Aniqlanish va qiymatlar sohasi kalkulyatori

Aniqlanish va qiymatlar sohasi kalkulyatori haqida

Funksiya grafigini chizish, teskarisini topish yoki u qatnashgan tenglamani yechishdan oldin u qaysi kirishlarni qabul qilishi va qaysi chiqishlarni berishi mumkinligini bilish kerak. Bu ikki toʻplam aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasidir. Aniqlanish sohasini topish asosan taqiqlangan amallarni aniqlashdan iborat; qiymatlar sohasini topish qiyinroq, chunki grafik aslida qaysi balandliklarga yetishi soʻraladi.

Bu kalkulyator ikkalasini ham koʻphadlar, kasr-ratsional funksiyalar, ildizlar, logarifmlar, koʻrsatkichli funksiyalar, modullar va asosiy trigonometrik funksiyalar uchun topadi. U har bir cheklovni sanab, yechadi, soʻng qiymatlar sohasini yigʻish uchun funksiyani aniqlanish sohasining har bir qismida oʻrganadi. Javoblar oraliqlar koʻrinishida, iloji boricha aniq chegaralar bilan beriladi.

Aniqlanish va qiymatlar sohasi nima?

Funksiyaning aniqlanish sohasi — formula haqiqiy son beradigan barcha $x$ kirishlar toʻplami. Qiymatlar sohasi — $x$ aniqlanish sohasini bosib oʻtganda hosil boʻladigan barcha $f(x)$ chiqishlar toʻplami. Grafikda aniqlanish sohasi egri chiziqning $x$ oʻqiga tushirgan soyasi, qiymatlar sohasi esa uning $y$ oʻqidagi soyasi.

Haqiqiy qiymatli formulalarni uchta amal cheklaydi: nol maxrajni taqiqlovchi boʻlish; ildiz ostidagi ifoda manfiy boʻlmasligini talab qiluvchi juft darajali ildizlar; argument musbat boʻlishini talab qiluvchi logarifmlar. Bu amallarsiz qurilgan funksiyaning, masalan, istalgan koʻphadning aniqlanish sohasiga barcha haqiqiy sonlar kiradi.

Aniqlanish va qiymatlar sohasi kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Funksiyani $x$ orqali kiriting, masalan, (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) yoki log(x + 2).
“Aniqlanish va qiymatlar sohasini topish” tugmasini bosing.
Cheklovlar roʻyxatini va har biri qanday yechilishini oʻqing.
Funksiyani aniqlanish sohasining har bir oraligʻida tekshiruvchi qiymatlar sohasi qadamlarini kuzating.
Aniqlanish va qiymatlar sohasini oraliqlar koʻrinishida koʻchirib oling.

Formulalar

Maxraj

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Juft darajali ildiz

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Logarifm

\ln u(x):\; u(x) > 0

Parabola uchi

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Yechib koʻrsatilgan misol: (x + 1)/(x − 2)

Misolda $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ tahlil qilinadi. Yagona cheklov — maxraj nolga teng boʻlmasligi, shuning uchun $x = 2$ aniqlanish sohasidan chiqariladi.

Qiymatlar sohasi uchun dastur uzilishning har ikki tomonini alohida tekshiradi. Ikkala qismda ham funksiya gorizontal asimptota $y = 1$ ga yaqinlashadi, lekin hech qachon unga teng boʻlmaydi, shuning uchun qiymatlar sohasida faqat 1 qiymati yetishmaydi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

Masalangizni qanday tushundik

f(x) = (x + 1) / (x - 2) aniqlangan barcha haqiqiy x larni (aniqlanish sohasi) va u qabul qiladigan barcha qiymatlarni (qiymatlar sohasi) toping.

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Bosqichma-bosqich yechim

Funksiyani yozing
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Cheklovlarni sanab chiqing
(x - 2) maxraj 0 ga teng boʻlishi mumkin emas.
(x - 2) ≠ 0 ni yeching
Ifoda faqat 2 da ishorasini oʻzgartirishi mumkin. Har bir oraliqda bittadan qiymatni tekshirish (-∞, 2) ∪ (2, ∞) yechimlar toʻplamini beradi.
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
(-∞, 2) dagi qiymatlar sohasi
x → -∞, f → 1 boʻlganda; x → 2⁻, f → -∞ boʻlganda. Bu oraliq ichida burilish nuqtalari yoʻq, shuning uchun u yerda f monoton yoki oʻzgarmas. Funksiya bu oraliqda uzluksiz, shuning uchun u eng kichik (-∞, erishilmaydi) va eng katta (1, erishilmaydi) qiymatlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
(2, ∞) dagi qiymatlar sohasi
x → 2⁺, f → ∞ boʻlganda; x → ∞, f → 1 boʻlganda. Bu oraliq ichida burilish nuqtalari yoʻq, shuning uchun u yerda f monoton yoki oʻzgarmas. Funksiya bu oraliqda uzluksiz, shuning uchun u eng kichik (1, erishilmaydi) va eng katta (∞, erishilmaydi) qiymatlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Qismlarni birlashtiring
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Qoʻllanilgan formulalar

Cheklovlar
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

Aniqlanish sohasi formuladagi har bir cheklovni yechib, yechimlar toʻplamlarini kesishtirish orqali topiladi. Qiymatlar sohasi uzluksizlikdan kelib chiqadi: aniqlanish sohasining har bir oraligʻida funksiya oʻzining eng katta va eng kichik qiymatlari hamda oraliq uchlaridagi limitlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.

Tekshiruv

Aniqlanish sohasi taxminan 4,000 ta tanlangan nuqtada tekshirildi: f aynan aniqlanish sohasi koʻrsatgan joylarda haqiqiy va chekli ✓
f ning barcha tanlangan qiymatlari hisoblangan qiymatlar sohasi ichida yotadi ✓

Batafsil tushuntirish

Aniqlanish sohasini topish

Barcha haqiqiy sonlardan boshlang va taqiqlanganlarini olib tashlang. Har bir maxrajni nolga teng emas, kvadrat ildiz ostidagi har bir ifodani noldan katta yoki teng, har bir logarifm argumentini esa noldan katta deb oling, soʻng natijalarni kesishtiring. $\sqrt{4 - x^2}$ uchun $4 - x^2 \geq 0$ sharti $[-2, 2]$ ni beradi. $\frac{1}{x^2 - 4}$ uchun ikkita nuqta chiqariladi, shuning uchun aniqlanish sohasi uchta oraliqqa boʻlinadi.

Avval soddalashtirmang. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ifoda $x + 1$ ga qisqaradi, lekin dastlabki funksiyada $x = 1$ baribir chiqarilgan va kalkulyator aniqlanish sohasini shu uzilish bilan koʻrsatadi.

Qiymatlar sohasini topish

Qiymatlar sohasi grafikning shakliga bogʻliq. Parabolaning ekstremal qiymati uning uchida: $x^2 - 4x + 1$ uchun parabola uchi $x = 2$ da, qiymati $-3$ , shuning uchun qiymatlar sohasi $[-3, \infty)$ . Kvadrat ildiz noldan boshlanib oʻsadi, shuning uchun $\sqrt{x - 3}$ ning qiymatlar sohasi $[0, \infty)$ . Logarifm barcha haqiqiy qiymatlarni, $e^x$ esa barcha musbat qiymatlarni qabul qiladi.

Kasr-ratsional funksiyalar uchun kalkulyator qismma-qism ishlaydi: funksiya qayerda oʻsishi yoki kamayishini va har bir oraliq uchlarida nimaga yaqinlashishini topadi. Shu yoʻl bilan u $\frac{1}{x^2}$ ning qiymatlar sohasi $(0, \infty)$ ekanini va $\frac{x}{x^2 + 1}$ ning $-\frac12$ va $\frac12$ orasida qolishini aniqlaydi. $\tan x$ dagi kabi qiymatlar sohasini ishonchli aniqlab boʻlmasa, kalkulyator taxmin qilish oʻrniga u hisoblanmaganini aytadi.

Oraliqlar yozuvini oʻqish

Kvadrat qavs chegarani oʻz ichiga oladi, oddiy qavs esa uni chiqarib tashlaydi; cheksizlik har doim oddiy qavs bilan yoziladi. $\cup$ belgisi alohida qismlarni birlashtiradi, shuning uchun $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ 2 dan tashqari barcha haqiqiy sonlarni bildiradi. Natijalarni shunday yozish ularni grafik bilan solishtirishni osonlashtiradi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Kasr-ratsional funksiyani aniqlanish sohasini topishdan oldin soddalashtirib, teshik nuqtani yoʻqotish.
Kvadrat ildiz uchun $> 0$ (nolga ruxsat bor) yoki logarifm uchun $\geq 0$ (nolga ruxsat yoʻq) dan foydalanish.
Aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar boʻlgani uchun qiymatlar sohasi ham shunday deb faraz qilish.
Gorizontal asimptota qiymatlar sohasidan biror qiymatni chiqarib tashlashi mumkinligini unutish.
Cheksizlik yonida kvadrat qavs ishlatish.

Maslahatlar

Biror narsani yechishdan oldin har bir maxrajni, ildiz ostidagi ifodani va logarifm argumentini yozib chiqing.
Qiymatlar sohasini koʻz bilan tasdiqlash uchun funksiyani grafik chizish kalkulyatorida chizing.
Kvadrat funksiya uchun parabola uchini toping; qiymatlar sohasi uning $y$ qiymatidan boshlanadi yoki tugaydi.
$f$ ning qiymatlar sohasi uning teskari funksiyasining aniqlanish sohasiga aylanishini yodda tuting.
Chegara nuqtani funksiyaga qoʻyib tekshiring.

Koʻp beriladigan savollar

Funksiyaning aniqlanish sohasi qanday topiladi?

Barcha haqiqiy sonlardan boshlang va maxrajni nolga aylantiradigan, juft darajali ildiz ostida manfiy son hosil qiladigan yoki logarifm argumentini musbat boʻlmagan songa aylantiradigan qiymatlarni olib tashlang. Qolgani aniqlanish sohasidir.

Funksiyaning qiymatlar sohasi qanday topiladi?

Parabola uchi, asimptotalar, oʻsish va kamayish oraliqlari hamda aniqlanish sohasining har bir qismi chetlaridagi xatti-harakatdan foydalanib, funksiya aslida qaysi chiqish qiymatlariga yetishini aniqlang.

Koʻphadning aniqlanish sohasi qanday?

Barcha haqiqiy sonlar, (−∞, ∞) deb yoziladi, chunki koʻphadlarda x ga boʻlish, ildizlar yoki logarifmlar yoʻq.

Nega (x + 1)/(x − 2) ning qiymatlar sohasida 1 yoʻq?

Grafikning y = 1 da gorizontal asimptotasi bor. (x + 1)/(x − 2) = 1 tenglamani yechish 1 = −2 ga olib keladi, bu esa mumkin emas, shuning uchun funksiya hech qachon 1 qiymatni qabul qilmaydi.

Oraliqlar yozuvidagi qavslar nimani bildiradi?

Kvadrat qavs chegara kirishini, oddiy qavs esa kirmasligini bildiradi. Cheksizlik hech qachon kirmaydi, shuning uchun u har doim oddiy qavs bilan yoziladi.

Kalkulyator trigonometrik funksiyalar bilan ishlaydimi?

Asosiy hollar uchun ha. U sin x ning qiymatlar sohasi [−1, 1] ekanini va tan x dan π/2 ga π ning karralilari qoʻshilgan nuqtalar chiqarilishini aniqlaydi, qiymatlar sohasi hisoblanmagan holda esa buni aytadi.

Kalkulyatorda log nimani bildiradi?

log(x) — natural logarifm, shuning uchun log(x + 2) x > −2 da aniqlangan va barcha haqiqiy qiymatlarni qabul qiladi.

Aniqlanish va qiymatlar sohasini toping

Ikkala toʻplamni oraliqlar koʻrinishida, har bir cheklov tushuntirilgan holda olish uchun yuqoriga funksiyani kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash