Integral kalkulyatori

Q: Aniq va aniqmas integrallar orasidagi farq nima?

Aniqmas integral — F(x) + C funksiyalar oilasi. Aniq integralning chegaralari bor va u son: egri chiziq va x oʻqi orasidagi ishorali yuz.

Q: Nega + C yoziladi?

Hosilasi f ga teng boʻlgan barcha funksiyalar bir-biridan oʻzgarmasga farq qiladi, shuning uchun aniqmas integral ixtiyoriy C oʻzgarmasni oʻz ichiga oladi.

Q: 1/(x^2 + 1) ning integrali nimaga teng?

Bu arktangens: ∫ 1/(x^2 + 1) dx = arctan x + C. Kalkulyator bu standart koʻrinishni ham, umumiy 1/(a^2 + u^2) variantini ham taniydi.

Integral kalkulyatori haqida

Integrallash differensiallashning teskarisi: $f$ ning $F$ boshlangʻich funksiyasi $F'(x) = f(x)$ shartni qanoatlantiradi. $\int_a^b f(x)\,dx$ aniq integral ishorali yuzni yigʻadi va Nyuton–Leybnits formulasiga koʻra $F(b) - F(a)$ ga teng.

Kalkulyator standart usullarni tartib bilan sinaydi: chiziqlilik va daraja qoidasi, jadval integrallari, oʻrniga qoʻyish, boʻlaklab integrallash hamda sodda ratsional funksiyalar uchun sodda kasrlarga ajratish. Soʻng tasdiqlash uchun oʻz javobini differensiallaydi. $e^{x^2}$ kabi baʼzi funksiyalarning elementar boshlangʻich funksiyasi yoʻq; ular uchun aniq integral baribir sonli hisoblanadi va shunday deb belgilanadi.

Aniqmas integral uchun ikkala chegarani boʻsh qoldiring, aniq integral uchun esa ikkalasini ham toʻldiring.

Integral nima?

Integrallash differensiallashning teskarisi va ayni paytda cheksiz koʻp kichik boʻlaklarni qoʻshish usuli. $f$ ning boshlangʻich funksiyasi — hosilasi $f$ ga teng boʻlgan $F$ funksiya: $\frac{d}{dx}\frac{x^3}{3} = x^2$ boʻlgani uchun $\frac{x^3}{3}$ funksiya $x^2$ ning boshlangʻich funksiyasi. $\int f(x)\,dx$ aniqmas integral barcha boshlangʻich funksiyalar oilasini bildiradi, ular bir-biridan oʻzgarmasga farq qiladi, shuning uchun $+ C$ yoziladi.

$\int_a^b f(x)\,dx$ aniq integral — son: $f$ grafigi va x oʻqi orasidagi $a$ dan $b$ gacha boʻlgan ishorali yuz, bunda oʻqdan pastdagi yuz manfiy hisoblanadi. U Riman yigʻindilarining limiti sifatida aniqlanadi: oraliq ingichka yoʻlaklarga boʻlinadi va toʻgʻri toʻrtburchaklar yuzlari qoʻshiladi. Nyuton–Leybnits formulasi bu ikki gʻoyani bogʻlaydi: $F$ ning $f$ ning istalgan boshlangʻich funksiyasi boʻlsa, $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

Integrallar tezliklardan umumiy miqdorlarni hisoblaydi: tezlikdan masofani, kuchdan ishni, zichlikdan massani, zichlik egri chizigʻidan ehtimollikni va sotuv tezligidan jamlangan daromadni.

Integral kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Integral ostidagi funksiyani kiriting, masalan, x*e^x yoki 2x*cos(x^2). ∫ … dx koʻrinishida yoki chegaralar bilan, masalan, 0 dan 1 gacha yozishingiz ham mumkin.
Boshlangʻich funksiya uchun chegaralarni boʻsh qoldiring yoki aniq integral uchun ikkala chegarani kiriting. pi va e ishlatish mumkin.
Qoʻllangan usulni, boshlangʻich funksiyani va aniq integrallar uchun ikkala chegaradagi qiymatni koʻrish uchun “Integrallash” tugmasini bosing.

Formulalar

Daraja qoidasi

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1

Oʻrniga qoʻyish

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

Boʻlaklab integrallash

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Nyuton–Leybnits formulasi

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Yechib koʻrsatilgan misol: ∫ x·eˣ dx

Ishlangan misolda $\int x e^x\,dx$ topiladi. Integral ostidagi funksiya koʻphad va koʻrsatkichli funksiya koʻpaytmasi — bu boʻlaklab integrallashning klassik holati. Kalkulyator jadval usulidan foydalanadi: $x$ ni 0 gacha differensiallaydi ( $x$ , 1, 0 hosil boʻladi), $e^x$ ni shuncha marta integrallaydi va diagonal koʻpaytmalarni navbatlashuvchi ishoralar bilan birlashtirib, $xe^x - e^x$ ni oladi. Koʻpaytuvchilarga ajratilsa, bu $e^x(x - 1) + C$ . Natija uni sonli differensiallab, bir nechta nuqtada $xe^x$ bilan solishtirish orqali tekshiriladi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

{e}^{x} \left( x-1\right) + C

Masalangizni qanday tushundik

xe^x ning x boʻyicha aniqmas integralini (boshlangʻich funksiyasini) toping.

\int x {e}^{x}\,dx

Bosqichma-bosqich yechim

Integraldan boshlaymiz
$\int x {e}^{x}\,dx$
Boʻlaklab integrallash (jadval usuli)
x koʻphadni 0 ga yetguncha differensiallang, e^x ni shuncha marta integrallang va navbatlashuvchi ishoralar bilan birlashtiring.
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Navbatlashuvchi koʻpaytmalarni birlashtirish
$\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right)$
Soddalashtirish va integrallash oʻzgarmasini qoʻshish
$\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right) + C$

Qoʻllanilgan formulalar

Darajani darajaga koʻtarish qoidasi
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1$

F boshlangʻich funksiya F′(x) = f(x) shartni qanoatlantiradi. Har qanday oʻzgarmasning hosilasi 0 boʻlgani uchun barcha boshlangʻich funksiyalar bir-biridan oʻzgarmas C ga farq qiladi.

Tekshiruv

Javob differensiallanib, integral ostidagi funksiya bilan 8 ta nuqtada solishtirildi ✓

Batafsil tushuntirish

Usulni tanlash

Har bir integral uchun qoʻlda bajariladigan yagona algoritm yoʻq, shuning uchun asosiy mahorat — koʻrinishni tanib olish. Chiziqlilikdan boshlang: yigʻindilarni ajrating va oʻzgarmas koʻpaytuvchilarni chiqaring, soʻng darajalar, koʻrsatkichli funksiyalar, $\frac1x$ va trigonometrik funksiyalar uchun asosiy integrallar jadvalidan foydalaning. Integral ostidagi funksiyaning bir qismi boshqa qismining hosilasi boʻlsa, oʻrniga qoʻyishni sinang. U koʻphad va koʻrsatkichli funksiya yoki koʻphad va sinus kabi ikki xil funksiyaning koʻpaytmasi boʻlsa, boʻlaklab integrallashni sinang. Ratsional funksiyalar sodda kasrlarga ajratishni talab qiladi, $\frac{1}{x^2 + 1}$ kabi koʻrinishlar esa teskari trigonometrik funksiyalarga olib keladi.

Kalkulyator bu usullarni shunga oʻxshash tartibda sinaydi va muvaffaqiyatli boʻlganini nomlaydi, shuning uchun uning qadamlari keyingi safar qaysi usulni tanlash boʻyicha qoʻllanma vazifasini ham bajaradi.

Oʻrniga qoʻyish bosqichma-bosqich

Oʻrniga qoʻyish murakkab funksiya hosilasi qoidasini teskari bajaradi. $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ da ichki funksiya $x^2$ , uning hosilasi $2x$ esa koʻpaytuvchi sifatida qatnashadi, shuning uchun $u = x^2$ va $du = 2x\,dx$ deb olamiz. Integral $\int \cos u\,du = \sin u$ ga aylanadi, qayta oʻrniga qoʻyish esa $\sin(x^2) + C$ ni beradi. Kalkulyator bu satrlarning har birini koʻrsatadi. Ichki funksiyaning hosilasi faqat oʻzgarmas koʻpaytuvchi aniqligida qatnashsa, masalan, $x\cos(x^2)$ da, xuddi shu almashtirish $\frac12$ ga tuzatishdan keyin ishlaydi.

Boʻlaklab integrallash va jadval usuli

Boʻlaklab integrallash koʻpaytma qoidasini teskari bajaradi: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . $u$ sifatida differensiallanganda soddalashadigan koʻpaytuvchini, odatda koʻphadni, $dv$ sifatida esa oson integrallanadigan koʻpaytuvchini tanlang. $u$ darajasi $n$ boʻlgan koʻphad boʻlsa, jarayonni $n$ marta takrorlash uni nolga keltiradi, jadval usuli esa bu takrorlashlarni ikki ustunga joylashtiradi. Shuning uchun ishlangan misol ikki qatordan keyin tugaydi: $x$ ning hosilasi 1, soʻng 0.

Aniq integrallar va chegaralar

Masalani aniq integralga aylantirish uchun quyi va yuqori chegaralarni toʻldiring. Kalkulyator avval boshlangʻich funksiyani topadi, soʻng Nyuton–Leybnits formulasini qoʻllaydi: $\int_0^3 x^2\,dx$ uchun $F(x) = \frac{x^3}{3}$ dan foydalanib, $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$ ni hisoblaydi. Chegaralar pi/2 kabi ifodalar boʻlishi mumkin. Agar sizga faqat son kerak boʻlsa, maxsus aniq integral kalkulyatori elementar boshlangʻich funksiya mavjud boʻlmaganda ham yuzni sonli hisoblab ishlaydi.

Elementar boshlangʻich funksiya mavjud boʻlmaganda

$e^{x^2}$ , $\frac{\sin x}{x}$ va $\sqrt{1 + x^3}$ kabi oddiy koʻrinadigan baʼzi funksiyalarning boshlangʻich funksiyalarini koʻphadlar, ildizlar, koʻrsatkichli funksiyalar, logarifmlar va trigonometrik funksiyalarning chekli birikmasi bilan yozib boʻlmaydi. Bu usuldagi kamchilik emas, isbotlangan fakt. Bunday kiritmalar uchun kalkulyator boshlangʻich funksiyani oʻylab topish oʻrniga uni topa olmaganini aytadi, aniq oraliqdagi aniq integral esa baribir sonli hisoblanishi mumkin.

Masalan, aniq integral kalkulyatori $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ ni sonli hisoblaydi va natijani taqribiy deb belgilaydi.

Integrallash oʻzgarmasi nega muhim

Har qanday oʻzgarmasning hosilasi nolga teng boʻlgani uchun $\frac{x^3}{3}$ , $\frac{x^3}{3} + 5$ va $\frac{x^3}{3} - 2$ ning hammasining hosilasi $x^2$ . Ularning grafiklari bir-birining vertikal siljishlari, $+ C$ esa butun shu oilani ifodalaydi. Boshlangʻich shart deb ataladigan qoʻshimcha maʼlumot boʻlganda oʻzgarmas aniqlanadi. Tezlik $v(t) = 2t$ va 0 vaqtdagi koordinata 4 boʻlsa, integrallash $s(t) = t^2 + C$ ni beradi, $s(0) = 4$ esa $C = 4$ ni taqozo qiladi. Aniq integralda oʻzgarmas $F(b) - F(a)$ da qisqarib ketadi, shuning uchun u sonli javobda hech qachon koʻrinmaydi.

Ishorali yuz va umumiy yuz

Aniq integral x oʻqidan yuqoridagi yuzni musbat, pastdagisini manfiy hisoblaydi. Bitta toʻliq davr boʻyicha $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$ , garchi egri chiziq musbat yuzni chegaralasa ham: oʻqdan yuqoridagi doʻnglik va pastdagi chuqurlik bir-birini aniq yoʻqqa chiqaradi. Masalada egri chiziq va oʻq orasidagi umumiy yuz soʻralsa, funksiya ishora oʻzgartiradigan joylarni toping, har bir boʻlakni alohida integrallang va modullarni qoʻshing. $[0, 2\pi]$ dagi $\sin x$ uchun bu $2 + 2 = 4$ ni beradi.

Xuddi shu farq harakat masalalarida ham uchraydi. Tezlikni integrallash koordinataning sof oʻzgarishini beradi, tezlik modulini integrallash esa bosib oʻtilgan umumiy masofani beradi.

Qadamlarni oʻqish

Har bir qadam integralning bitta almashtirishini koʻrsatadi: sarlavhada qoida yoki jadval yozuvi, ostida esa formula. Chiziqlilik qadamlari masalani birma-bir yechiladigan, soʻng qayta birlashtiriladigan kichikroq integrallarga ajratadi, shuning uchun uzun integral ostidagi funksiya bitta katta sakrash emas, balki qisqa qadamlarning uzunroq roʻyxatini beradi. Oʻrniga qoʻyish ishlatilganda $u$ kiritiladigan satr $du$ ni ham koʻrsatadi — usul nega ishlashini aynan shu yerda koʻrasiz. Oxirgi qadam aniqmas integral uchun har doim integrallash oʻzgarmasini qoʻshadi, aniq integral uchun esa chegaralarni qoʻyadi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Aniqmas integrallarda $+\,C$ integrallash oʻzgarmasini unutish.
$\int x^{-1}dx$ uchun daraja qoidasini qoʻllash; javob $\ln|x| + C$ .
Ichki hosilaga tuzatish kiritmaslik: $\int \cos 2x\,dx = \frac12\sin 2x + C$ .
$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx$ kabi vertikal asimptota orqali oʻtuvchi integralni oddiy integral kabi hisoblash.
Oʻrniga qoʻyishdan keyin oʻzgaruvchini almashtirishni yoki qayta qaytarishni unutish.
Koʻpaytmani integrallar koʻpaytmasi sifatida integrallash; $\int x e^x\,dx$ $\frac{x^2}{2}e^x$ ga teng emas.

Maslahatlar

Funksiya va uning hosilasi birga qatnashayotganini qidiring; bu oʻrniga qoʻyish belgisi.
Boʻlaklab integrallashda $u$ sifatida differensiallanganda soddalashadigan koʻpaytuvchini tanlang (logarifm, teskari trigonometrik, algebraik, trigonometrik, koʻrsatkichli tartibi).
Har qanday boshlangʻich funksiyani differensiallab tekshiring.
Har qanday boshlangʻich funksiyani differensiallab tekshiring; aynan integral ostidagi funksiya qaytib chiqishi kerak.
Integral ostida ichki funksiyaning hosilasi turganini qidiring; bu oʻrniga qoʻyish belgisi.
Boʻlaklab integrallashda $u$ ni logarifm, teskari trigonometrik, algebraik, trigonometrik, koʻrsatkichli tartibida tanlang.

Koʻp beriladigan savollar

Aniq va aniqmas integrallar orasidagi farq nima?

Aniqmas integral — $F(x) + C$ funksiyalar oilasi. Aniq integralning chegaralari bor va u son: egri chiziq va x oʻqi orasidagi ishorali yuz.

Qaysi integrallash usullari qoʻllab-quvvatlanadi?

Chiziqlilik, daraja qoidasi, standart jadval integrallari, chiziqli va umumiy u-almashtirish, boʻlaklab integrallash (takroriy va jadval holatlari bilan) hamda kvadrat maxrajlar uchun sodda kasrlarga ajratish.

Nega + C yoziladi?

Hosilasi $f$ ga teng boʻlgan barcha funksiyalar bir-biridan oʻzgarmasga farq qiladi, shuning uchun aniqmas integral ixtiyoriy $C$ oʻzgarmasni oʻz ichiga oladi.

Boshlangʻich funksiya topilmasa nima boʻladi?

Kalkulyator taxmin qilish oʻrniga buni aytadi. Chegaralarni bersangiz, u baribir aniq integralni moslashuvchan Simpson usuli bilan sonli hisoblaydi va javobni taqribiy deb belgilaydi.

pi ni chegara sifatida ishlatsam boʻladimi?

Ha. Chegaralar sonlar yoki pi, pi/2 yoki e kabi ifodalar boʻlishi mumkin.

Xosmas integrallar bilan ishlaydimi?

Hozircha yoʻq. Integral ostidagi funksiya oraliq ichida aniqlanmagan yoki cheksiz boʻlsa, kalkulyator chalgʻituvchi son qaytarish oʻrniga integral xosmas ekanini aytadi.

Boʻlaklab integrallashda u qanday tanlanadi?

Differensiallanganda soddalashadigan koʻpaytuvchini, odatda koʻphad yoki logarifmni tanlang, $dv$ esa oson integrallanadigan koʻpaytuvchi boʻlsin. $\int x e^x\,dx$ uchun $u = x$ va $dv = e^x\,dx$ ni oling.

Oʻrniga qoʻyishdan qachon foydalanishni qanday bilaman?

Hosilasi ham koʻpaytuvchi sifatida qatnashgan, boshqa funksiya ichidagi funksiyani qidiring. $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ da ichki $x^2$ ning hosilasi $2x$ , shuning uchun $u = x^2$ ishlaydi.

1/(x^2 + 1) ning integrali nimaga teng?

Bu arktangens: $\int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$ . Kalkulyator bu standart koʻrinishni ham, umumiy $\frac{1}{a^2 + u^2}$ variantini ham taniydi.

Funksiyangizni integrallang

Boshlangʻich funksiyani, har bir qadamda qoʻllangan usulni va sonli tekshiruvni olish uchun yuqoriga chegaralar bilan yoki chegarasiz funksiya kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash