Teskari funksiya kalkulyatori

Teskari funksiya kalkulyatori haqida

Teskari funksiya qoidani orqaga qaytaradi. Agar $f$ Selsiy gradusini Farengeytga oʻtkazsa, uning teskarisi Farengeytni qaytadan Selsiyga oʻtkazadi; agar $f$ sonni ikki marta oshirib, uchni qoʻshsa, teskarisi uchni ayirib, ikkiga boʻladi. Teskari funksiyani qoʻlda topish kirish va chiqish rollarini almashtirib, tenglama yechishni anglatadi: toʻgʻri chiziqlar uchun bu oddiy ish, kasrlar, ildizlar va koʻrsatkichli funksiyalarda esa tezda chalkashib ketadi.

Bu kalkulyator chiziqli, kasr-ratsional, darajali, ildizli, koʻrsatkichli, logarifmik va asosiy trigonometrik funksiyalar uchun $f^{-1}(x)$ ni topadi. U almashtirish va yechish qadamlarini koʻrsatadi, teskari funksiyaning aniqlanish sohasini beradi, $f$ oʻzaro bir qiymatli boʻlmaganda esa standart tarmoqni tanlab, buni aytib oʻtadi. Har bir javob tanlangan nuqtalarda $f$ ni $f^{-1}$ bilan kompozitsiya qilish orqali sonli tekshiriladi.

Teskari funksiya nima?

$f$ funksiyaning teskarisi — $f$ ning aniqlanish sohasidagi har bir $x$ uchun $f^{-1}(f(x)) = x$ va $f$ ning qiymatlar sohasidagi har bir $y$ uchun $f(f^{-1}(y)) = y$ shartlarini qanoatlantiruvchi $f^{-1}$ funksiya. $f^{-1}$ yozuvi teskari sonni, yaʼni $\frac{1}{f}$ ni emas, teskari funksiyani bildiradi.

Faqat oʻzaro bir qiymatli funksiyalarning teskarisi bor, chunki har bir chiqish aynan bitta kirishdan kelishi kerak. Grafikda bu gorizontal toʻgʻri chiziq testi: hech bir gorizontal toʻgʻri chiziq egri chiziqni ikki marta kesmasligi kerak. $f^{-1}$ ning grafigi $f$ grafigining $y = x$ toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik aksi boʻlib, aniqlanish sohasi bilan qiymatlar sohasi oʻrin almashadi.

Teskari funksiya kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Funksiyani $x$ orqali kiriting, masalan, (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 yoki e^x.
“Teskari funksiyani topish” tugmasini bosing.
Qadamlarni oʻqing: f(x) ni y bilan almashtiring, x va y ning oʻrnini almashtiring va y ga nisbatan yeching.
f⁻¹ ning aniqlanish sohasiga va kalkulyator qoʻllagan tarmoq cheklovlariga eʼtibor bering.
f va f⁻¹ bir-birini bekor qilishini tekshiruv qatorlari yordamida tasdiqlang.

Formulalar

Aniqlovchi xossa

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Almashtirish va yechish

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Aniqlanish va qiymatlar sohalarining almashinuvi

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Kasr-chiziqli (Myobius) funksiyaning teskarisi

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Yechib koʻrsatilgan misol: (2x + 3)/(x − 1)

Misolda $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ funksiyaning teskarisi topiladi. Oʻrin almashtirilgandan soʻng $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ tenglama kasrdan qutqariladi, $y$ qatnashgan barcha hadlar bir tomonga yigʻiladi va $y$ qavsdan tashqariga chiqariladi.

Natija: $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Uning aniqlanish sohasiga 2 kirmaydi, chunki $f$ hech qachon 2 qiymatni qabul qilmaydi: $x$ oʻsgan sari $f(x)$ gorizontal asimptota $y = 2$ ga yaqinlashadi, lekin unga yetmaydi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

Masalangizni qanday tushundik

f(x) = (2 x + 3) / (x - 1) ni teskarisiga aylantiradigan f⁻¹ funksiyani toping.

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Bosqichma-bosqich yechim

f(x) ni y bilan almashtiring
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
Ikkala tomonni maxrajga koʻpaytiring
$y(1x+-1) = 2x+3$
x qatnashgan hadlarni bir tomonga yigʻing va x ni qavsdan tashqariga chiqaring
$x(1y-2) = 3--1y$
x ni yolgʻiz qoldirish uchun boʻling
$x = \frac{y+3}{y-2}$
x ga nisbatan yechildi
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Teskari funksiyani belgilash uchun x va y ning oʻrnini almashtiring
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
f⁻¹ ning aniqlanish sohasi f ning qiymatlar sohasidir
$\text{Aniqlanish sohasi } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Qoʻllanilgan formulalar

Teskari funksiya
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Funksiyaning teskarisini topish uchun y = f(x) deb yozing, x yolgʻiz qolguncha amallarni teskari tartibda bekor qiling, soʻng harflarning oʻrnini almashtiring.

Tekshiruv

Tekshirildi: f(f⁻¹(y)) = y, 12 ta tanlangan nuqtada.
Tekshirildi: f⁻¹(f(x)) = x, 12 ta tanlangan nuqtada.

Batafsil tushuntirish

Nega almashtirish va yechish usuli ishlaydi

$y = f(x)$ yozuvi grafikdagi barcha $(x, y)$ juftliklarni tavsiflaydi. Harflarning oʻrnini almashtirish aks ettirilgan juftliklar toʻplamini beradi — bu aynan teskari funksiyaning grafigi. Almashtirilgan tenglamani $y$ ga nisbatan yechish bu juftliklar toʻplamini yana formulaga aylantiradi. Usul faqat yechish qadamida bittadan ortiq javob chiqqanda ishlamaydi va bu $f$ oʻzaro bir qiymatli emasligidan darak beradi.

Har bir funksiya turi uchun mos bekor qiluvchi amal bor: ayirish qoʻshishni, boʻlish koʻpaytirishni, kub ildiz kubni, $\ln$ esa $e^x$ ni, $\log_2$ esa $2^x$ ni bekor qiladi. $x^3 + 1$ ning teskarisini topish bu amallarni teskari tartibda bekor qilishni anglatadi: avval 1 ni ayiring, soʻng kub ildiz chiqaring, natijada $\sqrt[3]{x - 1}$ hosil boʻladi.

Aniqlanish sohasini cheklash

$x^2$ kabi funksiya gorizontal toʻgʻri chiziq testidan oʻtmaydi, chunki $2$ ham, $-2$ ham 4 ga oʻtadi. Unga teskari funksiya berish uchun aniqlanish sohasining faqat bir qismini qoldiramiz. Kalkulyator odatiy $x \geq 0$ tarmoqdan foydalanadi, bu $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ ni beradi va cheklov javobda koʻrsatiladi. $x^2 + 1$ uchun xuddi shu tarmoq aniqlanish sohasi $[1, \infty)$ boʻlgan $\sqrt{x - 1}$ ni beradi.

Trigonometrik funksiyalar ham standart usulda cheklanadi. $\sin x$ uchun kalkulyator $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ oraliqni qoldiradi va bu $[-1, 1]$ da $\arcsin x$ ni beradi.

Javob qanday tekshiriladi

Ehtimoliy teskari funksiya topilgach, dastur $f$ ning qiymatlar sohasidan olingan $y$ ning tanlangan qiymatlarida $f(f^{-1}(y))$ ni hisoblaydi va u $y$ ni qaytarishini talab qiladi; aks holda teskari funksiya koʻrsatilmaydi. U $f^{-1}(f(x))$ ni ham hisoblaydi: bu faqat baʼzi kirishlar uchun $x$ ni qaytarsa, $f$ oʻzaro bir qiymatli emas va javobda qoʻllangan tarmoq nomlanadi. Bu faqat algebraik hisoblashda osongina koʻzdan qochadigan ishora xatolari va notoʻgʻri tarmoqlarni aniqlaydi.

