Tenglama yechish: chiziqli, kvadrat va koʻphadli tenglamalar bosqichma-bosqich

Q: Kubik tenglamalar qanday yechiladi?

Yechuvchi p/q koʻrinishidagi ratsional ildiz nomzodlarini tekshiradi, topilgan har bir ildizga Gorner sxemasi bilan boʻladi va qolganini yechadi. Qolgan irratsional ildizlar sonli usulda topiladi.

Q: Koʻphadli tenglamaning nechta yechimi boʻlishi mumkin?

n-darajali koʻphadli tenglamaning koʻpi bilan n ta haqiqiy yechimi va karrali ildizlar hisobga olinganda aynan n ta kompleks yechimi bor. x^4 - 5x^2 + 4 = 0 toʻrtinchi darajali tenglamaning toʻrtta haqiqiy ildizi bor: -2, -1, 1 va 2.

Q: Ratsional ildiz haqidagi teorema qanday yordam beradi?

U mumkin boʻlgan ratsional ildizlarni p ozod hadning, q esa bosh koeffitsientning boʻluvchisi boʻlgan p/q kasrlar bilan cheklaydi. Bu taxmin qilish oʻrniga tekshirish uchun qisqa nomzodlar roʻyxatini beradi.

Tenglama yechish kalkulyatori haqida

Tenglama yechuvchi qanday masalaga duch kelganini taniy bilishi kerak. Chiziqli tenglamaga teskari amallar, kvadrat tenglamaga diskriminant kerak, kubik yoki toʻrtinchi darajali tenglamani esa ratsional ildiz haqidagi teorema yordamida qismlarga ajratish mumkin.

Bu yechuvchi imkon boʻlganda hadlarni koʻphadga yigʻadi va uni aniq yechadi. $2^x = 32$ yoki $\sin x = 0.5$ kabi tenglamalar uchun u haqiqiy ildizlarni sonli usulda topadi va ularni koʻrsatilgan oraliqda sanab beradi. Tenglik belgisi boʻlmasa, u ifodani soddalashtiradi yoki qiymatini hisoblaydi.

Tenglama yechuvchi nima?

Tenglama yechuvchi bir nomaʼlumli tenglamani olib, uni qanoatlantiradigan barcha qiymatlarni usuli bilan birga qaytaradi. Usul tenglama turiga bogʻliq. $5x - 3 = 12$ kabi chiziqli tenglamaga faqat teskari amallar kerak. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ kabi koʻphadli tenglamaning ildizlarini birma-bir topish kerak. $2^x = 32$ kabi tenglamada nomaʼlum daraja koʻrsatkichida turadi va u yana boshqacha yechiladi.

Bu yechuvchi avval tenglamani nolga teng bitta ifoda koʻrinishida qayta yozadi, soʻng bu ifoda koʻphad ekanini tekshiradi. Agar shunday boʻlsa, ildizlar aniq topiladi; aks holda haqiqiy ildizlar koʻrsatilgan oraliqda sonli usulda aniqlanadi. Tenglik belgisisiz ifoda kiritsangiz, u yoyiladi va soddalashtiriladi, shunda $(x + 3)^2$ ifoda $x^2 + 6x + 9$ ga aylanadi.

Tenglama yechish kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0 kabi tenglamani yoki (x + 3)^2 kabi ifodani kiriting.
Daraja uchun ^, koʻpaytirish uchun * (son va harf orasida shart emas) va ildizlar uchun sqrt( ) dan foydalaning.
“Yechish” tugmasini bosing. Talqin qatori qaysi usul tanlanganini aytadi.

Formulalar

Ratsional ildiz haqidagi teorema

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Kvadrat tenglama ildizlari formulasi

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Bezu teoremasi natijasi

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ ifoda quyidagining koʻpaytuvchisi: } P(x)

Yechib koʻrsatilgan misol: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

Yechib koʻrsatilgan misolda $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ kubik tenglama yechiladi. Ratsional ildiz haqidagi teoremaga koʻra har qanday ratsional ildiz 6 ning boʻluvchisi boʻlishi kerak, shuning uchun yechuvchi $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ nomzodlarni tekshiradi. U $x = 1$ ni topadi, unga boʻlib $x^2 - 5x + 6$ ni qoldiradi, soʻng $x = 2$ ni topib, $x - 3$ ni qoldiradi va nihoyat $x = 3$ ni oladi. Har bir ildizni dastlabki kubik tenglamaga qoʻyish 0 ni beradi, buni tekshiruvlar tasdiqlaydi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

