Daraja kalkulyatori: darajalar va daraja xossalari bosqichma-bosqich

Daraja kalkulyatori haqida

Daraja — takroriy koʻpaytirishning qisqa yozuvi, lekin u tezda bundan nariga oʻtadi: manfiy koʻrsatkichlar teskari sonlarni, kasr koʻrsatkichlar ildizlarni ifodalaydi, bir necha qoida esa uzun koʻpaytmalarni bir necha qatorda soddalashtirish imkonini beradi. Bu qoidalarni chalkashtirish algebradagi eng keng tarqalgan xatolar manbalaridan biri.

Kalkulyatorning ikki rejimi bor. Daraja rejimi ratsional asos va koʻrsatkich uchun $a^b$ ni aniq hisoblaydi, masalan, $8^{2/3} = 4$ yoki $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , va natija irratsional yoki haqiqiy son emasligini aytadi. Soddalashtirish rejimi daraja xossalarini bir nechta oʻzgaruvchili birhad ifodalarga qoʻllaydi va javobni musbat koʻrsatkichlar bilan yozadi.

Daraja nima?

$a^n$ da $n$ musbat butun son boʻlsa, $a$ asos oʻz-oʻziga $n$ marta koʻpaytiriladi: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . $n$ son daraja koʻrsatkichi deyiladi.

Qoidalar ishlashda davom etishi uchun taʼrif kengaytiriladi: $a \ne 0$ da $a^0 = 1$ , $a^{-n} = 1/a^n$ va $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Shular bilan har bir ratsional koʻrsatkich maʼnoga ega boʻladi, $a^{m/n}$ esa $a$ dan olingan $n$ -darajali ildizning $m$ -darajasi.

Daraja kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Sonni darajaga koʻtarish uchun “bⁿ darajani hisoblash” rejimini, ifodaga daraja xossalarini qoʻllash uchun “Daraja xossalari bilan soddalashtirish” rejimini tanlang.
Daraja rejimida asos va daraja koʻrsatkichini kiriting. Ikkalasi ham butun son, oʻnli kasr yoki 2/3, -1/2 kabi oddiy kasr boʻlishi mumkin.
Soddalashtirish rejimida ifodani darajalar uchun ^ belgisi bilan yozing, masalan, (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
“Hisoblash” tugmasini bosing va bosqichlarni kuzating; har birida koʻpaytmaning darajasi yoki boʻlinma qoidasi kabi qoʻllanilgan qoida nomi koʻrsatiladi.

Formulalar

Koʻpaytma qoidasi

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Boʻlinma qoidasi

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Darajani darajaga koʻtarish

(a^m)^n = a^{mn}

Koʻpaytmaning darajasi

(ab)^n = a^n b^n

Manfiy daraja koʻrsatkichi

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Kasr koʻrsatkichli daraja

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Yechib koʻrsatilgan misol: 8^(2/3)

Ishlangan misolda $8^{2/3}$ hisoblanadi. Koʻrsatkichning maxraji 3 kub ildizni, surati 2 esa kvadratni bildiradi, shuning uchun hisoblagich avval $\sqrt[3]{8} = 2$ ni oladi, soʻng uni kvadratga koʻtarib, 4 ni hosil qiladi.

Avval ildiz chiqarish sonlarni kichik saqlaydi: $8^2 = 64$ va $\sqrt[3]{64} = 4$ ham xuddi shu javobni beradi, lekin hisob koʻproq.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

4

Masalangizni qanday tushundik

8 ni 2/3 darajaga koʻtaring.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Bosqichma-bosqich yechim

Asos va daraja koʻrsatkichini aniqlang
asos b = 8, daraja koʻrsatkichi n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Kasr koʻrsatkichli daraja qoidasi
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m: maxraj 3 ildiz koʻrsatkichi, surat 2 esa daraja koʻrsatkichi.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Kub ildizni aniq chiqaring
$4$

Qoʻllanilgan formulalar

Butun koʻrsatkichli daraja
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Manfiy daraja koʻrsatkichi
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Ratsional daraja koʻrsatkichi
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 ning 2/3 darajasi 4 ga teng.

Tekshiruv

Oʻnli kasrda tekshiruv: 8^0.6666666667 ≈ 4.

Batafsil tushuntirish

Qoidalar nega ishlaydi

Koʻpaytma qoidasi — sanash. $a^3 \cdot a^2$ — $a$ ning uchta nusxasi yana ikkita nusxaga koʻpaytirilgani, jami beshta, demak, $a^5$ . Boʻlinma qoidasi — qisqartirish: $\frac{a^5}{a^2}$ da ikkita nusxa qisqaradi va uchtasi qoladi.

Nol va manfiy koʻrsatkich taʼriflarini boʻlinma qoidasi taqozo etadi. $\frac{a^3}{a^3} = 1$ boʻlgani va qoida $a^0$ ni bergani uchun $a^0 = 1$ boʻlishi shart. Xuddi shunday, $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ va u $\frac{1}{a^3}$ ga ham teng, demak, $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ .

Kasr koʻrsatkichlar va ildizlar

$(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ boʻlgani uchun $a^{1/n}$ son $a$ ning $n$ -darajali ildizi boʻlishi kerak. Ildiz ratsional boʻlsa, masalan, $32^{3/5} = 8$ , kalkulyator aniq natija qaytaradi, aks holda yaxlitlangan oʻnli kasr oʻrniga aniq ildizli shaklni saqlaydi.

Manfiy asos uchun toq koʻrsatkichli ildizlar haqiqiy, shuning uchun $(-8)^{1/3} = -2$ , juft koʻrsatkichli ildizlar esa haqiqiy son emas: $(-4)^{1/2}$ ning haqiqiy qiymati yoʻq. Kalkulyator chalgʻituvchi natija qaytarish oʻrniga shuni xabar qiladi.

Birhad ifodalarni soddalashtirish

$\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ kabi ifodani soddalashtirish uchun avval koʻpaytmaning darajasi qoidasini qoʻllang: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Soʻng koeffitsientlarni boʻling va har bir oʻzgaruvchi boʻyicha koʻrsatkichlarni ayiring: $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ va $y^{2-5} = y^{-3}$ . Nihoyat, manfiy koʻrsatkichlarni teskari sonlar shaklida yozib, $\frac{x^7}{y^3}$ ni oling.

Darajalar algebra darsidan tashqarida

Darajalar oʻzgarmas koʻpaytuvchi bilan oʻsadigan yoki kamayadigan har qanday narsani tavsiflaydi. Yiliga 5% foyda keltiradigan pul $t$ yildan keyin $1.05^t$ ga koʻpayadi, har davrda ikki baravar oʻsadigan aholi $2^t$ kabi oʻsadi, yarim yemirilish davriga ega radioaktiv namuna esa $\left(\tfrac12\right)^t$ kabi kamayadi. $6.02 \times 10^{23}$ kabi standart koʻrinish juda katta va juda kichik sonlarni ixcham yozish uchun oʻnning darajalaridan foydalanadi.

Har bir holda bir xil xossalar amal qiladi. Ikki yillik oʻsishdan keyingi yana uch yillik oʻsish $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ ga teng, maqsadli miqdorga erishish uchun kerakli vaqt esa darajani logarifm yordamida bekor qilib topiladi — logarifm kalkulyatori buni bosqichma-bosqich bajaradi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Asosni koʻrsatkichga koʻpaytirish: 8 oʻrniga $2^3 = 6$ deb hisoblash.
Manfiy koʻrsatkich natijani manfiy qiladi deb oʻylash. $2^{-3} = \tfrac18$ , bu musbat son.
Koʻrsatkichni koʻpaytmaning faqat bir qismiga qoʻllash: $(3x)^2 = 9x^2$ , $3x^2$ emas.
Koʻrsatkichni yigʻindiga taqsimlash: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
$-3^2 = -9$ ni $(-3)^2 = 9$ bilan chalkashtirish; daraja minus ishorasidan oldin bajariladi.

Maslahatlar

$a^{m/n}$ da asos toʻla daraja boʻlsa, avval ildiz chiqaring; sonlar kichikroq qoladi.
Birhadlarni soddalashtirishda koeffitsientlar va har bir oʻzgaruvchi bilan alohida ishlang.
Manfiy koʻrsatkichlarni oxirgi bosqichgacha qoldiring, soʻng ularni kasr chizigʻining narigi tomoniga oʻtkazing.
Manfiy son yoki kasrni darajaga koʻtarganda doim qavsdan foydalaning.

Koʻp beriladigan savollar

Istalgan sonning nolinchi darajasi nechaga teng?

Noldan farqli har qanday sonning nolinchi darajasi 1 ga teng. 0 ning 0-darajasi bu kalkulyatorda aniqlanmagan deb qoldiriladi, chunki matematikaning turli sohalarida unga turlicha qaraladi.

Manfiy daraja koʻrsatkichini qanday hisoblayman?

Asosning teskarisini oling va musbat koʻrsatkichdan foydalaning. Masalan, 5 ning minus 2-darajasi 1 ni 25 ga boʻlinganiga teng.

Kasr koʻrsatkich nimani anglatadi?

Maxraj — ildiz, surat — daraja. Demak, 27 ning 2/3 darajasi 27 ning kub ildizi, yaʼni 3 ning kvadrati, yaʼni 9.

Manfiy sonni kasr darajaga koʻtarsa boʻladimi?

Faqat koʻrsatkichning qisqarmas maxraji toq boʻlganda. Minus 8 ning 1/3 darajasi minus 2 ga teng, lekin minus 4 ning 1/2 darajasi haqiqiy son emas.

Nega (a + b) ning kvadrati a kvadrat plyus b kvadrat emas?

Darajalar qoʻshishga emas, koʻpaytirishga nisbatan taqsimlanadi. Qavsni ochsak, a kvadrat plyus 2ab plyus b kvadrat hosil boʻladi, oʻrtadagi hadni esa unutish oson.

Kalkulyator aniq javoblar beradimi?

Ha. Natijalar aniq kasrlar yoki ildizlar; oʻnli taqribiy qiymat faqat irratsional natija yonida koʻrsatiladi.

Darajani hisoblang

Daraja xossalari bosqichma-bosqich qanday qoʻllanilishini koʻrish uchun yuqoriga asos va koʻrsatkichni yoki butun ifodani kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

Daraja kalkulyatori