Koʻp uchraydigan xatolar

$f^{-1}(x)$ ni $\frac{1}{f(x)}$ deb oʻqish; bu yerda daraja yozuvi teskari sonni emas, teskari funksiyani bildiradi.
$x$ va $y$ ning oʻrnini almashtirishni unutib, shunchaki $y = f(x)$ ni $x$ ga nisbatan yechish va javobni $y$ orqali qoldirish.
$x^2$ ning teskarisi $\pm\sqrt x$ deb daʼvo qilish; funksiya bitta chiqish berishi kerak, shuning uchun tarmoq tanlash shart.
Teskari funksiyaning aniqlanish sohasini eʼtiborsiz qoldirish, holbuki u dastlabki funksiyaning qiymatlar sohasiga teng.
Amallarni teskari tartibda emas, dastlabki tartibda bekor qilish.

Maslahatlar

Bitta qiymatni sinab koʻring: agar $f(2) = 7$ boʻlsa, $f^{-1}(7)$ albatta 2 ga teng boʻlishi kerak.
Teskarisini topishdan oldin grafik chizish kalkulyatorida $f$ ni chizing va gorizontal toʻgʻri chiziq testini qoʻllang.
Chiziqli hadlar nisbatida qavslarni oching, $y$ qatnashgan hadlarni yigʻing va $y$ ni qavsdan tashqariga chiqaring.
Teskari funksiyaning aniqlanish sohasini olish uchun $f$ ning qiymatlar sohasini aniqlanish va qiymatlar sohasi kalkulyatori bilan toping.
$f(f^{-1}(x))$ ning $x$ ga soddalashishini funksiyalar kompozitsiyasi kalkulyatori bilan tekshiring.

Koʻp beriladigan savollar

Funksiyaning teskarisi qanday topiladi?

f(x) ni y bilan almashtiring, x va y ning oʻrnini almashtiring, yangi tenglamani y ga nisbatan yeching va natijani f⁻¹(x) deb yozing. Soʻng uning aniqlanish sohasini koʻrsating — u dastlabki funksiyaning qiymatlar sohasiga teng.

Har bir funksiyaning teskarisi bormi?

Yoʻq. Faqat oʻzaro bir qiymatli funksiyalarning teskarisi bor. x² yoki sin x kabi gorizontal toʻgʻri chiziq testidan oʻtmaydigan funksiyalar uchun teskari funksiya mavjud boʻlishi uchun avval aniqlanish sohasini cheklash kerak.

Kalkulyator x² uchun qaysi tarmoqni tanlaydi?

U x ≥ 0 dan foydalanadi, shuning uchun teskari funksiya kvadrat ildiz boʻladi. Qaysi tarmoq ishlatilganini bilishingiz uchun cheklov javobda yoziladi.

f⁻¹(x) bilan 1/f(x) bir xilmi?

Yoʻq. Yuqori indeksdagi −1 teskari funksiyani bildiradi. 1/f(x) teskari son esa boshqa funksiya boʻlib, odatda kasr yoki (f(x))⁻¹ koʻrinishida yoziladi.

e^x ning teskarisi nima?

Aniqlanish sohasi x > 0 boʻlgan natural logarifm ln x. Xuddi shunday, 2^x ning teskarisi x ning 2 asosli logarifmi.

f va f⁻¹ grafiklari qanday bogʻlangan?

Ular y = x toʻgʻri chiziqqa nisbatan bir-birining simmetrik aksi, shuning uchun bir grafikdagi (a, b) nuqtaga ikkinchisidagi (b, a) nuqta mos keladi.

Kalkulyator teskari funksiyani qanday tekshiradi?

U bir nechta tanlangan nuqtalarda f(f⁻¹(y)) ni hisoblaydi va har bir qiymat oʻzgarmasdan qaytgandagina teskari funksiyani koʻrsatadi. Tarmoq cheklovi kerakligini aniqlash uchun kompozitsiyani teskari tartibda ham tuzadi.

Teskari funksiyangizni toping

f⁻¹(x) ni, uning aniqlanish sohasini va u haqiqatan ham f ni bekor qilishini koʻrsatuvchi sonli tekshiruvni koʻrish uchun yuqoriga funksiyani kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash