Oshkormas differensiallash bosqichma-bosqich

Oshkor va oshkormas tenglamalar

Oshkor tenglama $y$ ni bevosita $x$ dagi formula sifatida beradi, masalan, $y = x^2 + 1$. Biroq koʻplab muhim egri chiziqlar oshkormas tarzda, yaʼni $x$ va $y$ ni bogʻlovchi tenglama bilan tavsiflanadi. $x^2 + y^2 = 25$ aylana — tanish misol. Uni $y$ ga nisbatan yechish ikki funksiyani beradi: yuqori yarmi uchun $y = \sqrt{25 - x^2}$ va pastki yarmi uchun $y = -\sqrt{25 - x^2}$, ularning har birini alohida differensiallash esa noqulay.

Baʼzi egri chiziqlarni, masalan, $x^3 + y^3 = 6xy$ yoki $e^y + xy = e$ ni oddiy algebra bilan $y$ ga nisbatan umuman yechib boʻlmaydi. Ularning grafiklari baribir deyarli har bir nuqtada urinmaga ega va ogʻmalarni topadigan vosita — oshkormas differensiallash. Usul butunlay murakkab funksiya qoidasiga tayanadi, shuning uchun agar bu qoida sizga mustahkam boʻlmasa, avval hosila qoidalari tushuntirilgan maqolasini takrorlab chiqing.

Toʻrt qadamdan iborat usul

1. Tenglamaning ikkala tomonini $x$ boʻyicha differensiallang.
2. $y$ qatnashgan ifodani differensiallaganda har safar $\frac{dy}{dx}$ ga koʻpaytiring, chunki $y$ — $x$ ning funksiyasi va murakkab funksiya qoidasi qoʻllaniladi.
3. $\frac{dy}{dx}$ qatnashgan barcha hadlarni bir tomonga, qolganlarini esa boshqa tomonga yigʻing.
4. $\frac{dy}{dx}$ ni qavsdan tashqariga chiqaring va uni ajratish uchun boʻling.

2-qadam ortidagi asosiy fakt — murakkab funksiya qoidasidan kelib chiqadigan quyidagi ayniyat, bu yerda $f$ — istalgan differensiallanuvchi funksiya:

Demak, $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ va $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. $xy$ kabi koʻpaytmalar uchun koʻpaytma qoidasi ham kerak: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Misol: aylana

Eʼtibor bering, oshkormas javob ikkala yarm uchun bir vaqtda ishlaydi: $(3, -4)$ da ogʻma $+\frac{3}{4}$. Formula urinmalar qayerda gorizontal ekanini ham koʻrsatadi — $x = 0$ boʻlganda, $(0, 5)$ va $(0, -5)$ da, qayerda vertikal ekanini ham — $y = 0$ boʻlganda, $(5, 0)$ va $(-5, 0)$ da. Javobda $x$ bilan birga $y$ ham qatnashadi, bu oshkormas hosilalar uchun odatiy holat; son olish uchun faqat $x$ qiymati emas, balki egri chiziqdagi nuqta kerak.

y ga nisbatan yechib boʻlmaydigan misollar

Ikkinchi tartibli hosilalar

$\frac{d^2y}{dx^2}$ ni topish uchun birinchi hosilani yana oshkormas differensiallang, soʻng birinchi hosilani qayta oʻrniga qoʻying. Aylana uchun $y' = -\frac{x}{y}$ dan boshlang va boʻlinma qoidasidan foydalaning:

Oxirgi qadamda soddalashtirish uchun dastlabki tenglama $x^2 + y^2 = 25$ dan foydalaniladi — bu usul koʻpincha qoʻl keladi. Natija $y > 0$ boʻlgan yuqori yarmida manfiy, demak, u yerda egri chiziq yuqoriga qavariq, pastki yarmida esa musbat — bu aylana tasviriga mos keladi.

Teskari funksiyalar hosilalarini keltirib chiqarish

Oshkormas differensiallash teskari funksiyalar hosilalari qayerdan kelishini tushuntiradi. $y = \arctan x$ boʻlsin. U holda $\tan y = x$. Differensiallash $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$ ni beradi, demak, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Xuddi shu yondashuv $e^y = x$ koʻrinishida qayta yozilgan $y = \ln x$ uchun $e^y\frac{dy}{dx} = 1$ ni beradi, demak, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Umuman olganda, teskari funksiyalar haqidagi maqolamizda tasvirlanganidek, teskari funksiyaning ogʻmasi mos nuqtadagi dastlabki ogʻmaga teskari kattalikdir.

Bogʻliq tezliklar

Oʻzgaruvchilar vaqtga bogʻliq boʻlganda xuddi shu gʻoya $x$ oʻrniga $t$ boʻyicha ishlaydi. Har bir oʻzgaruvchi oʻz tezligiga ega boʻladi.

Keng tarqalgan xatolar

• $y$ qatnashgan hadni differensiallaganda $\frac{dy}{dx}$ koʻpaytuvchini unutish.
• Koʻpaytma qoidasidan foydalanish oʻrniga $xy$ ni bitta oʻzgaruvchi deb hisoblash.
• Oʻng tomondagi oʻzgarmasni oʻzgaruvchi kabi differensiallash; oʻzgarmaslar 0 ni beradi.
• Differensiallashdan oldin sonlarni qoʻyish — bu oʻzgarayotgan miqdorlarni “muzlatib” qoʻyadi.
• Aslida egri chiziqda yotmaydigan nuqtadan foydalanish. Har doim avval nuqtani tekshiring.

Oshkormas differensiallash kalkulyatori har bir qadamni bajaradi, hosila qatnashgan hadlarni yigʻadi va nuqtadagi ogʻmani hisoblay oladi. Oshkor funksiyalar uchun hosila kalkulyatoridan foydalaning.

Usul nega toʻgʻri

Oshkormas differensiallash bizni qiziqtirgan nuqta atrofida egri chiziq haqiqatan ham qandaydir differensiallanuvchi $y(x)$ funksiyaning grafigi ekanini faraz qiladi, garchi bu funksiyani yozib bera olmasak ham. Uni tenglamaga qoʻyish tenglamani $x$ dagi ayniyatga aylantiradi, u nuqta atrofidagi har bir $x$ uchun oʻrinli. Har bir $x$ uchun teng boʻlgan ikki ifodaning hosilalari ham teng boʻlishi shart, shuning uchun ikkala tomonni differensiallashimiz mumkin.

Bu faraz faqat maxsus nuqtalarda, masalan, urinma vertikal boʻlgan yoki egri chiziq oʻzini kesib oʻtadigan joylarda buziladi. Dekart yaprogʻi koordinatalar boshida oʻzini kesib oʻtadi va u yerda hosila formulasi $\frac{0}{0}$ ni beradi. Bunday nuqtalarda egri chiziq lokal jihatdan bitta funksiyaning grafigi emas, shuning uchun yagona ogʻmaga ega emas. Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalar analizida uchraydigan oshkormas funksiya haqidagi teorema bu faraz qachon xavfsiz ekanini aniq belgilaydi.

Xususiy hosilalar bilan qisqa yoʻl

Agar egri chiziq $F(x, y) = 0$ koʻrinishida yozilgan boʻlsa, xuddi shu mulohazadan ogʻma uchun ixcham formula kelib chiqadi:

Bu yerda $F_x$ va $F_y$ — xususiy hosilalar boʻlib, ular bitta oʻzgaruvchi boʻyicha differensiallab, ikkinchisini oʻzgarmas deb hisoblash orqali topiladi. Aylana uchun $F = x^2 + y^2 - 25$ dan $F_x = 2x$ va $F_y = 2y$ kelib chiqadi, demak, ogʻma avvalgidek $-\frac{x}{y}$. Xususiy hosila kalkulyatori siz uchun $F_x$ va $F_y$ ni hisoblaydi.

Javoblari bilan mashqlar

1. $x^2 - y^2 = 9$. Javob: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, $(3, 4)$ dagi ogʻma. Javob: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, u yerda bu $-\frac{4}{3}$ ga teng.
3. $y^3 + y = x$. Javob: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, bu doim musbat, demak, egri chiziq doim koʻtariladi.
4. $\cos y = x$. Javob: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, bu arkkosinusning hosilasiga olib keladi.

Har biri uchun javobingizni tekshiring: egri chiziqda nuqta tanlang, ogʻmani yaqin nuqta yordamida sonli baholang va solishtiring.

Oshkormas egri chiziqlar qayerda uchraydi

Oshkormas tenglamalar amaliyotda keng tarqalgan. Ellips va giperbola kabi konus kesimlari tabiiy ravishda oshkormas koʻrinishda yoziladi. Iqtisodiyotda befarqlik egri chizigʻi isteʼmolchiga bir xil qoniqish beradigan ikki tovar miqdorlarini bogʻlaydi va uning oshkormas topilgan ogʻmasi isteʼmolchi bir tovarni boshqasiga qanday nisbatda almashishini koʻrsatadi. Termodinamikada holat tenglamalari bosim, hajm va haroratni bogʻlaydi, oshkormas differensiallash esa bittasi oʻzgartirilganda boshqasi qanday oʻzgarishini beradi. Ikki miqdor formula bilan emas, balki qoida bilan bogʻlangan har qanday holatda bu usul ularning oʻzgarish tezligini beradi.

Koʻp beriladigan savollar