Xususiy hosila kalkulyatori

Xususiy hosila kalkulyatori haqida

Fan va iqtisoddagi koʻpchilik kattaliklar bir nechta kiruvchi qiymatga bogʻliq. Silindr hajmi uning radiusi va balandligiga, kompaniya foydasi narx va reklama xarajatlariga, xonadagi harorat esa uchala koordinataga bogʻliq. Xususiy hosila bunday funksiya haqidagi aniq savolga javob beradi: bitta kiruvchi qiymat oʻzgarib, qolganlari qoʻzgʻalmay tursa, natija qanchalik tez oʻzgaradi?

Bu kalkulyator shu tezliklarni aniq hisoblaydi. $x^2 y + \sin(xy)$ kabi funksiyani yozing, oʻzgaruvchini tanlang — u yigʻindi, oʻzgarmas koʻpaytuvchi, daraja, koʻpaytma va murakkab funksiya qoidalaridan foydalanib, qolgan har bir harfni oʻzgarmas deb hisoblagan holda hadma-had differensiallaydi. Har bir qoida alohida qadam boʻlib chiqadi, shuning uchun nega $\cos(xy)$ oldida $y$ saqlanib qolishini va $x$ boʻyicha differensiallaganda $4y$ kabi had nega yoʻqolishini koʻrasiz.

Yuqori tartibli hosilalar ham xuddi shunday hisoblanadi. $x$ boʻyicha ikkinchi xususiy hosila uchun xx, avval $x$ , soʻng $y$ boʻyicha olinadigan aralash hosila uchun xy kiriting. Natijani nuqtada hisoblash uchun x = 1, y = 2 kabi nuqtani qoʻshing. Har bir javob koʻrsatilishidan oldin chekli ayirmalar yordamidagi sonli baho bilan tekshiriladi.

Xususiy hosila nima?

$f(x, y)$ funksiya uchun $x$ boʻyicha xususiy hosila, yaʼni $\frac{\partial f}{\partial x}$ yoki $f_x$ , $y$ ni tayinlangan son deb hisoblaganda olinadigan oddiy hosiladir. Rasman $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . Egri $\partial$ belgisi boshqa oʻzgaruvchilar ham borligini va ular oʻzgarmas tutilayotganini bildiradi.

Geometrik nuqtayi nazardan $f(x, y)$ ning grafigi sirtdir. Bu sirtni $y =$ oʻzgarmas tekisligi bilan kessak, egri chiziq hosil boʻladi va $f_x$ shu egri chiziqning qiyaligidir. Xuddi shunday, $f_y$ esa $y$ -yoʻnalishdagi kesimning qiyaligi. Birinchi tartibli xususiy hosilalar birgalikda $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ gradient vektorini tashkil qiladi, u eng tez oʻsish yoʻnalishini koʻrsatadi.

Xususiy hosilalar optimallashtirishda (kritik nuqtalarda barcha birinchi xususiy hosilalar nolga teng), fizikada (issiqlik oʻtkazuvchanlik, toʻlqin va Laplas tenglamalari ular orqali yoziladi), iqtisodda (chegaraviy xarajat va chegaraviy foydalilik) hamda mashinali oʻqitishda uchraydi — u yerda gradientlar har bir neyron tarmoqni oʻqitishni harakatlantiradi.

Xususiy hosila kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Funksiyani oʻzgaruvchi sifatida istalgan harflardan foydalanib yozing, masalan, x^2 y + sin(x y) yoki x^3 y^2 + 4y. Harflar orasidagi boʻsh joy yoki * koʻpaytirishni bildiradi.
“Qaysi oʻzgaruvchi boʻyicha hosila olinadi” maydoniga x yoki y kabi oʻzgaruvchini kiriting.
Yuqori tartiblar uchun har bir differensiallashga bitta harfni tartib bilan yozing: f_xx uchun xx, f_xy uchun xy (avval x, soʻng y), yyx va hokazo.
Xohlasangiz, hosilani shu nuqtada hisoblash uchun har bir oʻzgaruvchiga x = 1, y = 2 kabi qiymat bering.
“Hosila olish” tugmasini bosing va har biri qoʻllangan qoida bilan belgilangan qadamlarni kuzating.

