Kvadrat tenglamalarni yechish: koʻpaytuvchilarga ajratish, toʻla kvadrat ajratish va formula

Tenglamani kvadrat tenglamaga aylantiradigan narsa

Kvadrat tenglamani $a \neq 0$ boʻlganda $ax^2 + bx + c = 0$ koʻrinishida yozish mumkin. Nomaʼlumning eng yuqori darajasi 2, shuning uchun koʻpi bilan ikkita yechim boʻladi, ular ildizlar deyiladi. Biror usulni qoʻllashdan oldin barcha hadlarni bir tomonga oʻtkazing, toki ikkinchi tomon nolga teng boʻlsin. Bu ixtiyoriy emas: koʻpaytmaning nolga tenglik xossasi ham, kvadrat tenglama formulasi ham shunga tayanadi.

Masalan, $x^2 = 3x + 10$ tenglama $x^2 - 3x - 10 = 0$ ga aylanadi, demak, $a = 1$, $b = -3$ va $c = -10$. Ishni boshlashdan oldin uchta koeffitsiyentni ishoralari bilan yozib olish keyinchalik ishora xatolaridan qochishning eng oddiy yoʻlidir.

Grafikda ildizlar $y = ax^2 + bx + c$ parabolaning x oʻqi bilan kesishish nuqtalaridir. Parabola x oʻqini ikki marta kesib oʻtishi, unga uchi bilan bir marta urinishi yoki uni umuman kesmasligi mumkin, shuning uchun kvadrat tenglama ikkita, bitta haqiqiy ildizga ega boʻlishi yoki haqiqiy ildizga ega boʻlmasligi mumkin.

Tez holatlar: x li had yoki ozod had yoʻq

Ikkita maxsus koʻrinish umumiy usulni umuman talab qilmaydi.

• Agar $b = 0$ boʻlsa, $x^2$ ni yolgʻiz qoldiring va ikkala ishorani esda tutib kvadrat ildiz chiqaring: $x^2 = 49$ dan $x = \pm 7$, $4x^2 - 9 = 0$ dan esa $x^2 = \frac{9}{4}$, demak, $x = \pm\frac{3}{2}$.
• Agar $c = 0$ boʻlsa, $x$ ni qavsdan tashqariga chiqaring: $x^2 - 5x = 0$ tenglama $x(x - 5) = 0$ ga aylanadi, demak, $x = 0$ yoki $x = 5$.

$x^2 - 5x = 0$ ning ikkala tomonini hech qachon $x$ ga boʻlmang. Bunday qilsangiz, $x = 0$ ildizi yoʻqoladi, chunki $x = 0$ boʻlganda siz nolga boʻlgan boʻlasiz.

1-usul: koʻpaytuvchilarga ajratish

Agar kvadrat uchhad ikkita chiziqli koʻpaytuvchiga ajralsa, ishni koʻpaytmaning nolga tenglik xossasi tugatadi: agar $pq = 0$ boʻlsa, $p = 0$ yoki $q = 0$. $a = 1$ boʻlganda koʻpaytmasi $c$ ga, yigʻindisi $b$ ga teng ikkita son qidiring.

Bu yerda $-5$ va $2$ ning koʻpaytmasi $-10$, yigʻindisi esa $-3$. $a \neq 1$ boʻlganda AC usuli xuddi shu izlashni kengaytiradi.

Koʻpaytuvchilarga ajratish tez, lekin faqat ildizlar ratsional boʻlganda amaliy. Foydali tekshiruv: koeffitsiyentlar butun boʻlsa, kvadrat uchhad butun sonlar ustida aynan $b^2 - 4ac$ diskriminant toʻla kvadrat boʻlganda koʻpaytuvchilarga ajraladi. $6x^2 + x - 2$ uchun u $1 + 48 = 49 = 7^2$. Koʻproq mashq koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish qoʻllanmasida.

2-usul: toʻla kvadrat ajratish

Toʻla kvadrat ajratish chap tomonni toʻla kvadrat va oʻzgarmas son yigʻindisi koʻrinishida qayta yozadi. $x^2 + 6x - 7 = 0$ ni olaylik. Ozod hadni oʻtkazing, soʻng ikkala tomonga $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ ni qoʻshing:

Demak, $x = 1$ yoki $x = -7$. Xuddi shu qadamlar $y = (x + 3)^2 - 16$ uch koʻrinishini beradi, u parabolaning uchini $(-3, -16)$ nuqtaga joylashtiradi. $a \neq 1$ holini ham oʻz ichiga olgan toʻliq usul bizning toʻla kvadrat ajratish qoʻllanmamizda.

3-usul: kvadrat tenglama formulasi

Umumiy $ax^2 + bx + c = 0$ tenglamada toʻla kvadrat ajratish har qanday kvadrat tenglama uchun ishlaydigan formulani beradi:

Butun suratni $2a$ ga boʻling. $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ deb yozish bu mavzudagi eng keng tarqalgan xatolardan biridir.

Diskriminantni oʻqish

Kvadrat ildiz ostidagi $\Delta = b^2 - 4ac$ ifoda yechimni tugatmasingizdan oldin javob turini oldindan aytib beradi:

• $\Delta > 0$: ikkita turli haqiqiy ildiz; parabola x oʻqini ikki marta kesib oʻtadi.
• $\Delta = 0$: bitta karrali ildiz; parabolaning uchi x oʻqiga urinadi. Misol: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ ning yagona ildizi $x = 3$.
• $\Delta < 0$: haqiqiy ildizlar yoʻq, lekin ikkita qoʻshma kompleks ildiz bor. Misol: $x^2 + 2x + 5 = 0$ uchun $\Delta = 4 - 20 = -16$, demak, $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Matnli masala: otilgan jismning balandligi

Kvadrat tenglamalar oʻzgarmas tezlanish taʼsirida koʻtarilib, keyin tushadigan har qanday jarayonni modellashtiradi. Faraz qilaylik, toʻpning $t$ soniyadan keyingi metrlardagi balandligi $h = -5t^2 + 20t + 25$ ($g \approx 10\ \text{m/s}^2$ deb olinganda).

Masala mazmuniga mos kelmaydigan ildizni rad etish keyinroq qoʻshiladigan izoh emas, balki javobning bir qismidir.

Qaysi usuldan foydalanish kerak?

1. Agar $b = 0$ yoki $c = 0$ boʻlsa, yuqoridagi tez holatlardan foydalaning.
2. Agar koeffitsiyentlar kichik butun sonlar va diskriminant toʻla kvadrat boʻlsa, koʻpaytuvchilarga ajratib koʻring.
3. Uch yoki uch koʻrinishi ham kerak boʻlsa, toʻla kvadrat ajrating.
4. Qolgan barcha hollarda kvadrat tenglama formulasidan foydalaning; u hech qachon pand bermaydi.

Qaysi usulni tanlamang, ildizlarni Viyet formulalari bilan tekshiring: ularning yigʻindisi $-\frac{b}{a}$ ga, koʻpaytmasi esa $\frac{c}{a}$ ga teng boʻlishi kerak. $6x^2 + x - 2 = 0$ uchun $\frac{1}{2}$ va $-\frac{2}{3}$ ildizlarning yigʻindisi $-\frac{1}{6}$, koʻpaytmasi $-\frac{1}{3}$, bu aynan $-\frac{b}{a}$ va $\frac{c}{a}$.

Keng tarqalgan xatolar

• $x^2 = 3x + 10$ ni avval barcha hadlarni bir tomonga oʻtkazmasdan yechish.
• Faqat musbat kvadrat ildizni olish, natijada $x^2 = 49$ da $x = -7$ yoʻqoladi.
• Manfiy $b$ ni notoʻgʻri kvadratga koʻtarish: agar $b = -3$ boʻlsa, $b^2 = 9$, $-9$ emas. Oʻrniga qoʻyishda qavslardan foydalaning.
• Suratning faqat bir qismini $2a$ ga boʻlish.
• Har bir koʻpaytuvchidan notoʻgʻri ishorali ildiz olish: $(x - 5)(x + 2) = 0$ da ildizlar $5$ va $-2$, yaʼni qavs ichidagi sonlarga qarama-qarshi ishorali.

