Soddalashtirish kalkulyatori: ifodalarni bosqichma-bosqich soddalashtirish

Soddalashtirish kalkulyatori haqida

Soddalashtirish — algebradagi kundalik tartib-intizom. Ifodalarni yechish, grafigini chizish yoki solishtirishdan oldin ularni odatda toza standart shaklga keltirish kerak: qavslar ochilgan, oʻxshash hadlar ixchamlangan, kasrlar qisqartirilgan boʻladi. Buni qoʻlda bajarish asosan ehtiyotkor hisob-kitob, bitta tushib qolgan ishora esa natijani buzadi.

Bu kalkulyator bir yoki bir nechta oʻzgaruvchili koʻphad ifodalarni, masalan, $3(x + 2) - 2(x - 1)$ yoki $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ni, kasrli sonli ifodalarni hamda bir oʻzgaruvchili kasr-ratsional ifodalarni, masalan, $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ ni soddalashtiradi; kasr-ratsional ifodalarda u koʻpaytuvchilarga ajratadi, umumiy koʻpaytuvchilarga qisqartiradi va chiqarib tashlanishi kerak boʻlgan qiymatlarni koʻrsatadi.

Ifodani soddalashtirish nimani anglatadi?

Ikki ifoda har qanday ruxsat etilgan qiymatda bir xil natija bersa, ular aynan teng boʻladi. Soddalashtirish ifodani unga aynan teng, qisqaroq yoki standartroq ifoda bilan almashtiradi. Koʻphadlar uchun standart shaklda qavslar yoʻq, darajalarning har bir birikmasi uchun bitta had bor va hadlar daraja kamayib borish tartibida yoziladi.

Kasr-ratsional ifodalar uchun eng sodda shakl — surat va maxrajning umumiy koʻphad koʻpaytuvchisi yoʻqligi. $x + 3$ kabi koʻpaytuvchiga qisqartirish faqat $x + 3 \ne 0$ boʻlganda oʻrinli, shuning uchun toʻliq javob bu cheklovni ham qayd etadi.

Soddalashtirish kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Ifodani yozing, masalan, 3(x + 2) - 2(x - 1) yoki (x^2 - 9)/(x^2 + 3x).
Daraja uchun ^ belgisidan, koʻpaytirish uchun * belgisidan yoki yonma-yon yozishdan foydalaning: 2x, 2*x va 2(x + 1) — barchasi ishlaydi.
“Soddalashtirish” tugmasini bosing va bosqichlarni kuzating: qavslarni ochish, darajalarni yoyish, oʻxshash hadlarni ixchamlash, kasrlarda esa koʻpaytuvchilarga ajratish va qisqartirish.
Yakuniy soddalashgan shaklni va u bilan birga koʻrsatilgan chiqarib tashlanadigan qiymatlarni oʻqing.

Formulalar

Taqsimot qonuni

a(b + c) = ab + ac

Ikkihadning kvadrati

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Oʻxshash hadlarni ixchamlash

px^k + qx^k = (p + q)x^k

Umumiy koʻpaytuvchiga qisqartirish

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

Yechib koʻrsatilgan misol: 3(x + 2) − 2(x − 1)

Misolda $3(x + 2) - 2(x - 1)$ soddalashtiriladi. Hisoblagich har bir koeffitsientni qavs ichiga kiritadi va $-2$ ikkinchi qavsdagi ikkala hadga ham koʻpaytirilishiga eʼtibor beradi, natijada $-1$ $+2$ ga aylanadi.

Bu $3x + 6 - 2x + 2$ ni beradi. $x$ li hadlarni va ozod hadlarni alohida yigʻsak, $x + 8$ qoladi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

x + 8

Masalangizni qanday tushundik

x dagi koʻphad ifodani soddalashtiring.

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

Bosqichma-bosqich yechim

Ifodani oʻqing
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
Qavslarni oching (har bir koʻpaytmani ochib chiqing)
Bir koʻpaytuvchining har bir hadi ikkinchisining har bir hadiga koʻpaytiriladi: a(b + c) = ab + ac.
Qavslar ochilgandan keyingi natija
$3x + 6 - 2x + 2$
Oʻxshash hadlarni ixchamlang
x: 3 − 2 = 1; ozod hadlar: 6 + 2 = 8. Oʻxshash hadlarning oʻzgaruvchilari va darajalari bir xil, shuning uchun faqat koeffitsientlari qoʻshiladi.
Natijani standart shaklda yozing
Hadlar umumiy darajasi kamayib borish tartibida joylashtiriladi.
$x + 8$

Qoʻllanilgan formulalar

Taqsimot qonuni
$a(b + c) = ab + ac$
Yigʻindining kvadrati
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Oʻxshash hadlar
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

Qavslarni ochib, oʻxshash hadlarni ixchamlagandan keyin ifoda x + 8 ga teng: bu 1-darajali, 2 ta hadli koʻphad.

Tekshiruv

x = 0.73 da tanlab tekshirish: dastlabki 8.73, soddalashtirilgan 8.73 ✓

Batafsil tushuntirish

Oʻxshash hadlar

Oʻxshash hadlarda aynan bir xil oʻzgaruvchilar aynan bir xil darajalarda qatnashadi; faqat sonli koeffitsientlari farq qilishi mumkin. Shuning uchun $5x^2y$ va $-2x^2y$ oʻxshash hadlar va ular $3x^2y$ ga birlashadi, $x^2y$ va $xy^2$ esa oʻxshash emas va alohida qolishi kerak.

Kalkulyator har bir hadni daraja koʻrsatkichlari roʻyxatiga bogʻlangan koeffitsient sifatida saqlaydi. Ikki ifodani qoʻshish bir xil roʻyxatga tegishli koeffitsientlarni qoʻshishni bildiradi — oʻxshash hadlarni ixchamlash aynan shu. Koeffitsientlar aniq kasrlar boʻlgani uchun $\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{6}x = \tfrac{1}{2}x$ kabi natijalar aniq chiqadi.

Ixchamlashdan oldin qavslarni ochish

Qavslar oʻxshash hadlarni yashiradi. $(a + b)^2 - (a - b)^2$ da ikkala kvadrat ochilmaguncha hech narsani ixchamlab boʻlmaydi: $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ . Shundan keyin $a^2$ va $b^2$ hadlar qisqarib, $4ab$ qoladi. Kalkulyator doim avval barcha koʻpaytma va darajalarni ochadi, soʻng ixchamlaydi.

Qavsni ayirish — xatolarning keng tarqalgan manbai. Minus ishorasi ichidagi har bir hadga taalluqli, shuning uchun $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ .

Kasr-ratsional ifodalar

Koʻphadlar kasrini soddalashtirish uchun surat va maxrajni toʻliq koʻpaytuvchilarga ajrating va ikkalasida ham uchraydigan koʻpaytuvchilarga qisqartiring. $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ da umumiy koʻpaytuvchi $x + 3$ qisqaradi va $x \ne 0$ , $x \ne -3$ shartlari bilan $\frac{x - 3}{x}$ hosil boʻladi.

Faqat koʻpaytuvchilarga qisqartirish mumkin, alohida hadlarga hech qachon. $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ dagi $x^2$ ga qisqartirish xato boʻladi, chunki $x^2$ butun suratning koʻpaytuvchisi emas, yigʻindining hadi.

Sonli ifodalar va amallar tartibi

Ifodada faqat sonlar boʻlsa, soddalashtirish uni aniq hisoblashni bildiradi. Kalkulyator odatiy tartibga amal qiladi: avval qavslar, keyin darajalar, soʻng chapdan oʻngga koʻpaytirish va boʻlish, keyin chapdan oʻngga qoʻshish va ayirish. Kasrlar oxirigacha kasr holida saqlanadi, shuning uchun $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ yaxlitlangan oʻnli kasrga emas, $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ ga aylanadi.

Aniq arifmetika muhim, chunki erta yaxlitlash keyingi natijani oʻzgartirib yuborishi mumkin. Amaliy javob uchun oʻnli kasr kerak boʻlsa, yakuniy aniq qiymatni eng oxirida bir marta aylantiring.

Koʻp uchraydigan xatolar

Manfiy ishorani qavs ichidagi faqat birinchi hadga koʻpaytirish.
$(a + b)^2$ ni $a^2 + b^2$ deb yozib, oʻrtadagi $2ab$ hadni unutish.
Oʻxshash boʻlmagan hadlarni birlashtirish, masalan, $x^2$ va $x$ ni qoʻshib $2x^3$ hosil qilish.
Kasrda koʻpaytuvchilar oʻrniga hadlarga qisqartirish.
Koʻpaytuvchiga qisqartirgandan keyin chiqarib tashlanadigan qiymatlarni tashlab yuborish.

Maslahatlar

Qavsni ayirishni qavs ichiga kiritishdan oldin qavsni $-1$ ga koʻpaytirib qoʻshish shaklida qayta yozing.
Oʻxshash hadlarni yigʻishdan oldin ularning tagiga bir xil rangda chizing.
Soddalashtirishni ikkala shaklga $x = 2$ kabi oddiy qiymatni qoʻyib tekshiring.
Kasr-ratsional ifodada biror narsaga qisqartirishdan oldin toʻliq koʻpaytuvchilarga ajrating.
Natijani boshqa javoblar bilan solishtirish oson boʻlishi uchun daraja kamayib borish tartibida yozing.

Koʻp beriladigan savollar

Oʻxshash hadlar nima?

Bir xil oʻzgaruvchilari bir xil darajalarda qatnashgan hadlar, masalan, 4xy va minus 7xy. Ular faqat koeffitsientlari bilan farq qiladi, shuning uchun bitta hadga qoʻshilishi mumkin.

Soddalashtirish ifodaning qiymatini oʻzgartiradimi?

Yoʻq. Soddalashgan ifoda har qanday ruxsat etilgan qiymatda dastlabkisiga aynan teng. Yagona farq — qisqartirilgan koʻpaytuvchilar koʻrsatilishi shart boʻlgan chiqarib tashlanadigan qiymatlarni yuzaga keltiradi.

Kalkulyator bir nechta oʻzgaruvchili ifodalarni soddalashtira oladimi?

Ha, istalgan sondagi oʻzgaruvchili koʻphad ifodalarning qavslari ochiladi va oʻxshash hadlari ixchamlanadi. Kasr-ratsional ifodalar bir oʻzgaruvchida soddalashtiriladi.

Nega soddalashgan kasrimda cheklovlar bor?

Koʻpaytuvchi surat va maxrajdan qisqartirilganda, dastlabki ifoda shu koʻpaytuvchi nolga teng boʻlgan joyda aniqlanmagan edi. Aynan tengligicha qolishi uchun soddalashgan shakl bu cheklovni saqlashi kerak.

Soddalashtirish yechish bilan bir xilmi?

Yoʻq. Soddalashtirish ifodani qayta yozadi; yechish esa tenglamani toʻgʻri tenglikka aylantiradigan qiymatlarni topadi. Avval ikkala tomonni soddalashtiring, yechimlar kerak boʻlsa, tenglama yechish kalkulyatoridan foydalaning.

Koʻphadning standart shakli nima?

Barcha qavslar ochilgan, darajalarning har bir birikmasi uchun bitta had boʻlgan va hadlar eng yuqori darajadan eng pastigacha, ozod had oxirida yozilgan shakl.

Sonli ifodalarni ham soddalashtirsa boʻladimi?

Ha. 3/4 + 5/6 koʻpaytirilgan 2 kabi ifodalar amallar tartibiga koʻra aniq hisoblanadi va qisqarmas koʻrinishgacha qisqartiriladi.

Ifodangizni soddalashtiring

Qavslar ochilishi, hadlar ixchamlanishi va qisqartirilishini bosqichma-bosqich koʻrish uchun yuqoriga istalgan ifodani kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

Ifodalarni soddalashtirish kalkulyatori