EKUB kalkulyatori: eng katta umumiy boʻluvchini bosqichma-bosqich topish

Q: Son bilan 0 ning EKUBi nimaga teng?

Har bir butun son 0 ni boʻladi, shuning uchun gcd(a, 0) = |a|. 0 va 0 ning EKUBi aniqlanmagan.

EKUB kalkulyatori haqida

Butun sonlar toʻplamining eng katta umumiy boʻluvchisi — ularning har birini qoldiqsiz boʻladigan eng katta musbat butun son. U kasrlarni qisqartirish, ifodalarni koʻpaytuvchilarga ajratish va miqdorlarni teng guruhlarga boʻlishda ishlatiladi.

Kalkulyator har bir sonni tub koʻpaytuvchilarga ajratadi va Evklid algoritmini ham bajaradi, shunda koʻrgazmali usulni eng tez usul bilan solishtira olasiz.

Eng katta umumiy boʻluvchi nima?

Butun sonning boʻluvchisi uni qoldiqsiz boʻladi: 12 ning boʻluvchilari 1, 2, 3, 4, 6 va 12. Bir nechta sonning umumiy boʻluvchisi ularning hammasini boʻladi, eng katta umumiy boʻluvchi esa shunday sonlarning eng kattasidir. 18 ning boʻluvchilari 1, 2, 3, 6, 9 va 18, demak, 12 va 18 ning umumiy boʻluvchilari 1, 2, 3 va 6, EKUB esa 6 ga teng.

Boʻluvchilarni sanab chiqish kichik sonlar uchun yaraydi, lekin tezda sekinlashib qoladi. Tub koʻpaytuvchilarga ajratish va Evklid algoritmi hech narsani sanab chiqmasdan EKUBni topadi va ikkalasi ham istalgancha son uchun ishlaydi: uchta sonning EKUBi birinchi ikkitasining EKUBi bilan uchinchi sonning EKUBidir.

EKUB kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Vergul yoki boʻshliq bilan ajratib, ikkitadan oʻntagacha butun son kiriting.
“EKUBni topish” tugmasini bosing.
Har bir sonning tub koʻpaytuvchilari, umumiy tub sonlar va Evklid algoritmidagi boʻlishlarni koʻrib chiqing.

Formulalar

Evklid algoritmi

\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a

Tub koʻpaytuvchilarga ajratishdan

\gcd = \prod p^{\min(e_1, e_2, \ldots)}

Har bir umumiy tub sonni eng kichik darajasi bilan oling.

EKUK bilan bogʻliqlik

\gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = |ab|

Yechib koʻrsatilgan misol: 48, 180

Yechib koʻrsatilgan misolda 48 va 180 ning EKUBi topiladi. Tub koʻpaytuvchilarga ajratish $48 = 2^4 \times 3$ va $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ ni beradi. Evklid algoritmi 180 ni 48 ga boʻladi (qoldiq 36), soʻng 48 ni 36 ga (qoldiq 12), soʻng 36 ni 12 ga (qoldiq 0), demak, EKUB 12 ga teng. Umumiy tub sonlarni eng kichik darajalari bilan olish, $2^2 \times 3 = 12$ , buni tasdiqlaydi, tekshiruv esa 48 va 180 ni 12 ga boʻlganda 4 va 15 chiqishini koʻrsatadi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

12

Masalangizni qanday tushundik

Sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisini (EKUB) topish.

Bosqichma-bosqich yechim

Har bir sonni tub koʻpaytuvchilarga ajratish
$48 = 2^{4} \times 3,\quad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$
GCF(48, 180) uchun Evklid algoritmi
180 = 3 × 48 + 36; 48 = 1 × 36 + 12; 36 = 3 × 12 + 0
$180 = 3 \times 48 + 36 \\ 48 = 1 \times 36 + 12 \\ 36 = 3 \times 12 + 0$
Oxirgi noldan farqli qoldiq EKUB boʻladi
$\gcd(48, 180) = 12$
Umumiy tub koʻpaytuvchilar bilan tekshirish
Har bir sonda uchraydigan tub sonlarni eng kichik daraja koʻrsatkichi bilan olib, koʻpaytiring.
$2^{2} \times 3 = 12$

Qoʻllanilgan formulalar

Evklid algoritmi
$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a$

12 — har bir sonni qoldiqsiz boʻladigan eng katta butun son.

Tekshiruv

48 ÷ 12 = 4
180 ÷ 12 = 15

Batafsil tushuntirish

Evklid algoritmi nega ishlaydi

$a$ ni ham, $b$ ni ham boʻladigan har qanday son $a - b$ ni ham boʻladi, demak, $a$ ni $b$ ga boʻlgandagi qoldiqni ham boʻladi. Shuning uchun $(a, b)$ juftlik va $(b, a \bmod b)$ juftlikning umumiy boʻluvchilari aynan bir xil. Har bir qadamda sonlar kichrayadi, qoldiq 0 ga yetganda esa qolgan son oʻzini ham, 0 ni ham boʻladi, demak, u eng katta umumiy boʻluvchidir. Juda katta sonlar uchun ham bu usulga atigi bir necha boʻlish kifoya qiladi, shu sababli u kompyuter arifmetikasi va kriptografiyada qoʻllaniladi.

EKUB qayerda ishlatiladi

Surat va maxrajni ularning EKUBiga boʻlish kasrni bir qadamda qisqarmas holga keltiradi: $\frac{48}{180} = \frac{4}{15}$ . Algebrada avval koeffitsientlarning EKUBi qavsdan tashqariga chiqariladi, masalan, $12x + 18 = 6(2x + 3)$ . Matnli masalalarda u eng koʻpi bilan nechta teng guruh tuzish mumkinligi kabi savollarga javob beradi: 24 ta qalam, 36 ta oʻchirgich va 60 ta yopishqoq rasmni koʻpi bilan 12 ta bir xil toʻplamga joylash mumkin, chunki $\gcd(24, 36, 60) = 12$ .

Tub koʻpaytuvchilarga ajratish yoki Evklid algoritmi

Tub koʻpaytuvchilarga ajratish tuzilishni koʻrinadigan qiladi: sonlarda aynan qaysi tub sonlar umumiy ekani va javob nega aynan shunday ekani koʻrinib turadi, bu oʻrganish paytida yoki sizga EKUK ham kerak boʻlganda foydali. Uning zaif tomoni — katta sonlarni koʻpaytuvchilarga ajratish sekin. Evklid algoritmi hech narsani koʻpaytuvchilarga ajratmaydi; u faqat boʻladi va qoldiqlarni saqlaydi, shuning uchun oʻnlab xonali sonlar uchun ham tez ishlaydi. Kalkulyator ikkalasini ham koʻrsatadi, shunda biri ikkinchisini tasdiqlaydi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Faqat umumiy tub sonlarni emas, uchragan barcha tub sonlarni koʻpaytirib yuborish.
Umumiy tub sonning eng katta daraja koʻrsatkichini olish; EKUBda eng kichigi olinadi.
Sonlar oʻzaro tub boʻlsa, EKUB yoʻq deb xulosa qilish; bunda EKUB 1 ga teng.
Evklid algoritmini bir qadam oldin toʻxtatib, oxirgi noldan farqli qoldiq oʻrniga oxirgi boʻlinmani javob deb koʻrsatish.

Maslahatlar

Agar sonlardan biri qolgan hammasini boʻlsa, u EKUB boʻladi.
Ketma-ket keluvchi butun sonlarning EKUBi doim 1 ga teng.
Kasrni bir qadamda qisqartirish uchun surat va maxrajning EKUBidan foydalaning.
Javobni tekshirish uchun har bir sonni unga boʻling; boʻlinmalarning 1 dan boshqa umumiy boʻluvchisi boʻlmasligi kerak.
Uch yoki undan ortiq son uchun avval istalgan ikkitasining EKUBini toping, soʻng natijani keyingi son bilan birlashtiring.

Koʻp beriladigan savollar

Eng katta umumiy boʻluvchi nima?

Bu toʻplamdagi har bir sonni qoldiqsiz boʻladigan eng katta musbat butun son. 48 va 180 uchun u 12 ga teng.

Turli darsliklardagi EKUB nomlari bir xil narsami?

Ha. Eng katta umumiy boʻluvchi, eng katta umumiy koʻpaytuvchi va eng yuqori umumiy omil — bitta sonning uch xil nomi.

Evklid algoritmi qanday ishlaydi?

Katta sonni kichigiga boʻling va qoldiqni saqlang. Juftlikni (kichik son, qoldiq) bilan almashtiring va qoldiq 0 boʻlguncha takrorlang; oxirgi noldan farqli boʻluvchi EKUB boʻladi.

Umumiy boʻluvchisi boʻlmagan sonlarning EKUBi nimaga teng?

U 1 ga teng. Bunday sonlar oʻzaro tub sonlar deyiladi, masalan, 8 va 15.

Manfiy sonlarning EKUBini topish mumkinmi?

Ha. Boʻlinish ishoraga bogʻliq emas, shuning uchun EKUB modullar boʻyicha hisoblanadi va doim musbat boʻladi.

Son bilan 0 ning EKUBi nimaga teng?

Har bir butun son 0 ni boʻladi, shuning uchun $\gcd(a, 0) = |a|$ . 0 va 0 ning EKUBi aniqlanmagan.

Uchta sonning EKUBini qanday topaman?

Ulardan ikkitasining EKUBini, soʻng shu natija bilan uchinchi sonning EKUBini toping. 24, 36 va 60 uchun: $\gcd(24, 36) = 12$ va $\gcd(12, 60) = 12$ .

EKUB kasrlarni soddalashtirishga qanday yordam beradi?

Surat va maxrajni ularning EKUBiga boʻling, shunda kasr darhol qisqarmas holga keladi. $\gcd(48, 180) = 12$ boʻlgani uchun $\frac{48}{180} = \frac{4}{15}$ .

Eng katta umumiy boʻluvchini toping

Tub koʻpaytuvchilarga ajratish, Evklid algoritmi va boʻlinish tekshiruvi bilan EKUBni koʻrish uchun yuqoriga ikkitadan oʻntagacha butun son kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

EKUB kalkulyatori

EKUB kalkulyatori haqida

Eng katta umumiy boʻluvchi nima?

EKUB kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Formulalar

Evklid algoritmi

Tub koʻpaytuvchilarga ajratishdan

EKUK bilan bogʻliqlik

Yechib koʻrsatilgan misol: 48, 180

Yakuniy javob

Masalangizni qanday tushundik

Bosqichma-bosqich yechim

Qoʻllanilgan formulalar

Tekshiruv

Batafsil tushuntirish

Evklid algoritmi nega ishlaydi

EKUB qayerda ishlatiladi

Tub koʻpaytuvchilarga ajratish yoki Evklid algoritmi

Koʻp uchraydigan xatolar

Maslahatlar

Koʻp beriladigan savollar

Eng katta umumiy boʻluvchi nima?

Turli darsliklardagi EKUB nomlari bir xil narsami?

Evklid algoritmi qanday ishlaydi?

Umumiy boʻluvchisi boʻlmagan sonlarning EKUBi nimaga teng?

Manfiy sonlarning EKUBini topish mumkinmi?

Son bilan 0 ning EKUBi nimaga teng?

Uchta sonning EKUBini qanday topaman?

EKUB kasrlarni soddalashtirishga qanday yordam beradi?

Eng katta umumiy boʻluvchini toping

Boshqa matematik kalkulyatorlar