Yechimingizni kvadrat tenglama kalkulyatori bilan solishtiring va ildizlarni x oʻqi bilan kesishish nuqtalari sifatida koʻrish uchun parabolani grafik kalkulyatorida chizing.

Amalda usulni tanlash

Oʻquvchilar koʻpincha qaysi usul toʻgʻri ekanini soʻrashadi. Har bir toʻgʻri usul bir xil ildizlarni beradi, shuning uchun asl savol oldingizdagi tenglama uchun qaysi usul eng tez va eng kam xatoga olib keladi, degan savoldir. Tez qaror qabul qilish tartibi yaxshi ishlaydi. Birinchidan, yetishmayotgan hadni qidiring: ozod had boʻlmasa, $x$ ni qavsdan chiqaring; $x$ li had boʻlmasa, $x^2$ ni yolgʻiz qoldirib, kvadrat ildiz chiqaring. Ikkinchidan, taxminan oʻn besh soniya butun koʻpaytuvchilarni qidiring. Uchinchidan, hech narsa topilmasa, yana koʻpaytuvchi juftlarini sinab koʻrish oʻrniga toʻgʻridan-toʻgʻri kvadrat tenglama formulasiga oʻting.

Savolda uch ham soʻralganda, $x$ oldidagi koeffitsiyent juft va bosh koeffitsiyent 1 ga teng boʻlganda yoki sizga aynan shu usul buyurilganda toʻla kvadrat ajratish yaxshiroq tanlovdir. Grafik chizish ildizlarni taxminiy baholash va haqiqiy yechimlar sonini tekshirish uchun aʼlo, lekin grafikdan olingan qiymat taxminiy, shuning uchun ildizlar aniq butun sonlar boʻlmasa, uni yakuniy javob emas, tekshiruv deb hisoblang.

Vaqt cheklangan imtihonda avval diskriminantni hisoblang. Agar u toʻla kvadrat boʻlsa, tenglama butun yoki ratsional sonlar ustida koʻpaytuvchilarga ajraladi; agar manfiy boʻlsa, haqiqiy ildizlar yoʻqligini darhol bilasiz.

Ildizlarni tekshirish

Eng ishonchli tekshiruv oʻrniga qoʻyishdir: har bir ildizni dastlabki tenglamaga qoʻying va chap tomon nolga teng ekanini tasdiqlang. Irratsional ildizlar uchun buni qoʻlda bajarish zerikarli, shuning uchun uning oʻrniga ildizlarning yigʻindisi va koʻpaytmasidan foydalaning. $2x^2 + 4x - 3 = 0$ uchun $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ ildizlarning yigʻindisi $-2$, bu $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$ ga teng, koʻpaytmasi esa $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$, bu $\frac{c}{a}$ ga teng. Ikkalasi ham mos keladi, demak, ildizlar toʻgʻri.

Javobning masala mazmuniga mos kelishini ham tekshiring. Otilgan jism misolida tenglamaning bir ildizi manfiy edi, otilishdan oldingi manfiy vaqt esa fizik maʼnoga ega emas, shuning uchun savolga faqat musbat ildiz javob beradi. Uzunliklar, narxlar va sanoqlar haqidagi matnli masalalarda ham koʻpincha shu sababli bitta ildiz tashlab yuboriladi va buning sababini bir gap bilan yozib qoʻyish foydali.

Har bir qadamni diskriminant, aniq ildizlar va uchni koʻrsatadigan kvadrat tenglama kalkulyatori bilan solishtirishingiz mumkin.

Koʻp beriladigan savollar