Algebra

Tengsizliklarni qanday yechish va javobni oraliq koʻrinishida yozish

Q: Yumaloq va kvadrat qavs oʻrtasida qanday farq bor?

Yumaloq qavs chetki nuqta kirmasligini bildiradi, dagidek. Kvadrat qavs u kirishini bildiradi, ≤ yoki ≥ dagidek. Cheksizlik har doim yumaloq qavs oladi.

Q: Tengsizlik umuman yechimga ega boʻlmasligi mumkinmi?

Ha. Masalan, |x| 3 kabi notoʻgʻri tasdiqqa keltirilishi mumkin.

Q: Nega ikkala tomonni x + 2 ga koʻpaytira olmayman?

Chunki x + 2 musbat yoki manfiy ekanini bilmaysiz, demak, ishora almashishi kerakmi yoki yoʻqmi, aytib boʻlmaydi. Ishoralar jadvali bu muammodan xalos qiladi.

Q: Barcha haqiqiy sonlarni oraliq koʻrinishida qanday yozaman?

(-∞, ∞) deb yozing. Tengsizlik har doim toʻgʻri boʻlgan tasdiqqa keltirilganda, masalan, |x| ≥ -1 yoki x + 2 > x da javob shunday boʻladi.

Q: Javobdagi birlashma belgisi nimani anglatadi?

cup belgisi ikkita alohida oraliqni bitta yechimlar toʻplamiga birlashtiradi. Bu «yoki» soʻzining oraliq koʻrinishidagi ifodasi, masalan, (-∞, -3] cup [2, ∞).

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Tengsizliklar deyarli tenglamalar kabi yechiladi, faqat bitta qoʻshimcha qoida bor va javob boshqacha: bitta son emas, qiymatlar oraligʻi. Ushbu qoʻllanma barcha keng tarqalgan turlarni qamrab oladi.

Tengsizlik belgilari va javob qanday koʻrinadi

Tengsizlik ikki ifodani toʻrt belgidan biri bilan taqqoslaydi: $<$ (kichik), $>$ (katta), $\le$ (kichik yoki teng) va $\ge$ (katta yoki teng). Uning yechimi odatda cheksiz sonlar toʻplami boʻladi, shuning uchun javob tengsizlik, son oʻqidagi tasvir yoki oraliq koʻrinishida yoziladi.

$x < 5$ bu $(-\infty, 5)$ oraliq; yumaloq qavs 5 kirmasligini bildiradi, son oʻqida u boʻsh doiracha bilan koʻrsatiladi.
$x \le 3$ bu $(-\infty, 3]$ ; kvadrat qavs 3 kirishini bildiradi, u boʻyalgan doiracha bilan koʻrsatiladi.
$-2 \le x < 4$ bu $[-2, 4)$ .
Cheksizlik har doim yumaloq qavs oladi, chunki u oraliqqa kiritiladigan son emas.

Tenglamalardan farq qiladigan yagona qoida

Tenglamalardagi kabi ikkala tomonga istalgan sonni qoʻshish yoki ayirish, ikkala tomonni musbat songa koʻpaytirish yoki boʻlish mumkin. Lekin ikkala tomonni manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlish tengsizlik ishorasini teskarisiga oʻzgartiradi.

a < b \;\text{ va }\; c < 0 \;\Rightarrow\; ac > bc

Sababini koʻrish uchun toʻgʻri $-2 < 3$ tasdiqdan boshlang va ikkala tomonni $-1$ ga koʻpaytiring. $2$ va $-3$ hosil boʻladi, $2 > -3$ . Manfiy songa koʻpaytirish son oʻqini aks ettiradi va qaysi tomon kattaligini almashtiradi. Tengsizlikning ikki tomonini oʻrnini almashtirganda ham xuddi shunday: $5 > x$ va $x < 5$ bir xil maʼnoni bildiradi.

Chiziqli tengsizliklar

1-misol: $3x - 5 < 10$

Ikkala tomonga 5 ni qoʻshing: $3x < 15$ .
3 ga boʻling; u musbat, shuning uchun ishora saqlanadi: $x < 5$ .
Oraliq: $(-\infty, 5)$ .

2-misol: $-2x + 7 \ge 1$

7 ni ayiring: $-2x \ge -6$ .
$-2$ ga boʻling va ishorani teskarisiga oʻzgartiring: $x \le 3$ .
Javob ichidagi qiymatni sinang, $x = 0$ : $7 \ge 1$ toʻgʻri. Tashqaridagi qiymatni sinang, $x = 4$ : $-1 \ge 1$ notoʻgʻri. Javob $(-\infty, 3]$ .

Chegaraning har ikki tomonidan bittadan qiymatni sinash oʻn soniya oladi va unutilgan ishora almashinuvini har safar aniqlaydi.

Qoʻshaloq tengsizliklar: «va», «yoki»

$-3 \le 2x + 1 < 9$ kabi qoʻshaloq tengsizlik ikkala shart ham bajarilishini bildiradi. Uni uchala qismga bir vaqtda bir xil amalni bajarib yeching.

-3 \le 2x + 1 < 9 \;\Rightarrow\; -4 \le 2x < 8 \;\Rightarrow\; -2 \le x < 4

Javob $[-2, 4)$ , yaʼni ikki shartning kesishmasi. $x < -1$ yoki $x \ge 3$ kabi «yoki» bilan bogʻlangan tasdiq ikki qismning birlashmasi boʻlib, $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ deb yoziladi.

Modulli tengsizliklar

$|A|$ modul $A$ ning noldan masofasidir. $k$ dan kichik masofa nolga yaqin boʻlishni bildiradi va bitta oraliq beradi; $k$ dan katta masofa uzoqda boʻlishni bildiradi va ikki qism beradi. $k > 0$ uchun:

|A| < k \iff -k < A < k, \qquad |A| > k \iff A < -k \;\text{ yoki }\; A > k

3-misol: $|x - 4| < 3$

Qoʻshaloq tengsizlik koʻrinishida yozing: $-3 < x - 4 < 3$ .
Barcha qismlarga 4 ni qoʻshing: $1 < x < 7$ , demak, javob $(1, 7)$ : 4 dan 3 birlikdan kam masofadagi barcha sonlar.

4-misol: $|2x + 1| \ge 5$

Ikki holatga ajrating: $2x + 1 \ge 5$ yoki $2x + 1 \le -5$ .
Har birini yeching: $x \ge 2$ yoki $x \le -3$ .
Javob: $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$ .

Agar $k$ manfiy boʻlsa, $|A| < k$ yechimga ega emas, $|A| > k$ esa har qanday haqiqiy son uchun toʻgʻri, chunki modul hech qachon manfiy boʻlmaydi.

Ishoralar jadvali bilan kvadrat tengsizliklar

Tengsizlik orqali kvadrat ildiz chiqarishga urinmang. Buning oʻrniga hammasini bir tomonga oʻtkazing, ifoda qayerda nolga tengligini toping va bu nuqtalar oraligʻidagi ishorani sinang.

5-misol: $x^2 - x - 6 > 0$

Koʻpaytuvchilarga ajrating: $(x - 3)(x + 2) > 0$ . Kritik nuqtalar $x = -2$ va $x = 3$ .
Ular son oʻqini uchta oraliqqa ajratadi. Har biridan bitta qiymatni sinang: $x = -3$ da $(-6)(-1) = 6 > 0$ ; $x = 0$ da $(-3)(2) = -6 < 0$ ; $x = 4$ da $(1)(6) = 6 > 0$ .
Musbat oraliqlarni qoldiring: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ . Tengsizlik qatʼiy boʻlgani uchun chetki nuqtalar kirmaydi.

Grafik jihatdan $y = x^2 - x - 6$ tarmoqlari yuqoriga qaragan parabola boʻlib, ildizlaridan tashqarida x oʻqidan yuqorida joylashadi, bu ishoralar jadvaliga mos keladi. Agar ildizlarni koʻpaytuvchilarga ajratish oson boʻlmasa, kvadrat tenglama kalkulyatori ularni topadi.

Ratsional tengsizliklar

Oʻzgaruvchi maxrajda boʻlgan tengsizlikda ikkala tomonni hech qachon shu maxrajga koʻpaytirmang: uning musbat yoki manfiy ekanini bilmaysiz. Buning oʻrniga surat va maxraj nollari bilan ishoralar jadvalidan foydalaning.

6-misol: $\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0$

Kritik nuqtalar: surat $x = 1$ da, maxraj $x = -2$ da nolga teng.
Sinash: $x = -3$ da $\frac{-4}{-1} = 4$ (musbat); $x = 0$ da $-\frac{1}{2}$ (manfiy); $x = 2$ da $\frac{1}{4}$ (musbat).
Manfiy oraliqni qoldiring va ifoda nolga teng boʻlgan $x = 1$ ni qoʻshing. Ifoda aniqlanmagan $x = -2$ ni chiqarib tashlang.
Javob: $(-2, 1]$ .

Ikki oʻzgaruvchili tengsizliklar

$y > 2x + 1$ kabi tengsizlik tekislikdagi sohani tasvirlaydi. $y = 2x + 1$ chegara chizigʻini qatʼiy tengsizlik uchun uzuq-uzuq, $\le$ yoki $\ge$ uchun esa yaxlit chiziq bilan chizing, soʻng uni qanoatlantiradigan tomonni boʻyang. Koordinatalar boshini sinash eng tezi: $0 > 1$ notoʻgʻri, shuning uchun $(0, 0)$ ni oʻz ichiga olmagan tomonni boʻyang. Grafik kalkulyatori bunday tengsizliklarni bevosita boʻyab beradi.

Keng tarqalgan xatolar

Manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlishdan keyin ishorani teskarisiga oʻzgartirishni unutish.
Ishorasi nomaʼlum boʻlgan oʻzgaruvchili ifodaga koʻpaytirish.
$|x - 4| < 3$ ni faqat $x - 4 < 3$ deb yozish, bunda quyi chegara yoʻqoladi.
Cheksizlik yonida kvadrat qavs ishlatish yoki chetki nuqtada notoʻgʻri qavs qoʻyish.
Maxrajni nolga aylantiradigan qiymatni javobga kiritish.

Tengsizliklar kalkulyatori har bir qadamni va oraliq koʻrinishini koʻrsatadi. Butun maqola davomida qoʻllanilgan tenglama yechish amallari uchun chiziqli tenglamalarni qanday yechish maqolasini koʻring.

Tengsizlikka oid matnli masala

Vaziyatda chegara, minimum yoki byudjet boʻlsa, tengsizliklar paydo boʻladi. «Kamida», «koʻpi bilan», «ortiq emas» va «oshadi» kabi iboralar qaysi belgini ishlatishni bildiradi: «kamida» $\ge$ ni, «koʻpi bilan» va «ortiq emas» $\le$ ni, «oshadi» yoki «dan koʻp» esa $>$ ni anglatadi.

Misol: telefon tarifi

Tarif oyiga 20 dollar va har bir SMS uchun 0.10 dollar turadi, siz esa 35 dollardan ortiq sarflamoqchi emassiz. $t$ SMSlar soni boʻlsin.
Tengsizlikni yozing: $20 + 0.10t \le 35$ .
20 ni ayiring: $0.10t \le 15$ . Musbat son boʻlgan 0.10 ga boʻling: $t \le 150$ .
SMSlar soni manfiy boʻlmagan butun son ham boʻlishi kerak, shuning uchun javob 0 dan 150 gacha boʻlgan istalgan butun son.

Kontekst algebraning oʻzi bermagan cheklovni qoʻshdi. Haqiqiy masalalarda $t \ge 0$ yoki butun son sharti kerak boʻlishi odatiy hol, shuning uchun yakuniy oraliqni yozishdan oldin har doim qaysi qiymatlar maʼnoga ega ekanini soʻrang.

Oraliq koʻrinishidagi javobni tekshirish

Tengsizlik javobida har biri xato boʻlishi mumkin boʻlgan uchta qism bor: chegaraviy qiymatlar, har bir chegara kirish-kirmasligi va chegaraning qaysi tomoni qoldirilgani. Ularni shu tartibda tekshiring. Har bir chegarani dastlabki tengsizlikka qoʻyib, tenglik hosil boʻlish-boʻlmasligini koʻring, bu chetki nuqta javobga tegishli ekanini aytadi. Soʻng javobingizdagi har bir oraliq ichidan bitta qiymatni va tashqaridan bitta qiymatni sinang.

Ratsional misolda $x = 1$ da $\frac{0}{3} = 0$ hosil boʻladi va $0 \le 0$ toʻgʻri, demak, 1 javobga kiradi. $x = -2$ da ifoda aniqlanmagan, shuning uchun tengsizlik tenglikka ruxsat bersa ham, $-2$ chiqarib tashlanadi. Bu ikki tekshiruv $(-2, 1]$ dagi qavslarni tasdiqlaydi.

Koʻp beriladigan savollar

Tengsizlik ishorasini qachon teskarisiga oʻzgartiraman?

Faqat ikkala tomonni manfiy songa koʻpaytirganda yoki boʻlganda yoxud ikki tomonning oʻrnini almashtirganda. Qoʻshish yoki ayirish, hatto manfiy sonni ham, ishorani hech qachon oʻzgartirmaydi.

Yumaloq va kvadrat qavs oʻrtasida qanday farq bor?

Yumaloq qavs chetki nuqta kirmasligini bildiradi, $<$ yoki $>$ dagidek. Kvadrat qavs u kirishini bildiradi, $\le$ yoki $\ge$ dagidek. Cheksizlik har doim yumaloq qavs oladi.

Tengsizlik umuman yechimga ega boʻlmasligi mumkinmi?

Ha. Masalan, $|x| < -2$ yechimga ega emas, chunki modul hech qachon manfiy boʻlmaydi. Chiziqli tengsizliklar ham $0 > 3$ kabi notoʻgʻri tasdiqqa keltirilishi mumkin.

Nega ikkala tomonni x + 2 ga koʻpaytira olmayman?

Chunki $x + 2$ musbat yoki manfiy ekanini bilmaysiz, demak, ishora almashishi kerakmi yoki yoʻqmi, aytib boʻlmaydi. Ishoralar jadvali bu muammodan xalos qiladi.

Barcha haqiqiy sonlarni oraliq koʻrinishida qanday yozaman?

$(-\infty, \infty)$ deb yozing. Tengsizlik har doim toʻgʻri boʻlgan tasdiqqa keltirilganda, masalan, $|x| \ge -1$ yoki $x + 2 > x$ da javob shunday boʻladi.

Javobdagi birlashma belgisi nimani anglatadi?

$\cup$ belgisi ikkita alohida oraliqni bitta yechimlar toʻplamiga birlashtiradi. Bu «yoki» soʻzining oraliq koʻrinishidagi ifodasi, masalan, $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$ .

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.