Funksiyalar kompozitsiyasi: f(g(x)) ni qanday topish va qoʻllash

Kompozitsiya nimani anglatadi

$f$ va $g$ funksiyalar berilgan boʻlsa, «f va g kompozitsiyasi» yoki «g dan f» deb oʻqiladigan $f \circ g$ kompozitsiyasi avval $g$ ni, soʻng natijaga $f$ ni qoʻllaydigan funksiyadir:

Odamlarni chalkashtiradigan narsa tartibdir. Oʻngda, $x$ ga eng yaqin yozilgan funksiya birinchi taʼsir qiladi. Konveyerni tasavvur qiling: $x$ $g$ mashinaga kiradi, $g(x)$ mahsulot $f$ mashinaga oʻtadi va $f(g(x))$ chiqadi. Bu ishlashi uchun $g$ ning siz foydalanadigan har bir qiymati $f$ uchun yaroqli kirish boʻlishi kerak.

Kompozitsiya koʻpaytirishdan farq qiladi. $(fg)(x)$ koʻpaytma $f(x) \cdot g(x)$ ni, yaʼni ikki qiymatni koʻpaytirishni bildiradi, $(f \circ g)(x)$ esa bir funksiyani boshqasiga qoʻyadi. Ularni kichik doiracha belgisi farqlaydi.

Ikki formulaning kompozitsiyasi

$f(g(x))$ ni topish uchun $f$ formulasini oling va undagi har bir $x$ ni qavs ichidagi butun $g(x)$ ifoda bilan almashtiring. Soʻng soddalashtiring.

Ikki tartib butunlay turli funksiyalarni beradi. Kompozitsiya umuman olganda kommutativ emas: $f \circ g$ va $g \circ f$ odatda turlicha va ularni hech qachon teng deb hisoblamang. Biroq u assotsiativ, shuning uchun $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ va uchta funksiyadan iborat zanjirni ichkaridan tashqariga qarab hisoblash mumkin.

Qoʻyishda ichki funksiyani har doim qavsga oling. Qavssiz $g(x) = x^2$ uchun $g(2x + 3)$ osongina $2x + 3^2$ ga aylanib qoladi, bu notoʻgʻri.

Kompozitsiyani sonlar va jadvallardan hisoblash

Koʻpincha faqat bitta qiymat kerak boʻladi. Ichkaridan tashqariga qarab ishlang: avval ichki funksiyani hisoblang, soʻng natijani tashqi funksiyaning kirishi sifatida ishlating. Kompozitsiya formulasini topish shart emas.

Faraz qilaylik, jadvalda $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ va $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$ berilgan. U holda $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$ va $f(g(3)) = f(2) = -1$. Agar jadvalda $g$ bergan sonda $f$ ning qiymati boʻlmaganida, bu kompozitsiya oʻsha kirishda shunchaki aniqlanmagan boʻlardi.

Grafiklar bilan ham xuddi shunday ishlanadi. Ikki grafikdan $f(g(3))$ ni topish uchun $g$ grafigidan $g(3)$ ni oʻqing, soʻng bu qiymatni $f$ grafigining x oʻqida toping va natijani oʻqing.

Kompozitsiyaning aniqlanish sohasi

$f \circ g$ ning aniqlanish sohasi aynan ikki shartni qanoatlantiradigan $x$ larni oʻz ichiga oladi: $x$ $g$ ning aniqlanish sohasida yotadi va $g(x)$ $f$ ning aniqlanish sohasida yotadi. Kompozitsiya formulasini soddalashtirish birinchi shartni yashirishi mumkin, shuning uchun aniqlanish sohasini dastlabki qismlardan toping.

Qisqa misol buning nega muhimligini koʻrsatadi. Agar $f(x) = x^2$ va $g(x) = \sqrt{x}$ boʻlsa, $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, lekin faqat $x \ge 0$ uchun. Yolgʻiz $x$ formulasi har qanday haqiqiy son ishlaydi degan taassurot qoldiradi, bu notoʻgʻri. Aniqlanish va qiymatlar sohasi qoʻllanmasi bu yerda ishlatilgan alohida cheklovlarni tushuntiradi.

Funksiyani tarkibiy qismlarga ajratish

Ajratish jarayonni teskari yoʻnalishda bajaradi: murakkab $h$ funksiya berilganda $h = f \circ g$ boʻladigan soddaroq funksiyalarni toping. Tashqi amal taʼsir qilayotgan ichki ifodani izlang.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: ichki $g(x) = 3x - 1$, tashqi $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: ichki $g(x) = x^2 + 4$, tashqi $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: ichki $g(x) = \sin x$, tashqi $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: ichki $g(x) = x + 2$, tashqi $f(u) = \frac{1}{u^2}$ yoki uch bosqichli zanjir $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

Ajratish yagona emas, lekin eng foydalisida odatda ichki funksiya sodda boʻladi. Ichki qismni $u$ deb yozish aynan murakkab funksiya hosilasi qoidasi va integrallashda oʻrniga qoʻyish usuli uchun kerak boʻladigan odatdir.

Matematik analiz va teskari funksiyalarda kompozitsiya

Ikki muhim mavzu kompozitsiyaga tayanadi. Birinchidan, murakkab funksiya hosilasi qoidasi kompozitsiyani differensiallaydi: $f(g(x))$ ning hosilasi $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. $(3x - 1)^5$ uchun bu $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$ ni beradi. Differensiallash qoidalari qoʻllanmasi buni batafsil tushuntiradi.

Ikkinchidan, ikki funksiya aynan istalgan tartibdagi kompozitsiyasi kirishni qaytarganda oʻzaro teskari boʻladi: tegishli sohalarda $f(f^{-1}(x)) = x$ va $f^{-1}(f(x)) = x$. $f(x) = 2x + 3$ va $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ uchun $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$ hosil boʻladi. Bu teskari funksiyani tekshirishning standart usuli boʻlib, teskari funksiyalar maqolasida tushuntirilgan.

Hayotiy misol: chegirmalar va kuponlar

Doʻkon 20 foiz chegirma beradi, sizda esa 10 dollarlik kupon ham bor. $d(p) = 0.8p$ chegirmani $p$ narxga qoʻllasin, $c(p) = p - 10$ esa kuponni qoʻllasin. Tartib muhim.

• Avval kupon, keyin chegirma: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• Avval chegirma, keyin kupon: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• 50 dollarlik mahsulot uchun birinchi tartibda narx 32 dollar, ikkinchisida 30 dollar boʻladi.

Bu yerda foizni birinchi qoʻllash har doim 2 dollar tejaydi, chunki kupon foiz hisobiga kamaymaydi. Bir jarayon boshqasiga oʻtadigan bunday vaziyatlar kompozitsiyalardir va ular $f$ va $g$ tartibi shunchaki rasmiyatchilik emasligini koʻrsatadi.

Keng tarqalgan xatolar

• Funksiyalarni notoʻgʻri tartibda qoʻllash: $f(g(x))$ da birinchi $g$ taʼsir qiladi.
• Qoʻyish oʻrniga $f(x)$ ni $g(x)$ ga koʻpaytirish.
• Ayniqsa darajalar va manfiy ishoralarga qavssiz qoʻyish.
• Aniqlanish sohasini faqat soddalashtirilgan formuladan topish va ichki funksiya chiqarib tashlagan qiymatlarni oʻtkazib yuborish.
• $f \circ g = g \circ f$ deb hisoblash.

Ikkala tartibni va ularning aniqlanish sohalarini qoʻyish qadamini aniq koʻrsatadigan funksiyalar kompozitsiyasi kalkulyatori bilan tekshirishingiz mumkin.

Nega kompozitsiyani puxta oʻzlashtirish kerak

Algebradan keyin uchraydigan deyarli har bir funksiya kompozitsiya orqali qurilgan. Sovib borayotgan ichimlik harorati, tebranayotgan mayatnik holati yoki investitsiya qiymati formulasi odatda soddaroq ichki ifodaga qoʻllanilgan koʻrsatkichli funksiya, sinus yoki daraja kabi oddiy tashqi funksiyadir. Bu tuzilmani koʻra bilish grafik shaklini oldindan aytish, funksiya qayerda aniqlanganini topish va hosilalar hamda integrallar uchun toʻgʻri usulni tanlash imkonini beradi.

Kompozitsiya grafik almashtirishlarini ham tushuntiradi. $f$ grafigini uch birlik oʻngga siljitish $f(x - 3)$ ni beradi, bu $f$ ning $x - 3$ ichki funksiya bilan kompozitsiyasidir. Uni vertikal boʻyicha 2 marta choʻzish $2f(x)$ ni beradi, bu $2u$ tashqi funksiyaning $f$ bilan kompozitsiyasidir. Shu nuqtai nazardan qaralsa, qavs ichida qoʻllanilgan almashtirish kirishni oʻzgartiradi va gorizontal taʼsir qiladi, tashqarida qoʻllanilgani esa qiymatni oʻzgartiradi va vertikal taʼsir qiladi. Aynan shu kuzatish gorizontal siljishlar nega teskari tomonga ketayotgandek tuyulishini tushuntiradi.

Javoblari bilan mashqlar

Bularni qogʻozda ishlang, soʻng solishtiring. Har biri yuqoridagi boʻlimlardan bitta gʻoyani qoʻllaydi.

1. Agar $f(x) = x^2 + 1$ va $g(x) = x - 3$ boʻlsa, $f(g(x))$ ni toping. Javob: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. Xuddi shu funksiyalar uchun $g(f(x))$ ni toping. Javob: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. Agar $f(x) = \sqrt{x}$ va $g(x) = 4 - x$ boʻlsa, $f(g(x))$ ning aniqlanish sohasini toping. Javob: $4 - x \ge 0$, demak, $(-\infty, 4]$.
4. $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ ni ajrating. Javob: ichki $x^2 + 1$, tashqi $\ln u$.
5. Agar $f(x) = 3x - 2$ boʻlsa, $f(f(2))$ ni toping. