Matematikadan uy vazifasi va javoblaringizni qanday tekshirish mumkin

Nega tekshirish mashq qilishga arziydigan koʻnikma

Koʻp oʻquvchilar tekshirishni yechimini qayta oʻqish deb tushunadi, bu esa kamdan-kam narsani topadi: koʻz koʻrishni kutgan narsani koʻradi. Haqiqiy tekshirish xuddi shu javobga boshqa yoʻl bilan boradi, shunda birinchi yoʻldagi xato nomuvofiqlik sifatida namoyon boʻladi. Quyidagi usullarning har biri shunday yoʻlni taqdim etadi. Ularning koʻpchiligi bir daqiqadan kam vaqt oladi va birgalikda uy vazifasi va testlardagi xatolarning katta koʻpchiligini ushlab qoladi.

Tekshirish tushunishni ham mustahkamlaydi. Javobni tenglamaga qayta qoʻyish yechim aslida nima ekanini eslatadi. Integralni differensiallash ikki amal qanday bogʻlanganini eslatadi. Vaqt oʻtishi bilan muntazam tekshiradigan oʻquvchilarda javob notoʻgʻri koʻrinayotganini sezish qobiliyati rivojlanadi, bu matematikadagi eng qimmatli sezgilardan biri.

1. Javobni qayta qoʻying

Tenglamaning yechimi uni toʻgʻri tenglikka aylantiradigan qiymatdir, shuning uchun eng toʻgʻridan-toʻgʻri tekshirish — uni qoʻyib koʻrish. Yechimingizning keyingi qatorini emas, dastlabki tenglamani ishlating, aks holda dastlabki qadamdagi xato eʼtibordan chetda qoladi.

Ikkala tomonni kvadratga oshirgan yoki oʻzgaruvchi qatnashgan ifodaga koʻpaytirgan boʻlsangiz, qayta qoʻyish zarur, chunki bu qadamlar chet yechimlarni hosil qilishi mumkin. $\sqrt{x + 7} = x - 5$ ni kvadratga oshirib yechish $x^2 - 11x + 18 = 0$ ni beradi, demak, $x = 9$ yoki $x = 2$. Qayta qoʻyish $\sqrt{16} = 4 = 9 - 5$ ni koʻrsatadi, bu toʻgʻri, ammo $\sqrt{9} = 3$, holbuki $2 - 5 = -3$, shuning uchun $x = 2$ rad etilishi kerak.

2. Amalni teskarisiga bajaring

Koʻp amallarning ularni bekor qiladigan teskarisi bor va teskari amalni bajarish koʻpincha osonroq. Koʻpaytuvchilarga ajratish qavslarni ochish bilan, boʻlish koʻpaytirish bilan, integrallash esa differensiallash bilan tekshiriladi.

• Koʻpaytuvchilarga ajratish: agar $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$ deb yozgan boʻlsangiz, oʻng tomondagi qavslarni oching: $x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$.
• Boʻlish: agar $391 \div 17 = 23$ boʻlsa, $17 \times 23 = 391$ ekanini tekshiring.
• Integrallash: agar $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$ boʻlsa, $\sin(x^2)$ ni murakkab funksiya hosilasi qoidasi bilan differensiallash talab qilinganidek $2x\cos(x^2)$ ni beradi.
• Logarifmlar: agar $\log_2 32 = 5$ boʻlsa, $2^5 = 32$ ekanini tekshiring.
• Teskari funksiyalar: agar $f^{-1}$ toʻgʻri boʻlsa, bir nechta sinov qiymatlari uchun $f(f^{-1}(x)) = x$ boʻladi.

3. Oldin va keyin taxminiy baholang

Hisoblashdan oldin qilingan taxminiy baho moʻljal beradi. $49 \times 21$ ni $50 \times 20 = 1000$ gacha yaxlitlash aniq javob 1029 ishonarli ekanini, 10,290 yoki 129 esa aniq xato boʻlishini koʻrsatadi. Taxminiy baholash ayniqsa kalkulyatorlar bilan ishlaganda foydali, chunki notoʻgʻri terilgan raqam yoki notoʻgʻri qoʻyilgan oʻnli vergul butunlay notoʻgʻri kattalikdagi javob beradi.

Amaliy masalalarda javob vaziyat nuqtai nazaridan mantiqiymi, deb soʻrang. Inson boʻyi 25 metr boʻlishi mumkin emas, ehtimollik manfiy boʻlolmaydi, avtomobil esa soatiga oʻrtacha 900 km tezlikda yura olmaydi. Bunday hayotiylik tekshiruvlari bir necha soniya oladi va eng qimmatga tushadigan xatolarning baʼzilarini ushlab qoladi.

4. Javobning tuzilishidan foydalaning

Koʻp natijalarda masalani qayta yechmasdan tekshirish mumkin boʻlgan munosabatlar bor. Ildizlari $r_1$ va $r_2$ boʻlgan $ax^2 + bx + c = 0$ kvadrat tenglama uchun ildizlar yigʻindisi va koʻpaytmasi quyidagilarni qanoatlantirishi kerak

$x^2 - 5x + 6 = 0$ uchun 2 va 3 ildizlarining yigʻindisi 5 ga, koʻpaytmasi esa 6 ga teng, bu $-\frac{-5}{1}$ va $\frac{6}{1}$ ga mos keladi. Boshqa tuzilmaviy tekshiruvlarga simmetriya, ishoralar va daraja kiradi: 2-darajali va 3-darajali koʻphadlar koʻpaytmasi 5-darajali boʻlishi, ikki satri bir xil boʻlgan matritsaning determinanti nolga teng boʻlishi, ehtimollik taqsimoti esa yigʻindida 1 ni berishi kerak.

5. Maxsus yoki oddiy qiymatlarni sinab koʻring

Javobingiz son emas, balki ifoda yoki ayniyat boʻlsa, uni qulay qiymatlarda sinab koʻring. Agar ifodani soddalashtirgan boʻlsangiz, dastlabki va soddalashtirilgan koʻrinishlar har bir ruxsat etilgan qiymatda teng boʻlishi kerak. $x = 0$, $x = 1$ va $x = 2$ ni sinab koʻring; ulardan istalganida nomuvofiqlik xatoni isbotlaydi.

Hosilalarni kichik qadam bilan sonli tekshirish mumkin. $f(x) = x^3$ uchun hosila $3x^2$ ga teng, demak, $f'(2) = 12$. $\frac{2.001^3 - 1.999^3}{0.002} = 12.000001$ ayirmali nisbat juda yaqin chiqib, natijani tasdiqlaydi. Xuddi shu yondashuv limitlar va bir nechta toʻgʻri toʻrtburchak yordamida taxminiy hisoblangan integrallar uchun ham ishlaydi.

6. Birliklar va oʻlchamlarni tekshiring

Fan va amaliy matematikada birliklar tekin tekshiruvdir. Yuza kvadrat birliklarda, hajm kub birliklarda, tezlik esa vaqt birligidagi masofada chiqishi kerak. Agar yuza formulasi javobni kvadrat metrda emas, metrda bersa, qaysidir koʻpaytuvchi yetishmayapti. Hisoblashning har bir qatorida birliklarni yozib borish bunday xatolarni darhol koʻrinadigan qiladi.

7. Boshqa usul bilan yeching

Muhim masalalar uchun ikkinchi usul eng kuchli tekshiruvdir. Oʻrniga qoʻyish usuli bilan yechilgan tenglamalar sistemasini qoʻshish usuli bilan qayta yechish mumkin; koʻpaytuvchilarga ajratib yechilgan kvadrat tenglamani kvadrat tenglama ildizlari formulasi bilan tekshirish mumkin; integralni sonli baho bilan solishtirish mumkin. Ikki mustaqil usul bir xil natija bersa, javob katta ehtimol bilan toʻgʻri.

Grafik chizish vizual muqobil beradi. Tenglama yechimlari ikki tomon grafiklari kesishadigan nuqtalardir, koʻphad ildizlari esa uning x oʻqi bilan kesishish nuqtalaridir. Eskiz yoki grafik kalkulyatori yechimlar soni toʻgʻrimi va ular taxminan toʻgʻri joylardami, bir qarashda koʻrsatadi.

8. Bosqichma-bosqich yechuvchi bilan solishtiring

Ishni tugatgandan keyin uni tenglama yechuvchi, koʻpaytuvchilarga ajratish kalkulyatori yoki hosila kalkulyatori kabi bosqichma-bosqich vosita bilan solishtiring. Javoblar farq qilsa, vositaning javobini shunchaki koʻchirib olmang. Qadamlar ajralib ketadigan birinchi qatorni toping; aynan oʻsha qatorda xatoingiz bor va uni tushunish keyingi safar takrorlanishining oldini oladi. Eng keng tarqalgan xatolar roʻyxati uchun eʼtiborsizlik tufayli matematik xatolardan qanday qochish maqolasiga qarang.

Avval eng arzon tekshiruvdan foydalaning. Qayta qoʻyish va taxminiy baholash bir necha soniya, qayta yechish esa bir necha daqiqa oladi. Qimmat tekshiruvlarni muhim masalalar yoki tezkor tekshiruv muvaffaqiyatsiz boʻlgan holatlar uchun saqlang.

Vaqt cheklangan testlar uchun tekshirish tartibi

Imtihon sharoitida hammasini qayta yechishga kamdan-kam vaqt boʻladi, shuning uchun tekshirish tanlab qilinishi kerak. Ishlash davomida ishonchingiz komil boʻlmagan, uzun hisob-kitob qilgan yoki ikkala tomonni kvadratga oshirgan har bir savolni belgilab qoʻying. Oxiriga yetganda avval belgilangan savollarga qayting. Ularning har biri uchun bitta tezkor tekshiruv, odatda qayta qoʻyish yoki taxminiy baholashni bajaring va u muvaffaqiyatsiz boʻlmasa, davom eting. Qolgan vaqtni har bir savol matnini qayta oʻqishga sarflang, shunda aynan soʻralgan narsaga, talab qilingan koʻrinishda, birliklarda va yaxlitlashda javob berganingizga ishonch hosil qilasiz. Bu tartib tekshirishga sarflangan har bir daqiqada eng koʻp xatoni ushlab qoladi.

Koʻp beriladigan savollar