Kasrlar kalkulyatori: qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish va boʻlish

Q: Oʻnli va oddiy kasrlarni aralashtirsam boʻladimi?

Ha. 0.25 kabi oʻnli kasr avval aniq 1/4 kasrga aylantiriladi, shuning uchun javob aniq qoladi.

Kasrlar kalkulyatori haqida

$\frac{a}{b}$ kasr $b$ ta teng boʻlakdan $a$ tasini bildiradi. Kasrlarni qoʻshish va ayirish uchun umumiy maxraj kerak, koʻpaytirish va boʻlish esa toʻgʻridan-toʻgʻri suratlar va maxrajlar ustida bajariladi.

Bu kalkulyator $1\tfrac12 + \tfrac{3}{4} \times \tfrac{2}{5}$ kabi butun ifodani oʻqiydi, amallar tartibiga rioya qiladi va har bir oraliq qiymatni aniq kasr sifatida saqlaydi, shuning uchun yaxlitlash xatosi boʻlmaydi.

Kasr nima?

Kasr — bir butun sonni boshqasining ustiga yozib ifodalangan son, $b \neq 0$ boʻlganda $\frac{a}{b}$ . Pastki son, yaʼni maxraj, butun nechta teng boʻlakka boʻlinganini koʻrsatadi; yuqori son, yaʼni surat, shu boʻlaklardan nechtasi borligini koʻrsatadi. Demak, $\frac34$ toʻrtga boʻlingan butunning uch boʻlagi.

Kasr shuningdek boʻlishdir: $\frac34$ soni $3 \div 4 = 0.75$ bilan bir xil. Surat maxrajdan kichik boʻlsa, kasr toʻgʻri kasr boʻladi va 0 bilan 1 orasida yotadi. Surat kattaroq boʻlsa, kasr notoʻgʻri kasr boʻladi, masalan, $\frac{7}{4}$ , va uni $1\tfrac34$ aralash son koʻrinishida ham yozish mumkin. Koʻplab turli kasrlar bitta qiymatni ifodalaydi; $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ va $\frac{50}{100}$ hammasi $\frac12$ ga teng, umumiy koʻpaytuvchisi qolmagan kasr esa qisqarmas kasr deyiladi.

Kasrlar kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Ifodani har bir kasr chizigʻi uchun / belgisi bilan yozing, masalan, 2/3 + 5/6.
Aralash sonni butun qismi va kasr qismi orasiga boʻshliq qoʻyib yozing: 1 1/2.
Kasrlar orasida +, −, * yoki ×, va ÷ belgilaridan foydalaning. Qavslar ham boʻladi.
Eng kichik umumiy maxrajni, birlashtirilgan suratni va qisqartirilgan natijani koʻrish uchun “Hisoblash” tugmasini bosing.

Formulalar

Kasrlarni qoʻshish

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Amalda eng kichik umumiy maxraj sonlarni kichik saqlaydi.

Kasrlarni koʻpaytirish

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Kasrlarni boʻlish

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Boʻluvchining teskarisiga koʻpaytiring.

Qisqartirish

\frac{a}{b} = \frac{a \div g}{b \div g},\quad g = \gcd(a, b)

Yechib koʻrsatilgan misol: 2/3 + 5/6

Yechib koʻrsatilgan misolda $\frac23$ va $\frac56$ qoʻshiladi. Maxrajlar har xil, shuning uchun kalkulyator avval ularning eng kichik umumiy maxraji 6 ni topadi va $\frac23$ ni $\frac46$ shaklida qayta yozadi. Suratlarni qoʻshish $\frac96$ ni beradi; uning surati va maxraji 3 ga boʻlinadi, kasr $\frac32$ ga, aralash son koʻrinishida esa $1\tfrac12$ ga qisqaradi. Oʻnli kasrdagi tekshiruv, 1.5, natijani tasdiqlaydi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

\frac{3}{2}

Masalangizni qanday tushundik

Kasrlar bilan aniq hisoblash (natijalar qisqarmas holda saqlanadi).

Bosqichma-bosqich yechim

Ikkala kasrni eng kichik umumiy maxraj bilan qayta yozing
3 va 6 ning eng kichik umumiy maxraji 6.
$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6}$
Suratlarni qoʻshing, maxrajni oʻzgarishsiz qoldiring
$\frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6}$
Soddalashtirish
Surat va maxrajni ularning EKUBi 3 ga boʻling.
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
Qisqarmas holdagi yakuniy javob
$\frac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}$

Qoʻllanilgan formulalar

Qoʻshish
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
Koʻpaytirish
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
Boʻlish
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Qoʻshish va ayirishda kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi, koʻpaytirishda surat suratga, maxraj maxrajga koʻpaytiriladi, boʻlishda esa teskari kasrga koʻpaytiriladi. Natija eng katta umumiy boʻluvchiga qisqartiriladi.

Tekshiruv

Oʻnli kasrda tekshirish: 3/2 ≈ 1.5
Aralash son koʻrinishida: 1 1/2

Batafsil tushuntirish

Nega qoʻshish uchun umumiy maxraj kerak

Faqat bir xil oʻlchamdagi boʻlaklarni qoʻshish mumkin. Uchdan birlar va oltidan birlar har xil oʻlchamda, shuning uchun $\frac23 + \frac56$ ni ikkalasi ham oltidan birlarda ifodalanmaguncha qoʻshib boʻlmaydi. Kasrning surati va maxrajini bir xil songa koʻpaytirish uning qiymatini oʻzgartirmaydi, aynan shu qayta yozishni qonuniy qiladi. Maxrajlarning oddiy koʻpaytmasi oʻrniga eng kichik umumiy maxraj ishlatiladi, chunki u sonlarni kichik saqlaydi va odatda oxiridagi qisqartirish ishini kamaytiradi.

Koʻpaytirish va boʻlish

Koʻpaytirishga umumiy maxraj kerak emas: surat suratga, maxraj maxrajga toʻgʻridan-toʻgʻri koʻpaytiriladi. $\frac34$ ning $\frac23$ qismini olish uchdan uch choragining uchdan ikkisi demak, bu $\frac{6}{12} = \frac12$ . Boʻlish boʻluvchi boʻlinuvchiga necha marta sigʻishini soʻraydi va bu uning teskarisiga koʻpaytirish bilan bir xil. $\frac34 \div \frac25$ uchun kalkulyator masalani $\frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8}$ shaklida qayta yozadi, bu $1\tfrac78$ ga teng.

Aralash sonlar, oʻnli kasrlar va uzunroq ifodalar

Aralash sonlar har qanday hisobdan oldin notoʻgʻri kasrlarga aylantiriladi, oʻnli kasrlar esa aniq oddiy kasrlarga oʻtkaziladi, shuning uchun $0.25 + \frac13$ yaxlitlangan oʻnli kasrga emas, $\frac14 + \frac13 = \frac{7}{12}$ ga aylanadi. $1\tfrac12 - \frac34 \times \frac25$ kabi ifodada avval koʻpaytirish bajarilib, $\frac{3}{10}$ olinadi, soʻng ayirish $\frac{6}{5}$ ni beradi. Har bir oraliq qiymatni aniq saqlash yakuniy javobni ham aniq boʻlishiga imkon beradi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Maxrajlarni qoʻshish: $\frac12 + \frac13$ yigʻindi $\frac56$ ga teng, $\frac25$ ga emas.
Boʻlishda ikkinchi kasrni agʻdarishni unutish.
$1\tfrac12$ ni $1 \times \tfrac12$ deb tushunish; aralash son $1 + \tfrac12$ ni bildiradi.
Javobni qisqartirmasdan qoldirish, masalan, $\frac34$ oʻrniga $\frac{6}{8}$ .
Qoʻshishda xochsimon koʻpaytirish; xochsimon koʻpaytirish yigʻindilar uchun emas, proporsiyalarni solishtirish yoki yechish uchun qisqa yoʻl.
Qoʻshish belgisi orqali qisqartirish, masalan, $\frac{3 + 1}{3}$ dagi 3 larni qisqartirib yuborish.

Maslahatlar

Sonlarni kichik saqlash uchun koʻpaytirishdan oldin umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring.
Koʻpaytirish yoki boʻlishdan oldin aralash sonlarni notoʻgʻri kasrlarga aylantiring.
Natijani ikkala tomonni oʻnli kasrga aylantirib tekshiring.
Musbat maxrajli $\frac{a}{b}$ va $\frac{c}{d}$ kasrlarni solishtirish uchun $ad$ ni $bc$ bilan solishtiring.
Avval chamalab koʻring: $\frac23 + \frac56$ yigʻindi $\frac12 + 1$ dan biroz kichik, shuning uchun 1.5 atrofidagi javob oqilona.
Boshlashdan oldin har bir kasrni qisqartiring; kichikroq sonlar umumiy maxrajni topishni osonlashtiradi.

Koʻp beriladigan savollar

Maxrajlari har xil kasrlarni qanday qoʻshaman?

Ikkala kasrni eng kichik umumiy maxraj bilan qayta yozing, suratlarni qoʻshing va qisqartiring. $\frac23 + \frac56$ uchun eng kichik umumiy maxraj 6, natijada $\frac46 + \frac56 = \frac96 = \frac32$ .

Aralash sonni qanday kiritaman?

Butun sonni, boʻshliqni, soʻng kasrni yozing, masalan, 2 3/4. Kalkulyator hisoblashdan oldin uni $\frac{11}{4}$ ga aylantiradi.

Oʻnli va oddiy kasrlarni aralashtirsam boʻladimi?

Ha. 0.25 kabi oʻnli kasr avval aniq $\frac14$ kasrga aylantiriladi, shuning uchun javob aniq qoladi.

Nega javobim notoʻgʻri kasr va aralash son koʻrinishida koʻrsatilgan?

Ikkalasi bitta qiymatni ifodalaydi. Notoʻgʻri kasrlar keyingi algebraik hisoblarda qulayroq; aralash sonlarni esa tasavvur qilish osonroq.

Nolga boʻlsam nima boʻladi?

Nolga teng kasrga boʻlish aniqlanmagan, shuning uchun kalkulyator toʻxtaydi va ifodaning qaysi qismi bunga sabab boʻlganini aytadi.

Kalkulyator amallar tartibiga rioya qiladimi?

Ha. Koʻpaytirish va boʻlish qoʻshish va ayirishdan oldin bajariladi, qavslar esa birinchi hisoblanadi.

Kasrni kasrga qanday boʻlaman?

Birinchi kasrni oʻzgarishsiz qoldiring, boʻlishni koʻpaytirishga almashtiring va ikkinchisini agʻdaring. $\frac34 \div \frac25 = \frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8} = 1\tfrac78$ .

Notoʻgʻri kasrni aralash songa qanday aylantiraman?

Suratni maxrajga boʻling. Toʻliqsiz boʻlinma butun qism boʻladi, qoldiq esa dastlabki maxraj ustiga yoziladi: $\frac{15}{8}$ da 1 butun va 7 qoldiq, demak, $1\tfrac78$ .

Kasrni oʻnli kasr yoki foizga qanday aylantiraman?

Oʻnli kasrni olish uchun suratni maxrajga boʻling, soʻng foiz uchun 100 ga koʻpaytiring. $\frac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%$ . Kalkulyator tekshiruv sifatida har bir javobning oʻnli qiymatini koʻrsatadi.

Hoziroq kasrlar bilan hisoblang

Har bir bosqichi tushuntirilgan, qisqarmas holdagi aniq javobni olish uchun yuqoriga istalgan kasrli ifodani, jumladan aralash sonlar va oʻnli kasrlarni kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

Kasrlar kalkulyatori