Aniq integral kalkulyatori

Nega F(b) − F(a) yuzni beradi

$f$ ostidagi $a$ dan harakatlanuvchi $t$ nuqtagacha boʻlgan yuzni oʻlchaydigan $A(t)$ yuz funksiyasini tasavvur qiling. $t$ ni juda kichik $h$ miqdorga oldinga surilsa, qoʻshimcha yuz balandligi taxminan $f(t)$ va kengligi $h$ boʻlgan ingichka yoʻlak boʻladi, shuning uchun $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. $h$ ga boʻlib, uni kichraytirib borish $A'(t) = f(t)$ ekanini koʻrsatadi: yuz funksiyasi $f$ ning boshlangʻich funksiyasi.

Istalgan ikki boshlangʻich funksiya faqat oʻzgarmasga farq qiladi, shuning uchun siz topgan har qanday $F$ boshlangʻich funksiya uchun $A(t) = F(t) + C$. $A(a) = 0$ boʻlgani uchun oʻzgarmas $-F(a)$ ga teng, toʻliq yuz esa $A(b) = F(b) - F(a)$. Integrallash oʻzgarmasi aniq integralda hech qachon koʻrinmasligining sababi ham shu: u ayirishda qisqarib ketadi.

Ishorali yuz va absolyut yuz

Grafik oʻqdan pastga tushsa, integral shu qismni ayiradi. $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ uchun musbat va manfiy doʻngliklar bir-birini aniq yoʻqqa chiqaradi va javob 0. Bu integralning toʻgʻri qiymati, lekin grafikda boʻyaladigan yuz emas.

Umumiy yuzni topish uchun funksiyaning oraliq ichidagi nollarini aniqlang, har bir boʻlakda integrallang va boʻlaklar modullarini qoʻshing. Kalkulyator abs() ni qabul qiladi, shuning uchun 0 dan 2 gacha abs(x-1) ni kiritish ikki uchburchakning umumiy yuzi 1 ni qaytaradi, xuddi shu oraliqdagi x-1 esa 0 ni qaytaradi.

Xosmas integrallar: cheksiz chegaralar va vertikal asimptotalar

Uchlardan biri cheksiz boʻlsa yoki integral ostidagi funksiya oraliqning biror joyida chegaralanmagan boʻlsa, integral xosmas boʻladi. Shunda qiymat limit sifatida aniqlanadi. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ uchun kalkulyator $F(x) = -\frac1x$ ni topadi, $x \to \infty$ dagi limitni oladi, u 0 ga teng, $F(1) = -1$ ni ayiradi va integral 1 ga yaqinlashishini aytadi.

Asimptotalar ham xuddi shunday hisoblanadi. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 2 ga yaqinlashadi, chunki $2\sqrt{x}$ ning 0 dagi limiti chekli, $\int_0^1 \frac1x\,dx$ esa uzoqlashadi, chunki $\ln x$ $-\infty$ ga intiladi. Ikkala integral ostidagi funksiya ham nolda cheksizga ketadi; natijani qanchalik tez ketishi hal qiladi. Maxsus nuqta oraliq oʻrtasida boʻlsa, integralni shu yerda boʻlish kerak va har bir yarmi alohida yaqinlashishi shart.

Butun sonlar oʻqida ikkala uch uchun ham limit kerak. Kalkulyator $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ ni $-\frac{\pi}{2}$ dan $\frac{\pi}{2}$ gacha $\arctan x$ sifatida hisoblaydi va aynan $\pi$ ni qaytaradi.

Formula boʻlmaganda: sonli integrallash

Baʼzi mutlaqo oddiy funksiyalarning boshlangʻich funksiyalarini elementar funksiyalar bilan yozib boʻlmaydi. Qoʻngʻiroqsimon $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ va $\sqrt{1 + x^3}$ — standart misollar. Ularning aniq integrallari baribir mavjud; ular shunchaki sonli hisoblanishi kerak.

Bu holda kalkulyator moslashuvchan Simpson usulidan foydalanadi: u egri chiziqning kichik boʻlaklariga parabolalar moslaydi va baho hali aniq boʻlmagan joylarda boʻlishni davom ettirib, xatoni $10^{-10}$ dan kichik qilishga intiladi. $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ uchun u taxminan 0.7468241328 ni beradi va aniq qiymat bilan hech qachon adashtirilmasligi uchun uni sonli yaqinlashish deb belgilaydi.

Ishni tejaydigan foydali xossalar

Chegaralar oʻrnini almashtirish ishorani oʻzgartiradi, shuning uchun $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Kengligi nol boʻlgan oraliq boʻyicha integral nolga teng. $x^3$ yoki $\sin x$ kabi toq funksiyaning simmetrik $[-a, a]$ oraliq boʻyicha integrali nolga teng, juft funksiyaniki esa 0 dan $a$ gacha boʻlgan integralning ikki baravariga teng. Hisoblashdan oldin simmetriyani payqash chalkash masalani bir qatorli javobga aylantirishi mumkin.

Integrallar chiziqli hamdir: oʻzgarmaslar tashqariga chiqariladi, yigʻindilar esa alohida integrallarga ajraladi. Oraliqni boʻlish qoidasi bilan birga bu xossalar murakkab sohani har biri oson hisoblanadigan boʻlaklarga ajratish imkonini beradi.