Masalangizni qanday tushundik

x ga nisbatan 3-darajali koʻphadli tenglama.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Bosqichma-bosqich yechim

Tenglamadan boshlaymiz
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Barcha hadlarni bir tomonga oʻtkazing
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Ratsional ildiz haqidagi teoremadan nomzodlarni tekshiring: x = 1 — ildiz
(x - 1) ga Gorner sxemasi boʻyicha boʻlish 2-darajali koʻphadni qoldiradi.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Ratsional ildiz haqidagi teoremadan nomzodlarni tekshiring: x = 2 — ildiz
(x - 2) ga Gorner sxemasi boʻyicha boʻlish 1-darajali koʻphadni qoldiradi.
$x - 3 = 0$
Ratsional ildiz haqidagi teoremadan nomzodlarni tekshiring: x = 3 — ildiz
(x - 3) ga Gorner sxemasi boʻyicha boʻlish 0-darajali koʻphadni qoldiradi.
Haqiqiy yechimlarni yigʻing
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Qoʻllanilgan formulalar

Ratsional ildiz haqidagi teorema
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

3-darajali koʻphadning karraliligi hisobga olinganda aynan 3 ta ildizi bor (ayrimlari kompleks boʻlishi mumkin). Avval aniq ratsional ildizlar topiladi, soʻng qolganlari aniq yechiladi yoki taqribiy hisoblanadi.

Tekshiruv

x = 1: chap tomon = 0, oʻng tomon = 0 ✓
x = 2: chap tomon = 0, oʻng tomon = 0 ✓
x = 3: chap tomon = 0, oʻng tomon = 0 ✓

Batafsil tushuntirish

Koʻphadli tenglamalar bosqichma-bosqich

Bezu teoremasining natijasiga koʻra $r$ koʻphadning ildizi boʻlishi uchun $x - r$ uning koʻpaytuvchisi boʻlishi zarur va yetarli. Shuning uchun yechuvchi topgan har bir ildiz koʻphadni Gorner sxemasi bilan $x - r$ ga boʻlish va darajani bittaga kamaytirish imkonini beradi. Kvadrat uchhad qolganda diskriminant va ildizlar formulasi ishni aniq yakunlaydi. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ kabi toʻrtinchi darajali tenglama shu tarzda $-2, -1, 1$ va $2$ dan iborat toʻrtta ildizga ajraladi.

Agar qolgan koʻpaytuvchining ratsional ildizlari boʻlmasa, uning haqiqiy ildizlari sonli usulda taqribiy hisoblanadi va ≈ belgisi bilan belgilanadi, kvadrat qismlar uchun esa kompleks ildizlar ham koʻrsatiladi.

Koʻphadli boʻlmagan tenglamalar

Koʻrsatkichli, logarifmik va trigonometrik tenglamalar uchun yechuvchi tenglamani $f(x) = 0$ koʻrinishida yozadi, −100 dan 100 gacha oraliqda $f$ ishorasini oʻzgartiradigan joylarni qidiradi va har birini kesmani teng ikkiga boʻlish usuli bilan aniqlashtiradi. $2^x = 32$ uchun u $x \approx 5$ ni topadi va ikkala tomon 32 ga teng ekanini koʻrsatish uchun uni qayta qoʻyadi. Faqat shu oraliq tekshirilgani sababli yechuvchi bu haqda bosqichlarda aytadi; $\sin x = 0.5$ kabi davriy tenglamalarning cheksiz koʻp yechimi bor va faqat oraliqdagilari koʻrsatiladi.

Koʻp uchraydigan xatolar

(2x)^2 ni nazarda tutib, 2x^2 deb yozish; daraja koʻpaytirishdan oldin bajariladi.
Kubik tenglamadan yagona javob kutish; $n$ -darajali koʻphadning $n$ tagacha haqiqiy ildizi boʻlishi mumkin.
sin x ni qavssiz yozish; sin(x) deb yozing.
Ikkala tomonni $x$ qatnashgan koʻpaytuvchiga boʻlib, shu koʻpaytuvchi nolga teng boʻladigan ildizlarni yoʻqotish.
Koʻpaytuvchilarga ajratishdan oldin barcha hadlarni bir tomonga oʻtkazishni unutish.

Maslahatlar

Formulalarga murojaat qilishdan oldin hammasini bir tomonga oʻtkazing va umumiy koʻpaytuvchilarni qavsdan chiqaring.
Nechta haqiqiy ildiz kutish kerakligini koʻrish uchun grafik chizish kalkulyatoridan foydalaning.
Koʻrsatkichli tenglamalarda ikkala tomonni bir xil asos bilan yozish mumkinligini tekshiring.
Agar barcha koeffitsientlar yigʻindisi 0 boʻlsa, $x = 1$ ildiz boʻladi; yechib koʻrsatilgan misolda aynan shunday.
Avval talqin qatorini oʻqing; u kiritilgan maʼlumot qanday tushunilganini va qaysi usul qoʻllanganini aytadi.
Boʻlishdan oldin $x$ kabi umumiy koʻpaytuvchini qavsdan chiqaring; $x^3 = 4x$ ning ikkita emas, uchta yechimi bor.

Koʻp beriladigan savollar

Bu yechuvchi qanday tenglamalarni yecha oladi?

Istalgan darajadagi chiziqli, kvadrat va koʻphadli tenglamalarni, maxrajida x boʻlgan kasr-ratsional tenglamalarni hamda koʻrsatkichli, logarifmik yoki trigonometrik funksiyali bir oʻzgaruvchili tenglamalarni (sonli usulda).

Kubik tenglamalar qanday yechiladi?

Yechuvchi $\frac{p}{q}$ koʻrinishidagi ratsional ildiz nomzodlarini tekshiradi, topilgan har bir ildizga Gorner sxemasi bilan boʻladi va qolganini yechadi. Qolgan irratsional ildizlar sonli usulda topiladi.

Nega javobda ≈ belgisi bor?

Taqribiylik belgisi ildiz aniq yopiq formula bilan emas, sonli usulda taxminan 10 ta qiymatli raqamgacha aniqlikda topilganini bildiradi.

Ifodani tenglik belgisisiz soddalashtirsa boʻladimi?

Ha. Yoyish va soddalashtirish uchun (x + 3)^2 kabi ifodani yoki qiymatini hisoblash uchun sonli ifodani kiriting.

U kompleks ildizlarni topadimi?

Kompleks ildizlar kvadrat tenglamalar uchun va haqiqiy ildizlar ajratib olingandan keyin koʻphadlar uchun beriladi. Koʻphadli boʻlmagan tenglamalar haqiqiy sonlar toʻplamida yechiladi.

Javoblar tekshiriladimi?

Ha. Har bir ildiz dastlabki tenglamaga qoʻyiladi va qoldiq tekshiruv boʻlimida koʻrsatiladi.

Koʻphadli tenglamaning nechta yechimi boʻlishi mumkin?

$n$ -darajali koʻphadli tenglamaning koʻpi bilan $n$ ta haqiqiy yechimi va karrali ildizlar hisobga olinganda aynan $n$ ta kompleks yechimi bor. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ toʻrtinchi darajali tenglamaning toʻrtta haqiqiy ildizi bor: $-2, -1, 1$ va $2$ .

Ratsional ildiz haqidagi teorema qanday yordam beradi?

U mumkin boʻlgan ratsional ildizlarni $p$ ozod hadning, $q$ esa bosh koeffitsientning boʻluvchisi boʻlgan $\frac{p}{q}$ kasrlar bilan cheklaydi. Bu taxmin qilish oʻrniga tekshirish uchun qisqa nomzodlar roʻyxatini beradi.

Ifodani yechmasdan soddalashtira olamanmi?

Ha. Tenglik belgisini qoʻymang, shunda kalkulyator yechish oʻrniga qavslarni ochadi va oʻxshash hadlarni ixchamlaydi. $(x + 3)^2$ kiritilsa, $x^2 + 6x + 9$ qaytariladi.

Istalgan tenglamani yeching

Yuqoriga tenglama yoki ifoda kiriting. Yechuvchi uning turini aniqlaydi, usulni tanlaydi va koʻrsatgan har bir ildizini tekshiradi.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash