Analizga kirish

Teskari funksiyalar: teskari funksiyani qanday topish, chizish va tekshirish

Q: Teskari funksiya teskari kasr bilan bir xilmi?

Yoʻq. f^(-1) teskari funksiya f ni bekor qiladi, 1/(f(x)) teskari kasr esa 1 ni funksiya qiymatiga boʻladi. f(x) = x + 5 uchun teskari funksiya x - 5, teskari kasr esa 1/(x + 5).

Q: Nega aniqlanish va qiymatlar sohalari oʻrin almashadi?

Chunki teskari funksiya f ning qiymatlarini kirish sifatida oladi va f ning kirishlarini natija sifatida qaytaradi. f hosil qila oladigan barcha qiymatlar aynan teskari funksiya qabul qiladigan qiymatlarga aylanadi.

Q: Har bir chiziqli funksiya teskari funksiyaga egami?

m ≠ 0 boʻlgan har bir mx + b chiziqli funksiya ega va uning teskarisi (x - b)/m. m = 0 boʻlgan oʻzgarmas funksiya esa har bir kirishni bir xil qiymatga oʻtkazadi, shuning uchun teskari funksiyaga ega emas.

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Teskari funksiya dastlabki funksiya bajargan ishni bekor qiladi. Agar $f$ 2 ni 7 ga oʻtkazsa, uning teskarisi 7 ni yana 2 ga qaytaradi. Ushbu qoʻllanma teskari funksiya qachon mavjudligini, uning formulasini qanday topishni va qanday tekshirishni tushuntiradi.

Teskari funksiya nima qiladi

Funksiya kirish qiymatini olib, natija chiqaradi. $f^{-1}$ deb yoziladigan teskari funksiya jarayonni orqaga qaytaradi: u $f$ ning qiymatini olib, uni hosil qilgan kirishni qaytaradi. Agar $f(a) = b$ boʻlsa, $f^{-1}(b) = a$ . Birini, soʻng ikkinchisini bajarsangiz, boshlangan joyga qaytasiz.

f^{-1}(f(x)) = x \text{, bunda } x \text{ quyidagining aniqlanish sohasida: } f, \qquad f(f^{-1}(x)) = x \text{, bunda } x \text{ quyidagining aniqlanish sohasida: } f^{-1}

Oddiy kundalik misol bu haroratni oʻtkazish. $F = \frac{9}{5}C + 32$ funksiya Selsiyni Farengeytga oʻtkazadi. Uning teskarisi $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ esa orqaga oʻtkazadi. Birinchisiga 37 daraja Selsiyni bersangiz, 98.6 daraja Farengeyt chiqadi, ikkinchisiga 98.6 ni bersangiz, 37 qaytadi.

Belgilanishga ehtiyot boʻlish kerak. $f^{-1}$ dagi $-1$ daraja koʻrsatkichi emas. $f^{-1}(x)$ teskari funksiya $\frac{1}{f(x)}$ teskari kasrdan farq qiladi. $f(x) = 2x$ uchun teskari funksiya $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$ , teskari kasr esa $\frac{1}{2x}$ .

Teskari funksiya qachon mavjud?

Funksiyani teskari aylantirish faqat har bir qiymat aynan bitta kirishdan kelgan boʻlsa ishlaydi. Bunday funksiya oʻzaro bir qiymatli yoki inyektiv deyiladi. Agar ikki turli kirish bir xil qiymat bersa, qaysi kirishni qaytarishni bilishning iloji yoʻq, shuning uchun bu sohada teskari funksiya mavjud emas.

$f(x) = x^2$ funksiya barcha haqiqiy sonlarda bu sinovdan oʻtmaydi, chunki $f(3) = f(-3) = 9$ . 9 ni bekor qilish soʻralganda teskari funksiya 3 ni yoki $-3$ ni qaytarishni bilmaydi. Grafik jihatdan bu gorizontal toʻgʻri chiziq sinovidir: funksiya aynan hech bir gorizontal toʻgʻri chiziq uning grafigini bir martadan koʻp kesmaganda oʻzaro bir qiymatli boʻladi. $y = 9$ toʻgʻri chiziq $y = x^2$ parabolani ikki marta kesadi, shuning uchun parabola sinovdan oʻtmaydi.

Doimo oʻsuvchi yoki doimo kamayuvchi funksiyalar sinovdan avtomatik oʻtadi. Burchak koeffitsiyenti noldan farqli chiziqli funksiyalar, $x^3$ , $e^x$ va $\ln x$ oʻzlarining tabiiy aniqlanish sohalarida oʻzaro bir qiymatli.

Teskari funksiyani algebraik usulda qanday topish mumkin

$f(x)$ ni $y$ bilan almashtiring.
Hamma joyda $x$ va $y$ ning oʻrnini almashtiring.
Yangi tenglamani $y$ ga nisbatan yeching.
$y$ ni $f^{-1}(x)$ bilan almashtiring va uning aniqlanish sohasini yozing, u $f$ ning qiymatlar sohasiga teng.

1-misol: $f(x) = 3x - 4$

$y = 3x - 4$ deb yozing va oʻrinlarini almashtiring: $x = 3y - 4$ .
Yeching: $3y = x + 4$ , demak, $f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}$ .
Tekshirish: $f(f^{-1}(x)) = 3 \cdot \frac{x + 4}{3} - 4 = x$ .

2-misol: $f(x) = x^3 + 2$

Oʻrinlarini almashtiring: $x = y^3 + 2$ , demak, $y^3 = x - 2$ .
Kub ildiz chiqaring: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 2}$ , u har qanday haqiqiy $x$ uchun aniqlangan.
Bitta nuqtada tekshiring: $f(1) = 3$ va $f^{-1}(3) = \sqrt[3]{1} = 1$ .

3-misol: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$

Oʻrinlarini almashtiring: $x = \frac{2y + 1}{y - 3}$ .
Maxrajga koʻpaytiring: $x(y - 3) = 2y + 1$ , demak, $xy - 2y = 3x + 1$ .
$y$ ni qavsdan tashqariga chiqaring: $y(x - 2) = 3x + 1$ , demak, $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ .
Aniqlanish va qiymatlar sohalari oʻrin almashadi: $f$ ning aniqlanish sohasi $x \neq 3$ , qiymatlar sohasi $y \neq 2$ , $f^{-1}$ ning esa aniqlanish sohasi $x \neq 2$ , qiymatlar sohasi $y \neq 3$ .

Oʻrin almashtirgandan keyin $y$ bir necha marta qatnashsa, barcha $y$ li hadlarni bir tomonga yigʻing va $y$ ni qavsdan tashqariga chiqaring, xuddi 3-misoldagidek.

Aniqlanish sohasini cheklash

Oʻzaro bir qiymatli boʻlmagan funksiya ham, agar uning aniqlanish sohasi oʻzaro bir qiymatli boʻladigan qismga cheklansa, teskari funksiyaga ega boʻlishi mumkin. Kvadrat ildizlar va teskari trigonometrik funksiyalar aynan shunday aniqlanadi.

$f(x) = x^2$ ni $x \ge 0$ ga cheklash parabolaning faqat oʻng yarmini qoldiradi, u esa oʻzaro bir qiymatli. Uning teskarisi $x \ge 0$ uchun $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ . Buning oʻrniga $x \le 0$ tanlansa, $-\sqrt{x}$ hosil boʻlardi.

4-misol: $x \ge 2$ da $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

$x \ge 2$ da funksiya oʻsuvchi, qiymatlar sohasi $[1, \infty)$ .
Oʻrinlarini almashtiring: $x = (y - 2)^2 + 1$ , demak, $(y - 2)^2 = x - 1$ .
Kvadrat ildiz chiqaring. $y \ge 2$ boʻlgani uchun musbat ildizni tanlang: $y - 2 = \sqrt{x - 1}$ .
Demak, aniqlanish sohasi $[1, \infty)$ boʻlgan $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 1}$ .

Teskari trigonometrik funksiyalar ham xuddi shunday ishlaydi. Sinus oʻzaro bir qiymatli emas, shuning uchun $\arcsin x$ sinusning $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ga cheklangan qismiga teskari funksiya sifatida aniqlanadi. Shuning uchun $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ emas: javob cheklangan oraliqda yotishi kerak.

Koʻrsatkichli funksiyalar va logarifmlar

Analizga kirish kursidagi eng muhim teskari juftlik $e^x$ va $\ln x$ : har qanday haqiqiy $x$ uchun $\ln(e^x) = x$ va $x > 0$ uchun $e^{\ln x} = x$ . Umumiyroq qilib aytganda, $\log_b x$ funksiya $b^x$ ga teskari. Logarifmlar qoʻllanmasi ularning barcha qoidalarini shu faktdan keltirib chiqaradi.

5-misol: $f(x) = e^{x - 1} + 3$

Oʻrinlarini almashtiring: $x = e^{y - 1} + 3$ , demak, $e^{y - 1} = x - 3$ .
Natural logarifmlang: $y - 1 = \ln(x - 3)$ .
Demak, $x > 3$ uchun $f^{-1}(x) = 1 + \ln(x - 3)$ , bu $f$ ning $(3, \infty)$ qiymatlar sohasiga mos keladi.

Teskari funksiyalarning grafiklari

Teskari funksiya kirish va qiymatlarning oʻrnini almashtirgani uchun $f$ grafigidagi har bir $(a, b)$ nuqta $f^{-1}$ grafigida $(b, a)$ nuqtaga aylanadi. Geometrik jihatdan koordinatalarning oʻrnini almashtirish $y = x$ toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik aks ettirishdir. Demak, teskari funksiya grafigi dastlabki grafikning shu diagonal chiziqqa nisbatan koʻzgudagi aksidir.

Bu teskari funksiyani tez chizish yoʻlini va foydali tekshiruvni beradi: $e^x$ va $\ln x$ grafiklari bir-birining aksi, $x^3$ va $\sqrt[3]{x}$ ham shunday. Xususiyatlar ham oʻrin almashadi. $f$ ning gorizontal asimptotasi $f^{-1}$ ning vertikal asimptotasiga aylanadi, 3-misolda aynan shunday boʻldi. Ikkala funksiyani $y = x$ toʻgʻri chiziq bilan birga grafik kalkulyatorida chizish simmetriyani yaqqol koʻrsatadi.

Teskari funksiyani tekshirish

Ikki funksiya oʻzaro teskari ekanini isbotlash uchun ularning ikkala tartibdagi kompozitsiyasini tuzing va soddalashtiring. Agar ikkala kompozitsiya ham tegishli sohalarda $x$ ga teng boʻlsa, funksiyalar oʻzaro teskari. 3-misol uchun:

f\!\left(\frac{3x + 1}{x - 2}\right) = \frac{2\cdot\frac{3x + 1}{x - 2} + 1}{\frac{3x + 1}{x - 2} - 3} = \frac{\frac{6x + 2 + x - 2}{x - 2}}{\frac{3x + 1 - 3x + 6}{x - 2}} = \frac{7x}{7} = x

Tezroq norasmiy tekshiruv bu bitta kirishni tanlash, unga $f$ ni, soʻng teskari funksiyangizni qoʻllash va kirish qaytib kelishini koʻrishdir. Bu formula toʻgʻriligini isbotlamaydi, lekin xatolarning aksariyatini aniqlaydi. Kompozitsiya funksiyalar kompozitsiyasi qoʻllanmasida batafsilroq tushuntirilgan.

Matematik analizda teskari funksiyalar

Agar $f$ differensiallanuvchi va oʻzaro bir qiymatli boʻlsa, teskari funksiyaning biror nuqtadagi ogʻmasi $f$ ning mos nuqtadagi ogʻmasiga teskari songa teng. Agar $f(a) = b$ va $f'(a) \neq 0$ boʻlsa:

(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}

$f(x) = x^3 + x$ uchun $f(1) = 2$ va $f'(x) = 3x^2 + 1$ , demak, $f'(1) = 4$ va $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$ . Bu $f^{-1}$ formulasini topish juda qiyin boʻlsa ham ishlaydi. $\ln x$ ning hosilasi $\frac{1}{x}$ ekanining sababi ham shu, chunki $\ln$ funksiya $e^x$ ga teskari.

Keng tarqalgan xatolar

$f^{-1}(x)$ ni $\frac{1}{f(x)}$ deb tushunish.
$x$ va $y$ ning oʻrnini almashtirishni unutish, bunda dastlabki funksiya shunchaki qayta yoziladi.
Oʻzaro bir qiymatli boʻlmagan funksiya uchun aniqlanish sohasini cheklamasdan formula topish.
Aniqlanish sohasini cheklagandan keyin kvadrat ildizning notoʻgʻri ishorasini tanlash.
Teskari funksiyaning aniqlanish sohasini koʻrsatmaslik, holbuki u dastlabki funksiyaning qiymatlar sohasiga teng boʻlishi kerak.

Teskari funksiya kalkulyatori oʻrin almashtirish va yechish qadamlarini koʻrsatadi hamda natijani kompozitsiya orqali tekshiradi.

Jadvallardagi va amaliyotdagi teskari funksiyalar

Har doim ham formula kerak emas. Agar jadval oʻzaro bir qiymatli funksiyani ifodalasa, uning teskarisi ikki ustunning oʻrnini almashtirish orqali topiladi. Faraz qilaylik, yetkazib berish kompaniyasi ogʻirlik boʻyicha haq oladi va uning narxlar jadvalida 1 kilogramm 6 dollar, 2 kilogramm 9 dollar, 3 kilogramm esa 12 dollar turishi koʻrsatilgan. Teskari jadval qarama-qarshi savolga javob beradi: mijoz qancha toʻlaganini bilgan holda, posilka qancha ogʻir edi? 9 dollar toʻlov 2 kilogrammni bildiradi. Agar ikki xil ogʻirlik bir xil narxga ega boʻlganida, teskari savol yagona javobga ega boʻlmasdi, bu amaliy vaziyatda namoyon boʻlgan oʻzaro bir qiymatlilik shartidir.

Koʻplab real formulalar ikkala yoʻnalishda ishlatiladi. Kredit kalkulyatori olingan summadan oylik toʻlovni hisoblaydi, uning teskarisi esa siz toʻlay oladigan toʻlov uchun qancha qarz olishingiz mumkinligini aytadi. Porsiyalar soniga qarab moslashtirilgan retseptni teskari aylantirib, maʼlum miqdordagi undan nechta porsiya chiqishini topish mumkin. Fanda kalibrlash egri chizigʻi maʼlum konsentratsiyani asbob koʻrsatkichiga aylantiradi, teskarisi esa oʻlchangan koʻrsatkichni yana konsentratsiyaga aylantiradi. Har safar teskari funksiya aynan dastlabki bogʻlanish muhim qiymatlar oraligʻida oʻzaro bir qiymatli boʻlgani uchun foydalidir.

Teskari funksiyalarga shunday qarash algebraik qadamlarni ham tabiiy qiladi. $x$ va $y$ ning oʻrnini almashtirish kirish va natija rollari almashganini ixcham ifodalash usuli, $y$ ga nisbatan yechish esa teskari savolga javob berishdir.

Koʻp beriladigan savollar

Teskari funksiya teskari kasr bilan bir xilmi?

Yoʻq. $f^{-1}$ teskari funksiya $f$ ni bekor qiladi, $\frac{1}{f(x)}$ teskari kasr esa 1 ni funksiya qiymatiga boʻladi. $f(x) = x + 5$ uchun teskari funksiya $x - 5$ , teskari kasr esa $\frac{1}{x + 5}$ .

Teskari funksiya mavjudligini grafikdan qanday bilsa boʻladi?

Gorizontal toʻgʻri chiziq sinovidan foydalaning. Agar biror gorizontal toʻgʻri chiziq grafikni bir martadan koʻp kesib oʻtsa, funksiya oʻzaro bir qiymatli emas va aniqlanish sohasini cheklamaguningizcha teskari funksiyaga ega emas.

Nega aniqlanish va qiymatlar sohalari oʻrin almashadi?

Chunki teskari funksiya $f$ ning qiymatlarini kirish sifatida oladi va $f$ ning kirishlarini natija sifatida qaytaradi. $f$ hosil qila oladigan barcha qiymatlar aynan teskari funksiya qabul qiladigan qiymatlarga aylanadi.

Har bir chiziqli funksiya teskari funksiyaga egami?

$m \neq 0$ boʻlgan har bir $mx + b$ chiziqli funksiya ega va uning teskarisi $\frac{x - b}{m}$ . $m = 0$ boʻlgan oʻzgarmas funksiya esa har bir kirishni bir xil qiymatga oʻtkazadi, shuning uchun teskari funksiyaga ega emas.

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.