Koʻphad kalkulyatori

Q: Koʻphad kalkulyatori qanday amallarni bajaradi?

Qavslarni ochish, qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, boʻlinma va qoldiqli burchak usulida boʻlish, Gorner sxemasi yordamida x ning berilgan qiymatidagi qiymatini hisoblash hamda haqiqiy ildizlarni topish.

Q: Koʻphadlarni qanday boʻlaman?

Boʻlish amalini tanlang, boʻlinuvchini P sifatida, boʻluvchini esa Q sifatida kiriting. Kalkulyator burchak usulida boʻladi va boʻlinmani, qoldiqni hamda javobni boʻlinma plyus qoldiqning boʻluvchiga nisbati koʻrinishida koʻrsatadi.

Q: Bezu teoremasi nima?

P koʻphad x minus c ga boʻlinganda qoldiq P(c) ga teng. Demak, koʻphadning c dagi qiymatini hisoblash qoldiqni topish yoki c ildiz ekanini tekshirishning tez usuli.

Q: Koʻphad kalkulyatori kompleks ildizlarni ham chiqaradimi?

Yoʻq. Ildizlar rejimi faqat haqiqiy ildizlarni sanaydi va koʻphadda ular boʻlmasa, buni aytadi. Ratsional ildizlar aniq, irratsional ildizlar esa taqribiy oʻnli kasr koʻrinishida koʻrsatiladi.

Q: Gorner sxemasi nima?

Koʻphad qiymatini koʻpaytirishlarni ichma-ich joylashtirib hisoblash usuli: masalan, ax kub plyus bx kvadrat plyus cx plyus d ifodasi ((ax + b)x + c)x + d koʻrinishida yoziladi. U kamroq amal talab qiladi va har bir darajani alohida hisoblashdan koʻra xatoga kamroq moyil.

Q: Koʻphadning darajasi nima?

Oʻzgaruvchining koeffitsienti noldan farqli boʻlgan eng katta darajasi. U koʻphadning haqiqiy ildizlari va burilish nuqtalari sonini cheklaydi.

Q: Koeffitsient sifatida kasrlardan foydalansam boʻladimi?

Ha. Oddiy va oʻnli kasrlar aniq kasrlarga aylantiriladi va barcha natijalar aniq saqlanadi.

Koʻphad kalkulyatori haqida

Koʻphadlar algebradagi eng keng tarqalgan funksiyalardir: toʻgʻri chiziqlar, parabolalar, kub funksiyalar va oʻzgaruvchining butun darajalaridan tuzilgan barcha ifodalar. Ular bilan ishlash qayta-qayta uchraydigan bir nechta amalni anglatadi: ikki qavsni koʻpaytirish, chiziqli koʻpaytuvchiga boʻlish, qiymat qoʻyib hisoblash yoki nollarni topish. Har biri mexanik ish, ammo koʻphadda hadlar koʻp boʻlsa, har birida adashish oson.

Bu kalkulyator bir oʻzgaruvchili koʻphadlar ustida yettita amalni bajaradi: qavslarni ochish, qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, burchak usulida boʻlish, nuqtadagi qiymatni hisoblash va haqiqiy ildizlarni topish. Koeffitsientlar aniq kasrlar sifatida saqlanadi, shuning uchun burchak usulida boʻlish aniq boʻlinma va qoldiq beradi, ratsional ildizlar esa yaxlitlangan oʻnli kasr koʻrinishida emas, aniq koʻrsatiladi.

Koʻphad nima?

$x$ ga nisbatan koʻphad — $a x^n$ koʻrinishidagi hadlar yigʻindisi boʻlib, unda har bir $a$ koeffitsient son, har bir $n$ daraja koʻrsatkichi esa butun nomanfiy son. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ koʻphad boʻladi; $\frac1x$ va $\sqrt x$ esa koʻphad emas, chunki ularning daraja koʻrsatkichlari manfiy yoki kasr.

Daraja — koeffitsienti noldan farqli boʻlgan eng katta daraja koʻrsatkichi, bosh koeffitsient esa shu hadning koeffitsienti. $n$ -darajali koʻphadning koʻpi bilan $n$ ta haqiqiy ildizi bor, grafigi esa koʻpi bilan $n - 1$ ta burilish nuqtasiga ega; bu faktlar hisoblashdan oldin javob qanday koʻrinishda boʻlishini oldindan bilishga yordam beradi.

Koʻphad kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Amalni tanlang: “Qavslarni ochish / standart shakl”, “P + Q”, “P − Q”, “P × Q”, “P ÷ Q (burchak usulida boʻlish)”, “P(a) qiymatini hisoblash” yoki “Ildizlar / nollarni topish”.
Birinchi P koʻphadni kiriting, masalan, 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
Qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish va boʻlish uchun ikkinchi Q koʻphadni kiriting, masalan, x - 2.
Qiymatni hisoblash uchun qoʻshimcha maydonga $x$ ning qiymatini kiriting.
“Hisoblash” tugmasini bosing va qadamlarni kuzating; burchak usulida boʻlishda bosh hadni boʻlish va ayirishning har biri koʻrsatiladi.

Formulalar

Qoldiqli boʻlish algoritmi

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

Bezu teoremasi (qoldiq haqida)

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

Koʻpaytuvchi haqidagi teorema

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ ifoda quyidagining koʻpaytuvchisi: } P(x)

Gorner sxemasi

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

Yechib koʻrsatilgan misol: 2x³ − 3x² + 4x − 5 ni x − 2 ga boʻlish

Misolda $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ burchak usulida $x - 2$ ga boʻlinadi. Har bosqichda dvigatel qolgan ifodaning bosh hadini $x$ ga boʻladi, boʻluvchini shu hadga koʻpaytiradi va ayiradi.

Uch bosqichdan soʻng boʻlinma $2x^2 + x + 6$ va qoldiq 7 chiqadi, shuning uchun javob $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ koʻrinishida yoziladi. Bezu teoremasi bashorat qilganidek, dastlabki koʻphadning $x = 2$ dagi qiymati ham 7 ga teng.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

Masalangizni qanday tushundik

P ni Q ga koʻphadlarni burchak usulida boʻlish orqali boʻling.

Bosqichma-bosqich yechim

P ni standart shaklda yozing
Qavslarni oching va oʻxshash hadlarni ixchamlang: daraja 3, bosh koeffitsient 2, ozod had -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Q ni standart shaklda yozing
daraja 1, bosh koeffitsient 1, ozod had -2
$Q(x) = x - 2$
Bosh hadlarni boʻling: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Q ni 2x^2 ga koʻpaytirib, ayiring. Yangi qoldiq: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
Bosh hadlarni boʻling: (x^2) ÷ (x) = x
Q ni x ga koʻpaytirib, ayiring. Yangi qoldiq: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
Bosh hadlarni boʻling: (6x) ÷ (x) = 6
Q ni 6 ga koʻpaytirib, ayiring. Yangi qoldiq: 7.
$6\cdot(x - 2)$
Qoldiqning darajasi boʻluvchining darajasidan kichik boʻlganda toʻxtang
$\text{boʻlinma } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{qoldiq } 7$

Qoʻllanilgan formulalar

Qoldiqli boʻlish algoritmi
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q P ni qoldiqsiz boʻlmaydi: qoldiq 7.

Tekshiruv

Tekshiruv: Q·boʻlinma + qoldiq P ga teng.

Batafsil tushuntirish

Koʻpaytirish va qavslarni ochish

Ikki koʻphadni koʻpaytirish uchun birinchisining har bir hadi ikkinchisining har bir hadiga koʻpaytiriladi, soʻngra bir xil darajali hadlar ixchamlanadi. $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ uchun oltita koʻpaytma $x^3 + 1$ ga, yaʼni kublar yigʻindisiga keladi. Kalkulyator ixchamlashdan oldin qavslarni toʻliq ochib koʻrsatadi, shunda birorta koʻpaytma tushib qolmaydi — uzun qavslarda xatolarning odatiy manbai aynan shu.

Qoʻshish va ayirishda faqat bir xil darajalarning koeffitsientlari birlashtiriladi. Ayirishda ikkinchi koʻphadning har bir hadi ishorasini oʻzgartiradi, shuning uchun kalkulyator birlashtirishdan oldin qarama-qarshi ishorali koʻphadni alohida yozib koʻrsatadi.

Burchak usulida boʻlish va uning qoʻllanilishi

Koʻphadlarni burchak usulida boʻlish sonlarni burchak usulida boʻlish bilan aynan bir xil ishlaydi. Qoldiqning darajasi boʻluvchinikidan kichik boʻlganda jarayon toʻxtaydi. Boʻlish bitta ildiz maʼlum boʻlganda koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish, kasr-ratsional funksiyalarni soddalashtirish va ogʻma asimptotalarni topish uchun ishlatiladi: $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ ning boʻlinmasi $x + 1$ , shuning uchun grafik $y = x + 1$ toʻgʻri chiziqqa yaqinlashadi.

$x - c$ chiziqli koʻpaytuvchiga boʻlishni faqat koeffitsientlar bilan ishlaydigan Gorner sxemasi yordamida qisqartirish mumkin. Shunda Bezu teoremasiga koʻra qoldiq $P(c)$ ga teng — bu ishingizni tez tekshirish usuli.

Ildizlarni topish

Ildizlar rejimida kalkulyator avval $\frac pq$ ratsional nomzodlarni tekshiradi, bunda $p$ ozod hadning, $q$ esa bosh koeffitsientning boʻluvchisi. Topilgan har bir ildiz boʻlish orqali ajratib olinadi va daraja pasayadi. Qolgan kvadrat uchhad kvadrat tenglama ildizlari formulasi bilan yechiladi, yuqoriroq darajali keltirilmaydigan qoldiq esa sonli usulda yechilib, natija taqribiy deb belgilanadi. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ uchun 1, 2 va 3 ildizlarning barchasi aniq; $x^3 - 2$ uchun yagona haqiqiy ildiz $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ oʻnli kasr koʻrinishida koʻrsatiladi.

Faqat haqiqiy ildizlar sanab oʻtiladi. $x^2 + 2x + 5$ kabi koʻphadning diskriminanti manfiy, shuning uchun kalkulyator uning haqiqiy ildizlari yoʻqligini xabar qiladi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Burchak usulida boʻlishda yetishmayotgan darajani tushirib qoldirish; ustunlar mos tushishi uchun $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ deb yozing.
Burchak usulida boʻlishda butun koʻpaytmani emas, faqat birinchi hadni ayirish.
Koʻphadni ayirishda har bir hadning ishorasini oʻzgartirishni unutish.
Hadlarni koʻpaytirishda daraja koʻrsatkichlarini qoʻshish oʻrniga koʻpaytirish: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
Qoldiqni boʻluvchisiz yozish; yolgʻiz $+7$ bilan $+\frac{7}{x - 2}$ bir xil emas.

Maslahatlar

Har qanday amaldan oldin ikkala koʻphadni darajalari kamayib borish tartibida joylashtiring.
Boʻlishni tekshirish uchun boʻlinmani boʻluvchiga koʻpaytiring va qoldiqni qoʻshing.
Mumkin boʻlgan ildizni tez tekshirish uchun Bezu teoremasidan foydalaning: agar $P(c) = 0$ boʻlsa, $x - c$ koʻpaytuvchi boʻladi.
Nechta haqiqiy ildiz kutish kerakligini koʻrish uchun grafik kalkulyatorida grafikni chizib koʻring.
Koʻphadni koʻpaytma shaklida yozmoqchi boʻlsangiz, koʻpaytuvchilarga ajratish kalkulyatoridan foydalaning.

Koʻp beriladigan savollar

Koʻphad kalkulyatori qanday amallarni bajaradi?