Kvadrat tenglama kalkulyatori: ildizlar va diskriminant

Q: Kvadrat tenglama ildizlari formulasi qanday?

ax^2 + bx + c = 0 uchun yechimlar x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). U koʻpaytuvchilarga ajralmaydiganlari ham kiradi, har qanday kvadrat tenglama uchun ishlaydi.

Q: Diskriminant menga nimani aytadi?

Agar b^2 - 4ac > 0 boʻlsa, ikkita turli haqiqiy ildiz, 0 ga teng boʻlsa, bitta ikki karrali ildiz, manfiy boʻlsa, ikkita kompleks ildiz bor.

Q: Kalkulyator kompleks ildizlarni bera oladimi?

Ha. Diskriminant manfiy boʻlganda ildizlar p ± qi koʻrinishida yoziladi; x^2 + 2x + 5 = 0 uchun ular -1 ± 2i.

Q: Parabola uchini qanday topaman?

Parabola uchi x = -b/(2a) da joylashgan; ordinatani olish uchun shu qiymatni qoʻying. Kalkulyator ikkalasini ham koʻrsatadi.

Q: Nega kvadrat tenglamada a nolga teng boʻla olmaydi?

Agar a = 0 boʻlsa, x^2 li had yoʻqoladi va tenglama koʻpi bilan bitta yechimli bx + c = 0 chiziqli tenglamaga aylanadi. Ildizlar formulasi ham nolga boʻlishga olib keladi, shuning uchun kalkulyator nolmas a ni soʻraydi.

Kvadrat tenglama kalkulyatori haqida

Kvadrat tenglama $a \neq 0$ boʻlganda $ax^2 + bx + c = 0$ koʻrinishiga ega. Uning grafigi parabola, yechimlari esa grafikning x oʻqi bilan kesishish nuqtalari.

$\Delta = b^2 - 4ac$ diskriminant qanday ildizlar kutish kerakligini aytadi: musbat boʻlsa, ikkita haqiqiy ildiz, nolga teng boʻlsa, bitta takroriy ildiz, manfiy boʻlsa, ikkita qoʻshma kompleks ildiz. Kalkulyator radikallarni aniq saqlaydi, shuning uchun $2x^2 + 4x - 3 = 0$ tenglama $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ ni beradi.

Kvadrat tenglama nima?

Kvadrat tenglama — ikkinchi darajali koʻphadli tenglama: nomaʼlumning eng yuqori darajasi $x^2$ . Standart shaklda u $ax^2 + bx + c = 0$ boʻladi, bunda $a$ , $b$ va $c$ — sonlar, $a$ esa nolga teng emas. $a$ koeffitsienti parabolaning kengligini va tarmoqlari yuqoriga yoki pastga yoʻnalganini belgilaydi, $b$ uni yon tomonga suradi, $c$ esa parabola y oʻqini kesib oʻtadigan nuqta.

$y = ax^2 + bx + c$ ning grafigi parabola boʻlgani uchun u x oʻqini ikki marta kesib oʻtishi, unga uchi bilan bir marta urinishi yoki umuman tegmasligi mumkin. Bu uch manzara ikkita haqiqiy yechimga, bitta takroriy yechimga va haqiqiy yechim yoʻqligiga mos keladi, qaysi manzara oʻrinli ekanini esa diskriminant hali birorta ildiz hisoblanmasdan hal qiladi.

Kvadrat tenglama kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Tenglamangizni bir tomoni 0 boʻladigan qilib qayta yozing.
a, b va c koeffitsientlarini kiriting. Oddiy va oʻnli kasrlar qabul qilinadi.
Diskriminantni, ikkala ildizni, koʻpaytuvchilarga ajratilgan shaklni va parabola uchini koʻrish uchun “Yechish” tugmasini bosing.

Formulalar

Kvadrat tenglama ildizlari formulasi

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Diskriminant

\Delta = b^2 - 4ac

Parabola uchi

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Viyet formulalari

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Yechib koʻrsatilgan misol: x² − 3x − 10 = 0

Yechib koʻrsatilgan misolda $x^2 - 3x - 10 = 0$ yechiladi, demak, $a = 1$ , $b = -3$ va $c = -10$ . Diskriminant $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ , bu musbat toʻla kvadrat, shuning uchun ikkita ratsional ildiz bor. Formula $\frac{3 \pm 7}{2}$ ni beradi, yaʼni $x = -2$ va $x = 5$ . Kalkulyator parabola uchini $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ nuqtada va koʻpaytuvchilarga ajratilgan $(x + 2)(x - 5)$ shaklni ham topadi hamda Viyet formulalari bilan ildizlar yigʻindisi 3 ga, koʻpaytmasi −10 ga tengligini tasdiqlaydi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

Masalangizni qanday tushundik

Standart shakldagi kvadrat tenglamani ildizlar formulasi bilan yeching.

x^2 - 3x - 10 = 0

Bosqichma-bosqich yechim

ax² + bx + c = 0 ning koeffitsientlarini aniqlang
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Diskriminantni hisoblang
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, demak, ikkita turli haqiqiy ildiz bor
Kvadrat tenglama ildizlari formulasini qoʻllang
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Har bir ildizni soddalashtiring
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Parabola uchini toping
Parabola tarmoqlari yuqoriga yoʻnalgan, shuning uchun uchi minimum nuqtadir.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Koʻpaytuvchilarga ajratilgan shakl
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Qoʻllanilgan formulalar

Kvadrat tenglama ildizlari formulasi
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Diskriminant
$\Delta = b^2 - 4ac$
Parabola uchi
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

Diskriminant musbat, shuning uchun parabola x oʻqini ikki nuqtada kesib oʻtadi.

Tekshiruv

x = -2 ni qoʻying: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
x = 5 ni qoʻying: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Viyet: ildizlar yigʻindisi = 3 = −b/a = 3; koʻpaytmasi = -10 = c/a = -10

Batafsil tushuntirish

Diskriminantning uch holati

$\Delta > 0$ boʻlganda kvadrat ildiz haqiqiy son boʻladi va $\pm$ ikki xil ildiz hosil qiladi. Agar $\Delta$ misoldagi 49 kabi toʻla kvadrat ham boʻlsa, ildizlar ratsional va uchhad butun sonlar ustida koʻpaytuvchilarga ajraladi; aks holda ular radikal qatnashadi, masalan, $2x^2 + 4x - 3 = 0$ ning ildizlari $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ . $\Delta = 0$ boʻlganda ikki ildiz ustma-ust tushadi: $x^2 - 6x + 9 = 0$ ning $x = 3$ ikki karrali ildizi bor va parabola oʻqqa faqat urinadi. $\Delta < 0$ boʻlganda haqiqiy ildizlar yoʻq va kalkulyator kompleks juftlikni beradi, masalan, $x^2 + 2x + 5 = 0$ uchun $-1 \pm 2i$ .

Formula qayerdan kelib chiqadi

Ildizlar formulasi umumiy tenglamada toʻla kvadrat ajratish natijasidir. $a$ ga boʻlib, $c$ ni oʻtkazsak, $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ hosil boʻladi; ikkala tomonga $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ ni qoʻshish chap tomonni toʻla kvadratga aylantiradi: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Kvadrat ildiz chiqarib, $\frac{b}{2a}$ ni ayirsak, formula hosil boʻladi. Bu keltirib chiqarish parabola uchini ham tushuntiradi: parabola ikki ildizning oʻrtasi boʻlgan $x = -\frac{b}{2a}$ toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik.

Parabola uchi va grafikni oʻqish

Parabola uchi — uning burilish nuqtasi. Uning abssissasi $-\frac{b}{2a}$ , uni tenglamaga qoʻyish esa ordinatani beradi: $a > 0$ boʻlganda bu eng kichik qiymat, $a < 0$ boʻlganda eng katta qiymat. Misolda parabola uchi $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ nuqtada, demak, $x^2 - 3x - 10$ ifoda hech qachon $-12.25$ dan kichik boʻlmaydi. Aynan shu xususiyat kvadrat funksiyalarni optimallashtirish masalalarida, masalan, otilgan toʻpning eng baland nuqtasini yoki daromadni maksimal qiladigan narxni topishda foydali qiladi.

$a(x - h)^2 + k$ koʻrinishi xuddi shu maʼlumotni toʻgʻridan-toʻgʻri koʻrsatadi, bunda $(h, k)$ — parabola uchi.

Koʻp uchraydigan xatolar

$b$ manfiy boʻlganda $b^2$ oʻrniga $-b^2$ ni ishlatish: $(-3)^2 = 9$ .
Butun surat oʻrniga faqat $-b$ ni $2a$ ga boʻlish.
Barcha hadlarni bir tomonga oʻtkazmasdan koeffitsientlarni kiritish.
± belgisini unutib, faqat bitta ildizni koʻrsatish.
Faqat haqiqiy yechimlar soʻralganda kompleks ildizlarni yozish yoki aksincha; savol nimani talab qilishini oʻqing.

Maslahatlar

Agar $b$ juft boʻlsa, formula $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ koʻrinishida soddalashadi.
Ildizlaringizni Viyet bilan tekshiring: ularning yigʻindisi $-\frac{b}{a}$ ga teng boʻlishi kerak.
Agar $\Delta$ toʻla kvadrat boʻlsa, uchhad butun sonlar ustida koʻpaytuvchilarga ajraladi.
Avval uchala koeffitsientni umumiy koʻpaytuvchiga boʻling; ildizlar oʻzgarmaydi, hisob esa yengillashadi.
Parabola uchi ikki ildizning qoq oʻrtasida yotadi, bu ikkalasini ham tez tekshirish imkonini beradi.

Koʻp beriladigan savollar

Kvadrat tenglama ildizlari formulasi qanday?

$ax^2 + bx + c = 0$ uchun yechimlar $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . U koʻpaytuvchilarga ajralmaydiganlari ham kiradi, har qanday kvadrat tenglama uchun ishlaydi.

Diskriminant menga nimani aytadi?

Agar $b^2 - 4ac > 0$ boʻlsa, ikkita turli haqiqiy ildiz, 0 ga teng boʻlsa, bitta ikki karrali ildiz, manfiy boʻlsa, ikkita kompleks ildiz bor.

Kalkulyator kompleks ildizlarni bera oladimi?

Ha. Diskriminant manfiy boʻlganda ildizlar $p \pm qi$ koʻrinishida yoziladi; $x^2 + 2x + 5 = 0$ uchun ular $-1 \pm 2i$ .

a = 0 boʻlsa-chi?

Unda tenglama kvadrat emas, chiziqli boʻladi. Buning oʻrniga tenglama yechish yoki x ni topish kalkulyatoridan foydalaning.

Parabola uchini qanday topaman?

Parabola uchi $x = -\frac{b}{2a}$ da joylashgan; ordinatani olish uchun shu qiymatni qoʻying. Kalkulyator ikkalasini ham koʻrsatadi.

Nega ildizlar oʻnli kasr emas, kvadrat ildiz koʻrinishida qoldiriladi?

Aniq radikallar toʻliq aniqlikni saqlaydi va javob tuzilishini koʻrsatadi. Qulaylik uchun yonida oʻnli taqribiy qiymat ham beriladi.

Ikki karrali ildiz nimani bildiradi?

Bu diskriminant nolga teng va ikkala ildiz bir xil son ekanini bildiradi. Parabola x oʻqiga uchi bilan urinadi, lekin uni kesib oʻtmaydi, masalan, $x^2 - 6x + 9 = 0$ ning $x = 3$ ikki karrali ildizi bor.

Qachon formula oʻrniga koʻpaytuvchilarga ajratish kerak?

Diskriminant toʻla kvadrat va sonlar kichik boʻlganda koʻpaytuvchilarga ajrating, chunki unda ildizlar ratsional. Formula doim ishlaydi, shuning uchun koʻpaytuvchilarga ajratish yoʻli koʻrinmasa, undan foydalaning.

Nega kvadrat tenglamada a nolga teng boʻla olmaydi?

Agar $a = 0$ boʻlsa, $x^2$ li had yoʻqoladi va tenglama koʻpi bilan bitta yechimli $bx + c = 0$ chiziqli tenglamaga aylanadi. Ildizlar formulasi ham nolga boʻlishga olib keladi, shuning uchun kalkulyator nolmas $a$ ni soʻraydi.

Kvadrat tenglamangizni yeching

Diskriminant, aniq ildizlar, parabola uchi va koʻpaytuvchilarga ajratilgan shaklni har birining yechimi bilan olish uchun yuqoriga a, b va c ni kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash