\cos 60° = \frac12$ boʻlgani uchun formula $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ ni beradi, demak, $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

Soʻng dastur $A$ burchakni almashtirib yozilgan kosinuslar teoremasidan topadi — taxminan $43.898°$ , $B$ burchakni esa burchaklar yigʻindisidan — taxminan $76.102°$ . Yuz $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

Masalangizni qanday tushundik

Ikki tomon va ular orasidagi burchak: uchinchi tomon va qolgan burchaklarni toping

Bosqichma-bosqich yechim

c² = a² + b² − 2ab·cos C ga qoʻying
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Kvadrat ildiz chiqaring
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
A burchakni kosinuslar teoremasini almashtirib yozish orqali toping
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
Uchburchak burchaklarining yigʻindisi 180° ga teng
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
Ikki tomon va ular orasidagi burchak orqali yuz
$\text{Yuz} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Qoʻllanilgan formulalar

Kosinuslar teoremasi
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Burchakka nisbatan yechildi
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Yuz
$\text{Yuz} = \tfrac12 ab\sin C$

Uchburchakning tomonlari a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998, burchaklari A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. Bu yuzi ≈ 15.155445 va perimetri ≈ 18.244998 boʻlgan oʻtkir burchakli turli tomonli uchburchak.

Tekshiruv

A + B + C = 180°.
Geron formulasi ham xuddi shu yuzni beradi: 15.155445.
Sinuslar teoremasi nisbatlari: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Batafsil tushuntirish

Ikki tomon va ular orasidagi burchak boʻyicha yechish

Ikki tomon va ular orasidagi burchak maʼlum boʻlsa, kosinuslar teoremasi uchinchi tomonni bevosita beradi. Faqat bitta uchburchak boʻlishi mumkin, shuning uchun noaniqlik yoʻq. Uchala tomon maʼlum boʻlgach, almashtirib yozilgan formula har bir burchakni navbat bilan beradi. Kalkulyator ikkinchi burchak uchun sinuslar teoremasidan emas, kosinuslar teoremasidan foydalanadi, chunki kosinus formulasi oʻtkir burchakni uni toʻldiruvchi oʻtmas burchak bilan adashtira olmaydi.

Ular orasidagi burchak oʻtmas boʻlganda ham xuddi shunday ishlanadi. $a = 4$ , $b = 6$ va $C = 120°$ uchun $\cos 120° = -\frac12$ , shuning uchun $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ va $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ — kutilganidek, berilgan har ikki tomondan uzunroq.

Uch tomon boʻyicha yechish

Uchta uzunlik faqat har ikkitasining yigʻindisi uchinchisidan katta boʻlgandagina uchburchak hosil qiladi — bu uchburchak tengsizligi. Kalkulyator avval buni tekshiradi: 1, 2 va 5 tomonlar rad etiladi, chunki $1 + 2 < 5$ . Yaroqli tomonlar uchun u $C$ burchakni, soʻng $A$ burchakni almashtirib yozilgan formuladan hisoblaydi va $B$ ni burchaklar yigʻindisidan topadi. Eng uzun tomonni $c$ deb kiriting — birinchi topilgan burchak uchburchak oʻtkir, toʻgʻri yoki oʻtmas burchakli ekanini aytadi: 3, 4 va 5 tomonlar $C = 90°$ ni beradi.

Kosinuslar teoremasimi yoki sinuslar teoremasimi?

Hech bir tomon–burchak juftligi maʼlum boʻlmagan TBT va TTT hollarida kosinuslar teoremasidan foydalaning. Kamida bitta tomon unga qarshi burchak bilan birga maʼlum boʻlgan BTB, BBT va TTB hollarida sinuslar teoremasidan foydalaning. TTB holatida ikkita yechim boʻlishi mumkin; kosinuslar teoremasi hollarida bunday boʻlmaydi, shuning uchun tanlov boʻlsa, ular ishonchliroq boshlangʻich nuqta.

Koʻp uchraydigan xatolar

TBT rejimida berilgan ikki tomon orasida yotmagan burchakdan foydalanish.
$2ab\cos C$ dagi 2 koʻpaytuvchini unutish.
Burchak gradusda boʻlsa ham kalkulyatorni radian rejimida qoldirish.
$\cos C$ ga koʻpaytirishdan oldin $2ab$ ni ayirish — bu amallar tartibini buzadi.
Uchburchak tengsizligini tekshirmay, 1 dan katta boʻlgan imkonsiz kosinusni olish.

Maslahatlar

Uchburchakni nomaʼlum tomon $c$ , maʼlum burchak $C$ boʻladigan qilib belgilang.
Eng katta burchak har doim eng uzun tomon qarshisida yotadi; javobingizni shu bilan tekshiring.
Yaxlitlash xatolari toʻplanmasligi uchun $\sqrt{39}$ kabi aniq qiymatlarni soʻnggi qadamgacha saqlang.
Maxsus burchaklarning aniq kosinuslarini eslash uchun birlik aylana kalkulyatoridan foydalaning.
Toʻgʻri burchakli uchburchaklar uchun masofa formulasi va Pifagor teoremasi tezroq.

Koʻp beriladigan savollar

Kosinuslar teoremasidan qachon foydalanish kerak?