Koʻphad funksiyalar: daraja, chetlardagi xatti-harakat, nollar va grafiklar

Funksiyani koʻphad qiladigan narsa

Koʻphad funksiya hadlar yigʻindisidir, har bir had oʻzgarmas sonning $x$ ning butun manfiymas darajasiga koʻpaytmasi:

Eng yuqori $n$ daraja koʻphadning darajasi, uning oldidagi $a_n$ koeffitsiyent bosh koeffitsiyent, $a_0$ esa ozod had boʻlib, u y oʻqi bilan kesishish nuqtasi hamdir. 1-daraja toʻgʻri chiziqlarni, 2-daraja parabolalarni, 3-daraja kubik funksiyalarni, 4-daraja esa toʻrtinchi darajali funksiyalarni beradi. $\frac{1}{x}$ yoki $\sqrt{x}$ kabi manfiy yoki kasr darajali, yoxud maxrajda yoki daraja koʻrsatkichida oʻzgaruvchi qatnashgan ifodalar koʻphad emas.

Koʻphadlar har qanday haqiqiy sonda aniqlangan va ularning grafiklari oʻtkir burchaklarsiz, uzilishlarsiz va asimptotalarsiz silliq, uzluksiz egri chiziqlardir. Ular boshqa funksiyalarni modellashtirish va taqribiy ifodalash uchun keng qoʻllanilishining bir sababi ham shu.

Bosh had boʻyicha chetlardagi xatti-harakat

Juda katta musbat yoki manfiy $x$ larda bosh had boshqa barcha hadlardan ustun keladi, shuning uchun grafikning chetlari $a_n x^n$ kabi oʻzini tutadi. Faqat ikki fakt muhim: daraja juftmi yoki toqmi va bosh koeffitsiyent musbatmi yoki manfiymi.

• Juft daraja, musbat bosh koeffitsiyent: ikkala chet ham koʻtariladi, $x^2$ kabi.
• Juft daraja, manfiy bosh koeffitsiyent: ikkala chet ham pasayadi, $-x^2$ kabi.
• Toq daraja, musbat bosh koeffitsiyent: chapda pasayadi, oʻngda koʻtariladi, $x^3$ kabi.
• Toq daraja, manfiy bosh koeffitsiyent: chapda koʻtariladi, oʻngda pasayadi, $-x^3$ kabi.

Masalan, $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ ning darajasi toq va bosh koeffitsiyenti manfiy, shuning uchun boshqa koeffitsiyentlar qanchalik katta koʻrinmasin, u chapga qarab koʻtariladi va oʻngga qarab pasayadi. Demak, toq darajali koʻphad x oʻqini kamida bir marta kesib oʻtishi shart, chunki uning ikki cheti qarama-qarshi tomonlarga yoʻnalgan.

Nollar, koʻpaytuvchilar va karralilik

$p$ ning noli yoki ildizi bu $p(c) = 0$ boʻladigan $c$ qiymatdir. Nollar grafikning x oʻqi bilan kesishish nuqtalari boʻlib, har bir haqiqiy $c$ nolga $(x - c)$ koʻpaytuvchi mos keladi. Shuning uchun koʻpaytuvchilarga ajratish nollarni topishning asosiy vositasi boʻlib, unda nol koʻpaytma xossasidan foydalaniladi: koʻpaytma faqat koʻpaytuvchilardan biri nol boʻlganda nolga teng.

Agar koʻpaytuvchi takrorlansa, nolning karraliligi birdan katta boʻladi va grafik u yerda boshqacha oʻzini tutadi. Toq karrali nolda grafik oʻqni kesib oʻtadi, juft karrali nolda esa oʻqqa urinadi va orqaga qaytadi. Karralilik qanchalik yuqori boʻlsa, grafik nol yaqinida shunchalik yassi boʻladi.

$n$-darajali koʻphad koʻpi bilan $n$ ta haqiqiy nolga va koʻpi bilan $n - 1$ ta burilish nuqtasiga, yaʼni grafigining choʻqqi va chuqurliklariga ega. Kubik funksiyaning bitta, ikkita burilish nuqtasi boʻlishi yoki $x^3$ dagidek umuman boʻlmasligi mumkin. Koʻpaytuvchilarni topish usullari koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish qoʻllanmasida batafsil yoritilgan.

Qoldiq va koʻpaytuvchi haqidagi teoremalar

$p(x)$ koʻphadni $(x - c)$ ga boʻlganda qoldiq shunchaki son boʻladi va Bezu teoremasi bu son $p(c)$ ekanini aytadi. Koʻpaytuvchi haqidagi teorema bundan bevosita kelib chiqadi: $(x - c)$ aynan $p(c) = 0$ boʻlganda koʻpaytuvchi boʻladi.

Aksincha, $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$, shuning uchun $p(x)$ ni $(x - 2)$ ga boʻlish $-4$ qoldiq beradi va $(x - 2)$ koʻpaytuvchi emas.

Gorner sxemasi

Gorner sxemasi faqat koeffitsiyentlardan foydalanib $(x - c)$ ga boʻlishning ixcham usulidir. 3-misol uchun $c = 1$ ni va $1, -2, -5, 6$ koeffitsiyentlarni yozing.

1. Birinchi koeffitsiyentni pastga tushiring: 1.
2. $c$ ga koʻpaytiring va keyingi koeffitsiyentga qoʻshing: $1 \times 1 = 1$ va $-2 + 1 = -1$.
3. Takrorlang: $-1 \times 1 = -1$ va $-5 + (-1) = -6$.
4. Takrorlang: $-6 \times 1 = -6$ va $6 + (-6) = 0$.
5. Oxirgi son, yaʼni 0, qoldiqdir. Qolganlari, yaʼni $1, -1, -6$, boʻlinmaning koeffitsiyentlari: $x^2 - x - 6$.

$x$ ning har bir darajasi uchun joy kerak, shuning uchun yetishmayotgan har qanday had oʻrniga 0 yozing. $x^3 - 8$ ni $(x - 2)$ ga boʻlishda $1, 0, 0, -8$ koeffitsiyentlar ishlatiladi va $x^2 + 2x + 4$ boʻlinma hamda 0 qoldiq hosil boʻladi.

Gorner sxemasi faqat $x - c$ koʻrinishidagi boʻluvchilar uchun ishlaydi. $2x - 1$ ga boʻlish uchun $x - \frac{1}{2}$ ga boʻling, soʻng boʻlinmani 2 ga boʻling yoki burchak usulida boʻlishdan foydalaning.

Nollar soni: algebraning asosiy teoremasi

Algebraning asosiy teoremasi $n \ge 1$ darajali koʻphad, har bir nol karraliligicha marta hisoblanganda, aynan $n$ ta kompleks nolga ega boʻlishini kafolatlaydi. Ularning baʼzilari haqiqiy, baʼzilari kompleks boʻlishi mumkin. Koeffitsiyentlar haqiqiy boʻlsa, kompleks nollar qoʻshma juftliklar holida keladi, shuning uchun $2 + 3i$ nol boʻlsa, $2 - 3i$ ham nol boʻladi.

Shu sababli haqiqiy koeffitsiyentli kubik funksiya har doim kamida bitta haqiqiy nolga ega: uning uchta nolining hammasi kompleks boʻla olmaydi, chunki kompleks nollar juft-juft keladi. Toʻrtinchi darajali koʻphad esa, $x^4 + 1$ koʻrsatganidek, haqiqiy nolga ega boʻlmasligi mumkin.

Nolni aniq topib boʻlmaganda, oraliq qiymat haqidagi teorema uning joyini aniqlashga yordam beradi. $p(x) = x^3 + x - 1$ uchun $p(0) = -1$ va $p(1) = 1$. Koʻphad grafiklarida uzilish boʻlmagani uchun grafik 0 va 1 orasida biror joyda nolni kesib oʻtishi shart; sonli usulda ildiz taxminan $0.6823$ ga teng.

Koʻphadni nollari boʻyicha tuzish

Teskari yoʻnalishda ishlasak, nollar koʻphadni oʻzgarmas koʻpaytuvchi aniqligida belgilaydi. Faraz qilaylik, kvadrat funksiyaning nollari 2 va $-1$ va u $(0, 4)$ nuqtadan oʻtadi. U holda u $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$ boʻlishi kerak. Nuqtani qoʻysak, $4 = a(-2)(1)$ hosil boʻladi, demak, $a = -2$ va $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Qavslarni ochib, $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ va $f(-1) = 0$ ekanini tekshirish natijani tasdiqlaydi.

Koʻphad grafigini chizish

1. Chetlardagi xatti-harakatni aniqlash uchun daraja va bosh koeffitsiyentni toping.
2. Nollarni va ularning karraliligini topish uchun koʻpaytuvchilarga ajrating.
3. Y oʻqi bilan kesishish nuqtasini, yaʼni ozod hadni belgilang.
4. Har bir nolda karralilikka qarab kesib oʻtish yoki urinishni aniqlang.
5. Nuqtalarni chetlardagi xatti-harakatga boʻysunadigan va koʻpi bilan $n - 1$ ta burilish nuqtasiga ega silliq egri chiziq bilan tutashtiring.

Bu aniq shaklni beradi, lekin burilish nuqtalarining aniq balandligini bermaydi, buning uchun matematik analiz kerak. Chizgan eskizingizni grafik kalkulyatori bilan solishtirish ishonch hosil qilishning yaxshi yoʻli.

Tatbiq: eng katta ochiq quti

10 ga 16 santimetrli karton varaqning har bir burchagidan tomoni $x$ boʻlgan kvadrat kesib olinadi va yon tomonlari yuqoriga bukilib, ochiq quti yasaladi. Uning hajmi $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. Har bir uzunlik musbat boʻlishi kerakligi sababli amaliy aniqlanish sohasi $0 < x < 5$.

0, 5 va 8 nollari hajm qayerda nolga aylanishini koʻrsatadi. Ular orasida hajm oshadi va kamayadi, maksimumni esa matematik analiz aniq topadi: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$, bu aniqlanish sohasi ichidagi $x = 2$ da nolga teng. Eng katta qutining hajmi $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ kub santimetr. Bunday hosilalar qanday topilishini differensiallash qoidalari qoʻllanmasi koʻrsatadi.

Keng tarqalgan xatolar

• Chetlardagi xatti-harakatni eng yuqori darajali haddan emas, birinchi yozilgan haddan aniqlash.
• Gorner sxemasida yetishmayotgan darajalarning nol koeffitsiyentlarini tushirib qoldirish.
• Juft karralilikni eʼtiborsiz qoldirib, har bir nolni kesib oʻtish nuqtasi deb hisoblash.
• $n - 1$ tadan koʻp burilish nuqtasi bor deb daʼvo qilish.
• $c$ nolni koʻpaytuvchidagi ishora bilan chalkashtirish: 3 noli $(x - 3)$ koʻpaytuvchini beradi.

Koʻphad kalkulyatori nollarni topadi, koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratadi va boʻladi, har bir qadamni koʻrsatadi, shuning uchun yuqoridagi misollarni tekshirishingiz mumkin.

Koʻp beriladigan savollar