Koʻpaytuvchilarga ajratish kalkulyatori: koʻphadlarni bosqichma-bosqich ajratish

Koʻpaytuvchilarga ajratish kalkulyatori haqida

Koʻpaytuvchilarga ajratish koʻphadni soddaroq koʻphadlar koʻpaytmasi koʻrinishida qayta yozadi. Bu qavslarni ochishning teskarisi va algebradagi eng koʻp ishlatiladigan koʻnikmalardan biri: u kvadrat va kubik tenglamalarni yechadi, kasr-ratsional ifodalarni soddalashtiradi, grafikning nollarini topadi va integrallarni sodda kasrlarga yoyishga tayyorlaydi.

Bu kalkulyator $6x^2 + 11x - 10$ yoki $x^4 - 16$ kabi bir oʻzgaruvchili koʻphadlarni hamda $x^2 - 9y^2$ yoki $x^2 - 5xy + 6y^2$ kabi keng tarqalgan ikki oʻzgaruvchili shakllarni koʻpaytuvchilarga ajratadi. U doim avval eng katta umumiy koʻpaytuvchini chiqaradi, soʻng maxsus koʻrinishlarni qidiradi, yuqori darajalar uchun esa AC usuli yoki ratsional ildiz haqidagi teoremadan foydalanadi. Ratsional sonlar ustida boshqa ajralmaydigan qism tushuntirishsiz qoldirilmaydi, keltirilmaydigan deb koʻrsatiladi.

Koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish nimani anglatadi?

Koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish — uni har bir koʻpaytuvchisi pastroq darajali boʻlgan koʻpaytma shaklida yozish. Masalan, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Koʻpaytuvchilarni qayta koʻpaytirish dastlabki koʻphadni qaytaradi, bu har qanday ajratishni tekshirishning eng oson yoʻli.

Hech bir koʻpaytuvchini ratsional koeffitsientlar bilan yana ajratib boʻlmasa, ajratish toʻliq hisoblanadi. $x^2 - 2$ kvadrat uchhadi $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ ga teng boʻlsa ham, ratsional sonlar ustida keltirilmaydi, chunki $\sqrt2$ irratsional. Masala aniq haqiqiy yoki kompleks koʻpaytuvchilarni talab qilmasa, maktab kurslari va bu kalkulyator ratsional sonlar ustida ishlaydi.

Koʻpaytuvchilarga ajratish kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Koʻphadni darajalar uchun ^ belgisi bilan yozing, masalan, 6x^2 + 11x - 10 yoki x^3 - 8.
Uni istalgan tartibda yoki qavslar bilan, masalan, (x + 1)(x + 2) + 3x koʻrinishida kiritishingiz mumkin; kalkulyator avval uni yoyib, tartiblaydi.
“Ajratish” tugmasini bosing. Birinchi bosqich koʻphadni darajalari kamayib boradigan standart shaklda yozadi.
Usul bosqichlarini kuzating: umumiy koʻpaytuvchi, maxsus koʻrinish yoki AC usuli, kubik yoki toʻrtinchi darajali koʻphadlar uchun esa Gorner sxemasi bilan ratsional ildiz tekshiruvlari.
Oxirida toʻliq ajratishni oʻqing va tekshirmoqchi boʻlsangiz, uni soddalashtirish kalkulyatori yordamida qayta koʻpaytiring.

Formulalar

Kvadratlar ayirmasi

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Toʻla kvadrat uchhadlar

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Kublar yigʻindisi va ayirmasi

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

AC usuli

ax^2 + bx + c:\ \text{shunday } m, n \text{ topingki, } mn = ac,\ m + n = b

$bx$ ni $mx + nx$ ga ajrating va guruhlash usulini qoʻllang.

Ratsional ildiz haqidagi teorema

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

Nomzod ildizlar — ozod had boʻluvchilarining bosh koeffitsient boʻluvchilariga nisbatlari.

Yechib koʻrsatilgan misol: Uchhad 6x² + 11x − 10

Yechib koʻrsatilgan misolda $6x^2 + 11x - 10$ uchhadi olinadi; bu bosh koeffitsient 1 ga teng boʻlmagan klassik hol, shuning uchun oddiy tanlab koʻrish sekin kechadi. Hisoblagich $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ ni hisoblaydi va koʻpaytmasi $-60$ , yigʻindisi $11$ boʻlgan ikki butun sonni qidiradi.

Bu sonlar $15$ va $-4$ . Oʻrta hadni $15x - 4x$ koʻrinishida ajratish toʻrtta hadni juft-juft guruhlash imkonini beradi, har bir juftlikda umumiy ikkihad koʻpaytuvchi bor. Tasdiqlash uchun javobni qayta koʻpaytiring.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

(3x - 2)(2x + 5)

Masalangizni qanday tushundik

Koʻphadni ratsional sonlar ustida koʻpaytuvchilarga ajrating

6x^{2} + 11x - 10

Bosqichma-bosqich yechim

Koʻphadni standart shaklda yozing
$6x^{2} + 11x - 10$
AC usulidan foydalaning
a·c = 6·-10 = -60 ni koʻpaytiring. Koʻpaytmasi -60 va yigʻindisi b = 11 boʻlgan ikki sonni toping: 15 va -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Guruhlash usuli bilan koʻpaytuvchilarga ajrating
Dastlabki ikki hadni va oxirgi ikki hadni guruhlang, har bir guruhdan umumiy koʻpaytuvchini chiqaring, soʻng umumiy ikkihadni qavsdan tashqariga chiqaring. Ildizlar -5/2 va 2/3.
Toʻliq koʻpaytuvchilarga ajratishni yozing
$(3x - 2)(2x + 5)$

Qoʻllanilgan formulalar

Kvadratlar ayirmasi
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Toʻla kvadrat uchhad
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Kublar yigʻindisi va ayirmasi
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Ratsional ildiz haqidagi teorema
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ ildiz} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 ratsional sonlar ustida toʻliq (3x - 2)(2x + 5) koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajraladi.

Tekshiruv

(3x - 2)(2x + 5) ni yoyish yana 6x^2 + 11x - 10 ni beradi.

Batafsil tushuntirish

Usullar tartibi muhim

Ishonchli ajratish jarayoni doim eng katta umumiy koʻpaytuvchidan boshlanadi. $2x^2 - 18$ dan $2$ ni chiqarsak, $x^2 - 9$ qoladi va u kvadratlar ayirmasi sifatida tanib olinadi. Bu bosqichni oʻtkazib yuborish koʻrinishni yashiradi va hali ham 2 umumiy koʻpaytuvchisi boʻlgan $(2x - 6)(x + 3)$ kabi toʻliq boʻlmagan javobni qoldiradi.

Umumiy koʻpaytuvchidan keyin yaxshi jarayon shaklga qaraydi. Ikki had kvadratlar ayirmasi yoki kublar yigʻindisi yoxud ayirmasiga ishora qiladi; uch had toʻla kvadrat yoki AC usuliga; toʻrt had esa koʻpincha guruhlash bilan ajraladi. Uchinchi va undan yuqori darajalar uchun kalkulyator ratsional ildiz nomzodlarini tekshiradi va topgan har bir ildizga Gorner sxemasi bilan boʻladi; bu har safar darajani bittaga kamaytiradi va guruhlash beradigan natijani beradi, masalan, $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

AC usuli nega ishlaydi

Agar $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ boʻlsa, qavslarni ochish $pr = a$ , $qs = c$ va $ps + qr = b$ ni beradi. $ps$ va $qr$ sonlarining koʻpaytmasi $pq rs = ac$ , yigʻindisi esa $b$ . Demak, koʻpaytmasi $ac$ va yigʻindisi $b$ boʻlgan ikki sonni topish aynan oʻzaro koʻpaytmalarni topish demak, guruhlash esa ikkihadlarni tiklaydi.

Bunday butun sonlar jufti boʻlmasa, kvadrat uchhadning ratsional ildizlari yoʻq va u ratsional sonlar ustida keltirilmaydi. Buni $b^2 - 4ac$ diskriminant bilan tasdiqlash mumkin: ratsional koʻpaytuvchilar u toʻla kvadrat boʻlgandagina mavjud.

Yuqori darajali koʻphadlar

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ kabi kubik koʻphad uchun ratsional ildiz haqidagi teorema nomzodlarni $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ bilan cheklaydi. Tekshiruv $x = 1$ ildiz ekanini koʻrsatadi, Gorner sxemasi $x^2 - 5x + 6$ ni qoldiradi, bu kvadrat uchhad esa $(x - 2)(x - 3)$ ga ajraladi.

Ratsional ildizlari boʻlmagan toʻrtinchi darajali koʻphadlar ham ikki kvadrat uchhadga ajralishi mumkin, masalan, $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . Toʻrtinchi darajali koʻphadni keltirilmaydi deb eʼlon qilishdan oldin kalkulyator bu hol uchun butun koeffitsientli kvadrat uchhadlar juftlarini qidiradi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Avval eng katta umumiy koʻpaytuvchini chiqarishni unutish, natijada ajratish toʻliq boʻlmay qoladi.
$a^2 + b^2$ ni haqiqiy sonlar ustida ajraladi deb hisoblash. Kvadratlar yigʻindisi kompleks sonlarsiz koʻpaytuvchilarga ajralmaydi.
Kublardagi ishora xatolari: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ , kvadrat uchhadning oʻrta hadi oldida plyus ishorasi turadi.
Bitta bosqichdan keyin toʻxtash, masalan, $x^2 - 4$ yana ajralsa ham, $x^4 - 16$ ni $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ koʻrinishida qoldirish.
Manfiy bosh koeffitsientni chiqarishda $-1$ koʻpaytuvchini tushirib qoldirish.

Maslahatlar

Doim koʻpaytuvchilarni qayta koʻpaytirib tekshiring.
Usulni tanlashdan oldin koʻphadni darajalari kamayib boradigan tartibda yozing.
AC usulida $ac$ ning boʻluvchilar juftlarini eng kichigidan eng kattasigacha tartib bilan yozib chiqing.
Kvadrat uchhad ratsional sonlar ustida ajralishini tez aniqlash uchun diskriminantdan foydalaning.
Agar sizga koʻpaytuvchilar emas, ildizlar kerak boʻlsa, har bir koʻpaytuvchini nolga tenglang.

Koʻp beriladigan savollar

Har qanday koʻphadni ajratishda birinchi qadam nima?

Barcha hadlarning eng katta umumiy koʻpaytuvchisini, jumladan oʻzgaruvchining umumiy darajasini qavsdan chiqaring. Qolgan qismga boshqa har qanday usul yaxshiroq ishlaydi.

Bosh koeffitsient 1 ga teng boʻlmagan uchhadni qanday ajrataman?

AC usulidan foydalaning: a ni c ga koʻpaytiring, koʻpaytmasi shu songa va yigʻindisi b ga teng boʻlgan ikki sonni toping, oʻrta hadni shu ikki qismga ajrating va guruhlash usulini qoʻllang.

Keltirilmaydigan degani nima?

Koʻphadni ratsional koeffitsientli pastroq darajali koʻphadlar koʻpaytmasi koʻrinishida yozib boʻlmasa, u ratsional sonlar ustida keltirilmaydi. Masalan, x kvadrat plyus 1 va x kvadrat minus 2 ratsional sonlar ustida keltirilmaydi.

Kalkulyator kubik va toʻrtinchi darajali koʻphadlarni ajrata oladimi?

Ha. U ratsional ildizlarni ratsional ildiz haqidagi teorema bilan tekshiradi, ularga Gorner sxemasi bilan boʻladi, toʻrtinchi darajali koʻphadlar uchun esa butun koeffitsientli ikki kvadrat uchhadga ajralishni ham qidiradi.

U ikki oʻzgaruvchili ifodalarni ajratadimi?

U keng tarqalgan ikki oʻzgaruvchili shakllar bilan ishlaydi: umumiy birhad koʻpaytuvchi, x kvadrat minus 5xy plyus 6y kvadrat kabi bir jinsli koʻphadlar, kvadratlar ayirmasi va bitta oʻzgaruvchi boʻyicha guruhlash. Uch va undan ortiq oʻzgaruvchili ifodalar qoʻllab-quvvatlanmaydi.

Koʻpaytuvchilarga ajratish tenglama yechish bilan qanday bogʻliq?

Koʻpaytma nolga teng boʻlsa, koʻpaytuvchilaridan biri nolga teng boʻlishi shart. Shuning uchun nolga tenglangan koʻphadni ajratish bitta qiyin tenglamani bir nechta oson tenglamaga aylantiradi.

Nega javobim darslikdagidan boshqacha yozilgan?

Koʻpaytuvchilar istalgan tartibda kelishi mumkin, minus bir koʻpaytuvchisini esa bir qavsdan boshqasiga oʻtkazish mumkin. Ikkala variantni ham qayta koʻpaytiring; agar bir xil koʻphad chiqsa, ikkalasi ham toʻgʻri.

Koʻphadingizni hoziroq ajrating

Toʻliq koʻpaytuvchilarga ajratishni va har bir bosqich ortidagi mulohazani koʻrish uchun yuqoriga istalgan koʻphadni kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash