Toʻla kvadrat ajratish kalkulyatori: parabola uchi orqali shakl bosqichma-bosqich

Toʻla kvadrat ajratish kalkulyatori haqida

Toʻla kvadrat ajratish $2x^2 - 8x + 3$ kabi kvadrat uchhadni $2(x - 2)^2 - 5$ koʻrinishiga keltiradi. Ikkinchi shakl ancha koʻp maʼlumot beradi: bir qarashda parabolaning eng past nuqtasi $(2, -5)$ da ekani, tarmoqlari yuqoriga yoʻnalgani va qanchalik choʻzilgani koʻrinadi. Kvadrat tenglama ildizlari formulasi ham aynan shu almashtirish bilan keltirib chiqariladi, aylana va ellips tenglamalari ham shu yoʻl bilan standart shaklga keltiriladi.

Bu kalkulyator istalgan bosh koeffitsient bilan, jumladan $0.5x^2 + 3x - 1$ kabi kasr va oʻnli koeffitsientlar bilan ishlaydi. Unga ifoda bersangiz, uch orqali yozilgan shakl va parabola uchini qaytaradi; $= 0$ yoki boshqa qiymat bilan tugaydigan tenglama bersangiz, aniq yechimlargacha davom etadi yoki parabola oʻqni kesib oʻtmasa, nega haqiqiy yechimlar yoʻqligini tushuntiradi.

Toʻla kvadrat ajratish nima?

Toʻla kvadrat uchhad — ikkihadning kvadratiga teng uchhad, masalan, $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Uning ozod hadi doim $x$ oldidagi koeffitsient yarmining kvadratiga teng. Toʻla kvadrat ajratish aynan shu sonni qoʻshib-ayirib, ifodaning bir qismini toʻla kvadratga aylantirishni bildiradi.

Natija — parabola uchi orqali yozilgan shakl $a(x - h)^2 + k$ . Kvadrat hech qachon manfiy boʻlmagani uchun ifodaning eng kichik ( $a > 0$ da) yoki eng katta ( $a < 0$ da) qiymati $k$ ga teng va u $x = h$ da erishiladi.

Toʻla kvadrat ajratish kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

2x^2 - 8x + 3 kabi kvadrat ifodani yoki x^2 - 4x - 1 = 0 kabi tenglamani yozing.
Koeffitsientlar butun son, oddiy kasr yoki oʻnli kasr boʻlishi mumkin.
“Toʻla kvadrat ajratish” tugmasini bosing. Kalkulyator a, b va c ni aniqlaydi, x qatnashgan hadlardan a ni qavsdan tashqariga chiqaradi va chiziqli had koeffitsienti yarmining kvadratini qoʻshib-ayiradi.
Uch orqali yozilgan shakl va parabola uchini oʻqing. Tenglama boʻlsa, kvadrat ildiz chiqarish bosqichi orqali aniq yechimlargacha davom eting.

Formulalar

Toʻla kvadrat

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

Uch orqali yozilgan umumiy shakl

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Parabola uchi

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Yechib koʻrsatilgan misol: 2x² − 8x + 3

Misolda $2x^2 - 8x + 3$ dan toʻla kvadrat ajratiladi. $a = 2$ boʻlgani uchun hisoblagich avval $x$ qatnashgan hadlardan 2 ni qavsdan tashqariga chiqaradi: $2(x^2 - 4x) + 3$ . $-4$ ning yarmi $-2$ , uning kvadrati esa 4.

Qavs ichida 4 ni qoʻshib-ayirsak, $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ hosil boʻladi, demak, uch orqali yozilgan shakl $2(x - 2)^2 - 5$ , parabola uchi esa $(2, -5)$ .

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

2(x - 2)^{2} - 5

Masalangizni qanday tushundik

Toʻla kvadrat ajratib, kvadrat uchhadni parabola uchi orqali yoziladigan shaklga keltiring.

Bosqichma-bosqich yechim

a, b va c ni aniqlang
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
x qatnashgan hadlardan a = 2 ni qavsdan tashqariga chiqaring
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
Chiziqli had koeffitsientining yarmini olib, uni kvadratga koʻtaring
-4 ning yarmi -2; uning kvadrati 4.
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
Shu kvadratni qavs ichida qoʻshing va ayiring
4 ni qoʻshish toʻla kvadrat uchhadni hosil qiladi; uni ayirish qiymatni oʻzgartirmaydi (ayirilgan qism qavsdan chiqayotganda a = 2 ga koʻpaytiriladi).
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
Toʻla kvadratni yozing va ozod hadlarni ixchamlang
$2(x - 2)^{2} - 5$
Parabola uchini oʻqing
a(x − h)² + k da parabola uchi (h, k) = (2, -5); simmetriya oʻqi x = 2. a > 0 boʻlgani uchun parabola tarmoqlari yuqoriga yoʻnalgan va k eng kichik qiymat.

Qoʻllanilgan formulalar

Toʻla kvadrat ajratish
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
Parabola uchi
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Uch orqali yozilgan shakl: 2(x - 2)^2 - 5. Parabola uchi (2, -5).

Tekshiruv

2(x - 2)^2 - 5 ni yoyish yana 2x^2 - 8x + 3 ni beradi.

Batafsil tushuntirish

Nega koeffitsient yarmining kvadrati?

$(x + p)^2$ ni ochsak, $x^2 + 2px + p^2$ hosil boʻladi. $x^2 + bx$ bilan solishtirsak, oʻrta hadlar $2p = b$ da mos keladi, demak, $p = b/2$ va yetishmayotgan ozod had $p^2 = (b/2)^2$ . Geometrik nuqtai nazardan $x^2 + bx$ — tomoni $x$ boʻlgan kvadrat va oʻlchami $x \times b/2$ boʻlgan ikkita toʻgʻri toʻrtburchak; yuzi $(b/2)^2$ boʻlgan kichik burchak kvadrati katta kvadratni toʻldiradi.

Bosh koeffitsient 1 ga teng boʻlmaganda

$a$ ni faqat $x^2$ va $x$ li hadlardan qavsdan tashqariga chiqaring, ozod hadni tashqarida qoldiring. Qavs ichida toʻla kvadrat ajrating, soʻng ayirilgan kvadratni tashqariga chiqarayotganda $a$ ga koʻpaytiring. Shu koʻpaytirishni unutish — eng koʻp uchraydigan xato: misolda qavs ichidagi $-4$ tashqarida $-8$ ga aylanadi.

Agar $a$ manfiy boʻlsa, parabola tarmoqlari pastga yoʻnalgan va uchi eng katta qiymat boʻladi. Kalkulyator manfiy koeffitsientni ham xuddi shunday qavsdan chiqaradi, shuning uchun qavs ichidagi ishoralar teskarisiga oʻzgaradi.

Tenglamalarni toʻla kvadrat ajratib yechish

$x^2 - 4x - 1 = 0$ uchun toʻla kvadrat ajratish $(x - 2)^2 = 5$ ni beradi. Ikkala tomondan ikkala ishora bilan kvadrat ildiz chiqarsak, $x - 2 = \pm\sqrt5$ , demak, $x = 2 \pm \sqrt5$ . Xuddi shu bosqichlarni sonlar oʻrniga harflar bilan bajarish kvadrat tenglama ildizlari formulasini beradi.

Oʻng tomon manfiy boʻlsa, masalan, $x^2 + 6x + 13 = 0$ dan hosil boʻlgan $(x + 3)^2 = -4$ da, haqiqiy yechim yoʻq. Kalkulyator buni xabar qiladi va $\sqrt{-4} = 2i$ ga ruxsat berilganda hosil boʻladigan $-3 \pm 2i$ kompleks juftlikni ham koʻrsatadi.

Grafikni uch orqali yozilgan shakldan oʻqish

Uch orqali yozilgan shakl parabolani $y = x^2$ ning almashtirishi sifatida tavsiflaydi. $h$ qiymati grafikni oʻngga ( $h$ manfiy boʻlsa, chapga) suradi, $k$ uni yuqoriga yoki pastga suradi, $a$ esa uni vertikal choʻzadi va manfiy boʻlsa, agʻdaradi. Simmetriya oʻqi — $x = h$ vertikal toʻgʻri chiziq, shuning uchun $h$ ning ikki tomonida teng masofadagi nuqtalarning balandligi bir xil.

Bu grafikni tez chizish imkonini beradi. $2(x - 2)^2 - 5$ uchun $(2, -5)$ uchni belgilang, soʻng ikki tomonga bir birlikdan qadam tashlang: balandlik $a \cdot 1^2 = 2$ ga oshadi va $(1, -3)$ hamda $(3, -3)$ nuqtalar hosil boʻladi. Qiymatlar sohasi darhol $y \ge -5$ deb topiladi — shuning uchun aniqlanish va qiymatlar sohasi haqidagi savollarda uch orqali yozilgan shakl tabiiy boshlangʻich nuqta.

Koʻp uchraydigan xatolar

$(b/2)^2$ ni qoʻshib, uni qayta ayirmaslik — bu ifodani oʻzgartiradi.
$b/2$ oʻrniga $b$ ni kvadratga koʻtarish.
$a \ne 1$ boʻlganda ayirilgan kvadratni $a$ ga koʻpaytirishni unutish.
Tenglamani yechishda faqat musbat kvadrat ildizni olish.
$a(x + 3)^2 + k$ ning uchini $x = 3$ deb oʻqish; uch $x = -3$ da joylashgan.

Maslahatlar

$x - h$ ni ochiq yozing: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , demak, $h = -3$ .
Uch orqali yozilgan shaklni qavslarni ochib, standart shaklga qaytarish orqali tekshiring.
$b$ toq boʻlsa, oʻnli kasrlar oʻrniga oddiy kasrlardan foydalaning; 5 ning yarmi $\tfrac52$ .
Tez tekshirish uchun topilgan uchni $h = -b/(2a)$ bilan solishtiring.

Koʻp beriladigan savollar

Parabola uchi orqali yozilgan shakl nima?

Kvadrat uchhadning a koʻpaytirilgan (x minus h) ning kvadrati plyus k koʻrinishidagi yozuvi. (h, k) nuqta parabolaning uchi, a esa uning yoʻnalishi va kengligini belgilaydi.

a soni 1 ga teng boʻlmaganda toʻla kvadratni qanday ajrataman?

x kvadrat va x li hadlardan a ni qavsdan tashqariga chiqaring, qavs ichida toʻla kvadrat ajrating, soʻng ayirilgan ozod hadni tashqariga chiqarayotganda a ga koʻpaytiring.

Toʻla kvadrat ajratish kvadrat tenglama ildizlari formulasidan yaxshiroqmi?

Ikkalasi ham bir xil ildizlarni beradi. Toʻla kvadrat ajratish qoʻshimcha ravishda grafik chizish uchun foydali boʻlgan uch orqali yozilgan shaklni ham beradi va formulaning oʻzi aynan shu usul bilan keltirib chiqariladi.

x oldidagi koeffitsient toq boʻlsa-chi?

Oddiy kasrlar bilan ishlang. x kvadrat plyus 5x uchun 25/4 ni qoʻshib-ayiring va (x plyus 5/2) ning kvadrati minus 25/4 ni oling.

Toʻla kvadrat ajratish kompleks yechimlarni bera oladimi?

Ha. Agar kvadrat manfiy songa teng chiqsa, haqiqiy yechimlar yoʻq. Kalkulyator buni aytadi va a plyus-minus bi koʻrinishidagi qoʻshma kompleks juftlikni ham koʻrsatadi.

Aylanalar uchun toʻla kvadrat ajratish qanday qoʻllaniladi?

x va y boʻyicha alohida toʻla kvadrat ajratish x kvadrat plyus y kvadrat minus 4x plyus 6y teng 3 kabi tenglamani aylananing standart tenglamasiga keltiradi va uning markazi hamda radiusini koʻrsatadi.

Uch orqali yozilgan shaklni toping

Toʻla kvadrat ajratish, parabola uchi va yechimlarni bosqichma-bosqich koʻrish uchun kvadrat uchhadingizni yuqoriga kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

Toʻla kvadrat ajratish kalkulyatori