Formulalar

Taʼrif

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Aralash xususiy hosila belgilanishi

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Klero teoremasi

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{ikkalasi uzluksiz boʻlganda}

Gradiyent vektori

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Xususiy hosila ichidagi murakkab funksiya qoidasi

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Yechib koʻrsatilgan misol: x²y + sin(xy) dan x boʻyicha ∂/∂x

Quyidagi ishlangan misol $x$ boʻyicha differensiallanadigan $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ uchun jonli hisoblanadi. $y$ oʻzgarmas tutilganda birinchi had oʻzgarmasning $x^2$ ga koʻpaytmasi, shuning uchun u $2xy$ ga aylanadi. Ikkinchi had murakkab funksiya qoidasini talab qiladi: $\sin u$ ning hosilasi $\cos u$ ning $\frac{\partial u}{\partial x}$ ga koʻpaytmasi, $u = xy$ uchun esa bu ichki hosila $y$ ga teng.

Qismlarni qoʻshsak, $2xy + y\cos(xy)$ hosil boʻladi, kalkulyator uni $f_x = y(2x + \cos(xy))$ koʻrinishida koʻpaytuvchilarga ajratadi. Eʼtibor bering, $y$ hech qachon differensiallanmaydi; u xuddi shu oʻrinda turgan 5 soni kabi oʻzini tutadi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

Masalangizni qanday tushundik

f(x, y) ning birinchi tartibli f_x xususiy hosilasini toping.

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Bosqichma-bosqich yechim

Funksiya va differensiallash tartibini aniqlash
x boʻyicha differensiallang; qolgan har bir (y) oʻzgaruvchi oʻzgarmas deb olinadi.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Yigʻindi qoidasi: har bir hadni alohida differensiallang
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Murakkab funksiya qoidasi — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Oʻzgarmas koʻpaytuvchi qoidasi
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Oʻzgarmas koʻpaytuvchi qoidasi
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Daraja qoidasi: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Soddalashtirish: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Qoʻllanilgan formulalar

Taʼrif
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Aralash xususiy hosilalar (Klero)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{ikkalasi uzluksiz boʻlganda}$

Xususiy hosila faqat bitta oʻzgaruvchi oʻzgarganda f qanday oʻzgarishini oʻlchaydi: qolgan oʻzgaruvchilar xuddi sonlar kabi qaraladi, shuning uchun odatdagi differensiallash qoidalari qoʻllanadi.

Tekshiruv

Mustaqil simvolik differensiallagich bilan bir nechta nuqtada solishtirildi ✓

Batafsil tushuntirish

Boshqa oʻzgaruvchilarni oʻzgarmas tutish

Har bir xususiy hosila ortidagi yagona gʻoya shuki, differensiallanmayotgan oʻzgaruvchilar “muzlatiladi”. Buni tasavvur qilish qiyin boʻlsa, avval ularning oʻrniga haqiqiy son qoʻying. $x^3 y^2 + 4y$ ni $y$ boʻyicha differensiallash $x = 2$ boʻlganda $8y^2 + 4y$ ni differensiallashga oʻxshaydi: javob $2 \cdot 8y + 4$ koʻrinishida boʻladi, 8 oʻrniga yana $x^3$ ni qoʻysak, $f_y = 2x^3 y + 4$ chiqadi.

Bu qaysi hadlar yoʻqolishini ham tushuntiradi. Faqat muzlatilgan oʻzgaruvchilardan iborat had oʻzgarmasdir, shuning uchun uning xususiy hosilasi nolga teng. $f = x^2 + 3xy$ da $y$ boʻyicha xususiy hosila $x^2$ ni butunlay eʼtiborsiz qoldiradi va $f_y = 3x$ ni beradi.

Tanish qoidalar oʻz kuchida

Xususiy differensiallash bir oʻzgaruvchili analizdagi aynan oʻsha qoidalardan foydalanadi: daraja, yigʻindi, oʻzgarmas koʻpaytuvchi, koʻpaytma, boʻlinma va murakkab funksiya qoidalari. Faqat hisob-kitobni yuritish oʻzgaradi. Ikkala koʻpaytuvchisida ham $x$ boʻlgan koʻpaytmani $x$ boʻyicha differensiallashda koʻpaytma qoidasi kerak, lekin koʻpaytuvchilardan birida faqat $y$ boʻlsa, u shunchaki oʻzgarmas koʻpaytuvchi.

Xatolarning aksariyati murakkab funksiya qoidasida uchraydi. Funksiya $e^{xy}$ yoki $\ln(x^2 + y^2)$ kabi bir nechta oʻzgaruvchili ifodaga qoʻllanganda, ichki hosila ham xususiy hosila boʻladi. Shuning uchun $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ va $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

Ikkinchi tartibli va aralash xususiy hosilalar

Xususiy hosilani yana differensiallash ikkinchi tartibli xususiy hosilani beradi. Ikki oʻzgaruvchili funksiyada ular toʻrtta: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ hamda $f_{xy}$ va $f_{yx}$ aralash hosilalar. Indeksli belgilash chapdan oʻngga oʻqiladi, yaʼni $f_{xy}$ avval $x$ , soʻng $y$ boʻyicha differensiallashni bildiradi. $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ kasr koʻrinishidagi belgilash esa oʻngdan chapga oʻqiladi va xuddi shu narsani ifodalaydi.

$f = x^2 y^3$ uchun $x$ boʻyicha differensiallash $2xy^3$ ni, soʻng $y$ boʻyicha differensiallash $f_{xy} = 6xy^2$ ni beradi, bu $(1, 2)$ nuqtada 24 ga teng. Teskari tartibda differensiallash $3x^2y^2$ ni, keyin yana $6xy^2$ ni beradi. Bu moslik Klero teoremasidir: ikkinchi tartibli xususiy hosilalari uzluksiz funksiyalar uchun aralash differensiallash tartibi ahamiyatsiz. Kalkulyator aralash hosilani hisoblaganda buni tekshiruv sifatida qayd etadi.

Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning aniq qoʻllanishlari bor. $f(x, y)$ ning kritik nuqtasi uchun ikkinchi hosila alomatida $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ kattalik nuqta lokal maksimum, lokal minimum yoki egar nuqta ekanini hal qiladi.

Nuqtadagi qiymat va sonni talqin qilish

Xususiy hosilaning oʻzi ham barcha oʻzgaruvchilarning funksiyasi, shuning uchun uning qiymati qayerda turganingizga bogʻliq. $f = x^2 + 3xy$ uchun $f_x = 2x + 3y$ hosila $(1, 2)$ nuqtada 8 ga teng. Bu shuni anglatadiki, shu nuqta yaqinida $y = 2$ ni saqlagan holda $x$ ni kichik $\Delta x$ miqdorga oshirsak, $f$ taxminan $8\,\Delta x$ ga oshadi.

Oʻlchov birliklari talqinni aniqroq qiladi. Agar $V(r, h) = \pi r^2 h$ silindrning kub santimetrlardagi hajmi boʻlsa, $V_r = 2\pi r h$ radiusning har bir santimetriga toʻgʻri keladigan kub santimetrlarda oʻlchanadi va balandlik tayinlanganda hajm radius oʻzgarishiga qanchalik sezgir ekanini koʻrsatadi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Oʻzgarmas tutilgan oʻzgaruvchini ham differensiallash, masalan, $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ deb yozish.
$x$ boʻyicha differensiallashda $4y$ kabi hadni saqlab qolish; u oʻzgarmas va 0 ni beradi.
Murakkab funksiya qoidasida ichki xususiy hosilani unutish, masalan, $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ uchun $\cos(xy)$ deb yozish.
$f_{xy}$ ni notoʻgʻri tartibda oʻqish; indekslar tartibi differensiallash tartibidir.
$y$ ning oʻzi $x$ ga bogʻliq boʻlganda $\frac{\partial f}{\partial x}$ ni $\frac{df}{dx}$ toʻliq hosila bilan adashtirish.

Maslahatlar

Nima oʻzgarmas ekanini chalkashtirib yuborsangiz, muzlatilgan oʻzgaruvchilarni xayolan sonlar bilan almashtiring.
Differensiallashdan oldin oʻzgarmaslarni qavsdan chiqaring; $x$ boʻyicha differensiallaganda $x^2 y^3$ bu $y^3$ ning $x^2$ ga koʻpaytmasi.
Klero teoremasidan bepul tekshiruv sifatida foydalaning: $f_{xy}$ va $f_{yx}$ ni hisoblab, solishtiring.
Ikkala birinchi xususiy hosila tayyor boʻlishi bilan $\nabla f$ ni yozing; koʻpchilik qoʻllanishlarga butun gradient kerak.
Ifodalar boshqarib boʻladigan boʻlib qolishi uchun ikkinchisini olishdan oldin birinchi hosilani soddalashtiring.
Funksiya shu yoʻnalishda oʻsadimi yoki kamayadimi, bilish uchun xususiy hosilaning nuqtadagi ishorasini tekshiring.

Koʻp beriladigan savollar

Ikki oʻzgaruvchili funksiyani qanday yozaman?

Oʻzgaruvchilar uchun harflardan, koʻpaytirish uchun boʻsh joy yoki * dan foydalaning, masalan, x^2 y + sin(x y) yoki x^2*y + sin(x*y). sin yoki log kabi funksiya nomi boʻlmagan har qanday harf oʻzgaruvchi deb qaraladi.

f_xx kabi ikkinchi tartibli xususiy hosilani qanday olaman?

“Qaysi oʻzgaruvchi boʻyicha hosila olinadi” maydoniga har bir differensiallash uchun oʻzgaruvchini bir martadan yozing: f_xx uchun xx, f_yy uchun yy. Kalkulyator ketma-ket differensiallaydi va har bir bosqichni alohida koʻrsatadi.

f_xy va f_yx bir xilmi?

Kursda uchraydigan deyarli barcha funksiyalar uchun ha. Aralash xususiy hosilalar uzluksiz boʻlganda Klero teoremasi buni kafolatlaydi. Kalkulyator solishtirish natijasini koʻrsatadi, shuning uchun mosligini koʻrishingiz mumkin.

∂ belgisi nimani bildiradi?

Bu xususiy hosilalar uchun ishlatiladigan yumaloq d harfi. U funksiyaning bir nechta oʻzgaruvchisi borligini va differensiallash paytida maxrajdagisidan boshqa barchasi oʻzgarmas tutilayotganini bildiradi.

Xususiy hosilani nuqtada hisoblay oladimi?

Ha. Ixtiyoriy maydonga har bir oʻzgaruvchi uchun x = 1, y = 2 kabi qiymat kiriting. Kalkulyator ularni yakuniy hosilaga qoʻyib, sonni beradi, masalan, f_x = 2x + 3y ifoda (1, 2) da 8 ga aylanadi.

Uch oʻzgaruvchi bilan ishlaydimi?

Ha. x y z yoki x^2 + y z kabi funksiyani uning istalgan harfi boʻyicha differensiallash mumkin. x y z uchun z boʻyicha xususiy hosila xy ga teng.

Xususiy hosila oddiy hosiladan nimasi bilan farq qiladi?

Qoidalar bir xil, lekin oddiy hosilada bitta oʻzgaruvchi boʻladi, xususiy hosila esa bir nechta oʻzgaruvchidan birini tanlab, qolganlarini oʻzgarmas deb hisoblaydi. Natija baribir barcha oʻzgaruvchilarning funksiyasi boʻlib qoladi.

Gradient nima va xususiy hosilalar uni qanday hosil qiladi?

Gradient — ⟨f_x, f_y⟩ kabi barcha birinchi tartibli xususiy hosilalardan iborat vektor. U funksiya eng tez oʻsadigan yoʻnalishni koʻrsatadi, uzunligi esa shu eng katta oʻsish tezligiga teng.

Nega mening xususiy hosilam darslikdagi javobdan farq qiladi?

Teng kuchli ifodalarni koʻp usulda yozish mumkin. Kalkulyator umumiy hadni qavsdan chiqarishi, masalan, 2xy + y cos(xy) oʻrniga y(2x + cos(xy)) deb yozishi yoki koʻpaytuvchilarni boshqa tartibda joylashtirishi mumkin. Mosligini tasdiqlash uchun ikkala shaklni ochib chiqing yoki bir xil nuqtada hisoblang.

Koʻp oʻzgaruvchili funksiyangizni differensiallang

Har bir qoida koʻrsatilgan birinchi, ikkinchi yoki aralash xususiy hosilalarni olish uchun yuqorida funksiyani va differensiallash oʻzgaruvchilarini kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash