Funksiyalar kompozitsiyasi kalkulyatori

Funksiyalar kompozitsiyasi kalkulyatori haqida

Kompozitsiya ikki funksiyani zanjirga bogʻlaydi: birining chiqishi ikkinchisining kirishiga aylanadi. Murakkab formulalar soddalaridan aynan shunday quriladi: $\sqrt{x - 4}$ — 4 ni ayirgandan keyin qoʻllangan kvadrat ildiz, $(2x - 3)^2 + 1$ esa chiziqli almashtirishdan keyin qoʻllangan kvadratga koʻtarish va birni qoʻshish. Bu qatlamlarni ajrata bilish zanjir qoidasi, teskari funksiyalar va bosqichma-bosqich kechadigan jarayonlarni modellashtirish uchun juda muhim.

Bu kalkulyator bir funksiyani ikkinchisiga qoʻyadi, natijada qavslarni ochib soddalashtiradi va murakkab funksiyaning aniqlanish sohasini, jumladan ichki funksiyadan meros qolgan cheklovlarni ham topadi. Agar qiymat kiritsangiz, u kompozitsiyani shu nuqtada ichkaridan tashqariga qarab ham hisoblaydi, shunda son har bir funksiyadan navbatma-navbat qanday oʻtishini koʻrasiz.

Funksiyalar kompozitsiyasi nima?

$f$ ning $g$ bilan kompozitsiyasi $(f \circ g)(x)$ deb yoziladi va $f(g(x))$ sifatida aniqlanadi: avval $g$ qoʻllanadi, soʻng natijaga $f$ qoʻllanadi. Oʻngda yozilgan funksiya birinchi ishlaydi — bu oʻqish tartibiga teskari.

Kompozitsiya kommutativ emas. $f(x) = x^2$ va $g(x) = x + 1$ uchun $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , $g(f(x)) = x^2 + 1$ esa boshqacha. Funksiyani oʻzi bilan ham kompozitsiya qilish mumkin: $f \circ f$ funksiya $f$ ni ikki marta qoʻllaydi.

Funksiyalar kompozitsiyasi kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Tashqi f(x) funksiyani va ikkinchi g(x) funksiyani, ikkalasini ham $x$ orqali kiriting.
Kompozitsiyani tanlang: f∘g, g∘f, f∘f yoki g∘g.
Xohlasangiz, murakkab funksiyani shu nuqtada hisoblash uchun $x$ qiymatini kiriting.
Oʻrniga qoʻyish, soddalashtirilgan natija va uning aniqlanish sohasini koʻrish uchun “Kompozitsiya tuzish” tugmasini bosing.
Natija qanday oʻzgarishini koʻrish uchun teskari tartib bilan solishtiring.

Formulalar

Taʼrif

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Kompozitsiyaning aniqlanish sohasi

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Assotsiativlik

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Teskari funksiyani tekshirish

f(f^{-1}(x)) = x

Yechib koʻrsatilgan misol: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, x = 2 da

Misolda $f(x) = x^2 + 1$ va $g(x) = 2x - 3$ olinib, $f \circ g$ tuziladi. $f$ dagi har bir $x$ butun $2x - 3$ ifoda bilan almashtiriladi va $(2x - 3)^2 + 1$ hosil boʻladi, qavslar ochilganda u $4x^2 - 12x + 10$ ga teng.

Misolda $x = 2$ dagi qiymat ham hisoblanadi. Bosqichma-bosqich: $g(2) = 1$ va $f(1) = 2$ ; soddalashtirilgan formula $16 - 24 + 10 = 2$ ni, yaʼni xuddi shu qiymatni beradi. Ikkala funksiya ham koʻphad, shuning uchun aniqlanish sohasi — barcha haqiqiy sonlar.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

Masalangizni qanday tushundik

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) ni toping va qiymatini hisoblang.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Bosqichma-bosqich yechim

Funksiyalarni yozing
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) yozuvi f(g(x)) ni bildiradi: f dagi har bir x oʻrniga g(x) ni qoʻying
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Oʻrniga qoʻying
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Qavslarni oching va oʻxshash hadlarni ixchamlang
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Aniqlanish sohasi: x qiymati g da ruxsat etilgan boʻlishi, g(x) qiymati esa f da ruxsat etilgan boʻlishi kerak
$\text{Aniqlanish sohasi } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
x = 2 da ichkaridan tashqariga qarab hisoblang: avval g(2) = 1
$g(2) = 1$
Soʻng f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Qoʻllanilgan formulalar

Kompozitsiya
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

Kompozitsiya g ning chiqishini f ga uzatadi. Tartib muhim: f∘g avval g ni qoʻllaydi va odatda g∘f dan farq qiladi. Aniqlanish sohasi soddalashtirishdan oldin topiladi, chunki koʻpaytuvchilarni qisqartirish murakkab funksiya qabul qila olmaydigan qiymatlarni yashirib qoʻyishi mumkin.

Tekshiruv

Tekshirildi: f(g(x)) va yakuniy formula tanlangan nuqtalarda mos keladi.
Tekshirildi: soddalashtirilgan formula ham x = 2 da 2 ni beradi.

Batafsil tushuntirish

Toʻgʻri oʻrniga qoʻyish

Kompozitsiya tuzishning eng ishonchli usuli — tashqi funksiyani $x$ oʻrniga boʻsh qavslar bilan qayta yozish, masalan, $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , soʻng ichki ifodani butunligicha har bir qavs ichiga qoʻyish. Qavslar muhim: $x^2$ dagi $x$ ni $2x - 3$ bilan almashtirish $2x - 3^2$ ni emas, $(2x - 3)^2$ ni beradi.

Oʻrniga qoʻyilgach, natijada qavslar ochiladi va oʻxshash hadlar ixchamlanadi. Kalkulyator oʻz hisobingiz bilan solishtirishingiz uchun avval soddalashtirilmagan oʻrniga qoʻyishni, soʻng soddalashtirilgan shaklni koʻrsatadi.

Aniqlanish sohasini topish

Kirish qiymati $f \circ g$ ning aniqlanish sohasiga faqat $g$ uni qabul qilsa va $f$ esa $g$ chiqargan qiymatni qabul qilsagina tegishli. $f(x) = \sqrt{x}$ va $g(x) = x - 4$ uchun $g$ har qanday sonni qabul qiladi, lekin $f$ ga manfiy boʻlmagan kirish kerak, shuning uchun $x - 4 \geq 0$ va aniqlanish sohasi $[4, \infty)$ .

Ichki funksiyadan kelgan cheklovlar soddalashtirish ularni yashirib qoʻysa ham saqlanib qoladi. $f(x) = x^2$ va $g(x) = \sqrt{x}$ boʻlganda murakkab funksiya $x$ ga soddalashadi, biroq faqat $x \geq 0$ ga ruxsat bor, chunki avval $g$ aniqlangan boʻlishi kerak. Shu sababli aniqlanish sohasi faqat yakuniy formuladan emas, ikkala bosqichdan hisoblanadi.

Kompozitsiya qayerda qoʻllanadi

Matematik analizdagi zanjir qoidasi kompozitsiyani differensiallaydi: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . Undan foydalanishda birinchi qadam — ichki va tashqi funksiyalarni aniqlash. Kompozitsiya oʻlchov birliklarini almashtirishni, takroriy foiz oʻzgarishlarini va grafiklarni almashtirishlarni ham tavsiflaydi: $f(x - 2)$ — bu $f$ ning oʻngga ikki birlik siljish bilan kompozitsiyasi.

Dekompozitsiya — teskari koʻnikma: $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ berilgan boʻlsa, $h = f \circ g$ boʻladigan qilib ichki funksiya $g(x) = 3x + 7$ va tashqi funksiya $f(x) = \sqrt{x}$ ni tanlang. Odatda bir nechta toʻgʻri tanlov bor, eng yaxshisi esa keyingi qadamni, masalan, differensiallash yoki teskarisini topishni eng oson qiladigan boʻlinishdir. Kalkulyatorda ikkala yoʻnalishda mashq qilish funksiyalarni qatlamlar sifatida koʻrish odatini shakllantiradi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Funksiyalarni notoʻgʻri tartibda qoʻllash; $f(g(x))$ da ichki funksiya $g$ birinchi ishlaydi.
Funksiyalarni kompozitsiya qilish oʻrniga koʻpaytirish: $f(g(x))$ bu $f(x)\,g(x)$ emas.
Oʻrniga qoʻyishda qavslarni tushirib qoldirish — bu darajalar va ishoralarni oʻzgartiradi.
Aniqlanish sohasini faqat soddalashtirilgan formuladan olish va ichki funksiyadan kelgan cheklovlarni yoʻqotish.
$f \circ g = g \circ f$ deb faraz qilish; ikkala tartibni ham tekshiring.

Maslahatlar

Soddalashtirilgan murakkab funksiyani tekshirish uchun uni oddiy sonda bosqichma-bosqich hisoblang.
Oʻrniga qoʻyishdan oldin tashqi funksiyani boʻsh qavslar bilan yozing.
Avval ichki funksiyaning, soʻng tashqi funksiyaning aniqlanish shartlarini yozib chiqing.
Teskari funksiya kalkulyatoridan foydalaning, soʻng $f(f^{-1}(x)) = x$ ni tasdiqlash uchun kompozitsiya tuzing.
Zanjir qoidasi bilan differensiallashdan oldin ichki va tashqi funksiyalarni nomlang.

Koʻp beriladigan savollar

f(g(x)) nimani bildiradi?

Bu avval x ga g ni, soʻng natijaga f ni qoʻllashni bildiradi. Murakkab funksiya f∘g deb yoziladi va oʻngdagi funksiya har doim birinchi ishlaydi.

f∘g bilan g∘f bir xilmi?

Odatda yoʻq. f(x) = x² va g(x) = x + 1 uchun f(g(x)) = (x + 1)², lekin g(f(x)) = x² + 1. Kalkulyator ikkala tartibni ham hisoblash imkonini beradi.

Murakkab funksiyaning aniqlanish sohasi qanday topiladi?

Ichki funksiya ruxsat bergan kirishlarni oling, soʻng ulardan faqat chiqishlari tashqi funksiya uchun ruxsat etilganlarini qoldiring. Ichki funksiyadan kelgan cheklovlar soddalashtirilgan formula ularni yashirsa ham saqlanadi.

Funksiyani oʻzi bilan kompozitsiya qilsa boʻladimi?

Ha. f∘f yoki g∘g ni tanlang. f(x) = 2x + 1 uchun f(f(x)) = 4x + 3, demak, f(f(3)) = 15.

Kompozitsiya zanjir qoidasi bilan qanday bogʻlangan?

Zanjir qoidasi kompozitsiyani differensiallaydi: f(g(x)) ning hosilasi f′(g(x)) ning g′(x) ga koʻpaytmasiga teng. Ichki va tashqi funksiyalarni aniqlash — birinchi qadam.

Kalkulyator murakkab funksiyani nuqtada hisoblaydimi?

Ha. x qiymatini kiriting, u ichkaridan tashqariga qarab hisoblaydi: avval shu qiymatda ichki funksiyani, soʻng natijada tashqi funksiyani. Xuddi shu qiymatni soddalashtirilgan formulaga qoʻyish ham aynan shu sonni berishi kerak.

Ikki funksiya oʻzaro teskari ekanini qanday tekshiraman?

Ularni ikkala tartibda kompozitsiya qiling. Agar f(g(x)) ham, g(f(x)) ham tegishli aniqlanish sohalarida x ga soddalashsa, funksiyalar bir-biriga teskari.

Funksiyalaringiz kompozitsiyasini tuzing

Murakkab funksiyani soddalashtirilgan holda, hisoblangan qiymati va aniqlanish sohasi bilan koʻrish uchun yuqoriga f(x) va g(x) ni kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash