Tengsizliklar kalkulyatori: tengsizliklarni bosqichma-bosqich yechish

Tengsizliklar kalkulyatori haqida

Tenglama ikki ifoda qayerda teng ekanini soʻraydi; tengsizlik esa biri ikkinchisidan qayerda katta yoki kichik ekanini soʻraydi. Javob odatda bitta son emas, balki sonlar oraligʻi boʻladi, masalan, 2 va 3 orasidagi barcha $x$ lar. Bu oraliqni toʻgʻri qavslar va chegaralar bilan toʻgʻri yozish — ballarning eng koʻp yoʻqotiladigan joyi.

Bu kalkulyator $3x - 5 \ge 7$ kabi chiziqli tengsizliklarni, $x^2 - 5x + 6 < 0$ kabi koʻphadli tengsizliklarni, $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ kabi kasr-ratsional tengsizliklarni, $-3 < 2x + 1 \le 9$ kabi qoʻsh tengsizliklarni va $|x - 4| < 3$ kabi modulli tengsizliklarni yechadi. U doim son oʻqini qaysi nuqtalar boʻlishini koʻrsatadi va har bir oraliqni tekshiradi, shuning uchun javob nega aynan shunday ekanini koʻrasiz.

Tengsizlik nima?

Tengsizlik ikki ifodani $<$ , $>$ , $\le$ yoki $\ge$ belgilaridan biri bilan solishtiradi. Uning yechimlar toʻplami — solishtirishni toʻgʻri qiladigan oʻzgaruvchining barcha qiymatlari. $x + 2 > 5$ uchun yechimlar toʻplami 3 dan katta barcha sonlar, u $(3, \infty)$ deb yoziladi.

Oraliqlar yozuvida kiritilmaydigan chegaralar uchun oddiy qavslar, kiritiladigan chegaralar uchun kvadrat qavslar ishlatiladi. Cheksizlik doim oddiy qavs bilan yoziladi, chunki u erishib boʻladigan son emas. Alohida qismlar birlashma belgisi bilan qoʻshiladi, masalan, $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

Tengsizliklar kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Tengsizlikni <, >, <= yoki >= belgilari bilan yozing, masalan, x^2 - 5x + 6 < 0 yoki 2x + 3 >= 7.
Qoʻsh tengsizliklarda ikkala solishtirishni bir qatorda yozing, masalan, -3 < 2x + 1 <= 9.
Modul uchun abs() dan foydalaning, masalan, abs(x - 4) < 3.
“Yechish” tugmasini bosing. Kritik nuqtalar va ishoralar jadvalini tekshiring, soʻng yechimlar toʻplamini oraliqlar koʻrinishida oʻqing.

Formulalar

Belgini teskarisiga almashtirish

a < b \text{ va } k < 0 \Rightarrow ka > kb

Manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlish tengsizlik belgisini teskarisiga oʻzgartiradi.

Modul, kichik

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Modul, katta

|u| > c \iff u < -c \ \text{yoki}\ u > c

Koʻpaytma ishorasi

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Yechib koʻrsatilgan misol: x² − 5x + 6 < 0

Misolda $x^2 - 5x + 6 < 0$ tengsizlik $(x - 2)(x - 3) < 0$ koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajratiladi. 2 va 3 kritik nuqtalari son oʻqini uchta oraliqqa ajratadi va hisoblagich har birida bitta qiymatni tekshiradi.

Faqat oʻrtadagi oraliq manfiy koʻpaytma beradi, tengsizlik qatʼiy boʻlgani uchun chegaralar kiritilmaydi, shuning uchun javob $(2, 3)$ ochiq oraliq.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

(2, 3)

Masalangizni qanday tushundik

Tengsizlikni yeching va javobni oraliqlar koʻrinishida yozing.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Bosqichma-bosqich yechim

Hammasini bir tomonga oʻtkazib, koʻpaytuvchilarga ajrating
Ishoralar jadvali uchun f(x) ni 0 bilan solishtiriladigan, koʻpaytuvchilar koʻpaytmasi/boʻlinmasi sifatida yozilgan shakl kerak.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Kritik nuqtalarni toping
Ishora faqat 2 (nol), 3 (nol) da oʻzgarishi mumkin.
Har bir oraliqda bitta nuqtani tekshiring (ishoralar jadvali)
(-∞, 2): tekshiruv x = 1 → ishora + → kiritilmaydi; (2, 3): tekshiruv x = 2.5 → ishora − → kiritiladi; (3, ∞): tekshiruv x = 4 → ishora + → kiritilmaydi
Chegaraviy nuqtalarni aniqlang
2: kiritilmaydi; 3: kiritilmaydi
Yechimlar toʻplamini yozing
$x \in (2, 3)$

Qoʻllanilgan formulalar

Ishorani almashtirish
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Modul
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ yoki } A > c$

Tengsizlik x ning faqat (2, 3) dagi qiymatlarida bajariladi. Ifoda aniqlanmagan nuqtalar hech qachon kiritilmaydi, chegaraviy nuqtalar esa faqat ≤ yoki ≥ da ifoda nolga teng boʻlganda kiritiladi.

Tekshiruv

x = 1: tengsizlikni qanoatlantirmaydi.
x = 2.5: tengsizlikni qanoatlantiradi.
x = 4: tengsizlikni qanoatlantirmaydi.

Batafsil tushuntirish

Chiziqli tengsizliklar

Chiziqli tengsizlik xuddi tenglama kabi yechiladi, faqat bitta qoʻshimcha qoida bor: ikkala tomonni manfiy songa koʻpaytirganda yoki boʻlganda belgining yoʻnalishini teskarisiga oʻzgartiring. $-2x > 6$ dan $x < -3$ hosil boʻladi, chunki $-\tfrac12$ ga koʻpaytirish son oʻqidagi sonlar tartibini teskarisiga aylantiradi.

Buning sababi — ishorani oʻzgartirish son oʻqini koʻzgudagidek aks ettiradi. Agar $5 > 2$ boʻlsa, $-5 < -2$ boʻladi. Ikkala tomonga bir xil sonni qoʻshish yoki ayirish yoʻnalishni hech qachon oʻzgartirmaydi.

Ishoralar jadvali (oraliqlar usuli)

Koʻphadli va kasr-ratsional tengsizliklarda hammasini bir tomonga oʻtkazing, shunda ikkinchi tomon nol boʻladi. Soʻng kritik nuqtalarni toping: suratning nollari va kasr-ratsional ifodalar uchun maxrajning nollari. Koʻphad ishorasini faqat nolda oʻzgartirishi mumkin, shuning uchun qoʻshni kritik nuqtalar orasida uning ishorasi oʻzgarmaydi.

Har bir oraliq ichidan istalgan tekshiruv qiymatini tanlang va ishorani aniqlang. Ishorasi tengsizlikka mos keladigan oraliqlarni qoldiring. Nihoyat, har bir chegaraviy nuqtani hal qiling: suratning nollari $\le$ yoki $\ge$ uchun kiritiladi, maxrajning nollari esa doim chiqarib tashlanadi, chunki ularda ifoda aniqlanmagan.

Karrali ildizlarga alohida eʼtibor bering. $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ da $(x - 1)^2$ koʻpaytuvchi hech qachon ishorasini oʻzgartirmaydi, shuning uchun ifoda $x = 1$ ning ikkala tomonida bir xil ishorani saqlaydi. Ishoralar jadvali buni avtomatik hisobga oladi, ishoralarni navbatma-navbat almashtirish degan qisqa yoʻl esa yoʻq.

Qoʻsh va modulli tengsizliklar

$-3 < 2x + 1 \le 9$ kabi qoʻsh tengsizlik bir vaqtning oʻzida uchala qismga bir xil amalni bajarish orqali yechiladi va $-2 < x \le 4$ hosil boʻladi. Modulli tengsizlik qoʻsh tengsizlikka aylantiriladi: $|x - 4| < 3$ — $x$ dan 4 gacha masofa 3 dan kichik degani, shuning uchun $1 < x < 7$ .

Koʻp uchraydigan xatolar

Manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlishdan keyin belgini teskarisiga almashtirishni unutish.
Ikkala tomonni ishorasi nomaʼlum boʻlgan $x - 2$ kabi ifodaga koʻpaytirish. Buning oʻrniga ishoralar jadvalidan foydalaning.
Maxrajni nolga aylantiradigan qiymatni yechimlar toʻplamiga kiritish.
Cheksizlik yonida kvadrat qavs ishlatish.
$|x| > 3$ ni $-3 > x > 3$ deb yozish, buni hech bir son qanoatlantirmaydi; u $x < -3$ yoki $x > 3$ ni bildiradi.

Maslahatlar

Koʻpaytuvchilarga ajratishdan oldin bir tomonda nol hosil qiling.
Har safar kritik nuqtalari bilan son oʻqini chizing; bu chegaralardagi koʻp xatolarning oldini oladi.
Dastlabki tengsizlikda javobingizdan bitta qiymatni va undan tashqaridagi bitta qiymatni tekshiring.
Qatʼiy belgilar oddiy qavslarni beradi; noqatʼiy belgilar suratning nollarida kvadrat qavslarni beradi.

Koʻp beriladigan savollar

Nega manfiy songa boʻlganda tengsizlik belgisi teskarisiga oʻzgaradi?

Manfiy songa koʻpaytirish son oʻqidagi sonlar tartibini teskarisiga aylantiradi. 5 soni 2 dan katta, lekin minus 5 minus 2 dan kichik boʻlgani uchun solishtirish toʻgʻri qolishi uchun teskarisiga oʻzgarishi kerak.

Oraliqlar koʻrinishidagi yozuv nima?

Yechimlar toʻplamini qavslar yordamida yozish usuli. Oddiy qavslar chegarani kiritmaydi, kvadrat qavslar uni kiritadi, qismlar esa birlashma belgisi bilan qoʻshiladi.

Kvadrat tengsizlikni qanday yechaman?

Hammasini bir tomonga oʻtkazing, koʻpaytuvchilarga ajrating yoki ildizlarni toping, ularni son oʻqida belgilang, har bir oraliqda bitta qiymatni tekshiring va ishorasi mos keladigan oraliqlarni qoldiring.

Nega kasr-ratsional tengsizliklarda ayrim chegaralar kiritilmaydi?

Maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlarda ifoda aniqlanmagan, shuning uchun ular hatto “kichik yoki teng” yoki “katta yoki teng” belgilarida ham hech qachon yechimga kira olmaydi.

Tengsizlikning yechimi boʻlmasligi mumkinmi?

Ha. Masalan, “x kvadrat plyus 1 ifoda 0 dan kichik” tengsizligining haqiqiy yechimi yoʻq, chunki x kvadrat plyus 1 doim musbat. Kalkulyator boʻsh toʻplamni koʻrsatadi.

Tengsizlik barcha haqiqiy sonlar uchun toʻgʻri boʻlishi mumkinmi?

Ha. Masalan, x kvadrat 0 dan katta yoki teng degan tengsizlik har qanday haqiqiy x uchun bajariladi va kalkulyator butun son oʻqi bilan javob beradi.

Tengsizlikni yeching

Kritik nuqtalar, ishoralar jadvali va oraliqlar koʻrinishidagi yechimni koʻrish uchun tengsizligingizni yuqoriga kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

Tengsizliklar kalkulyatori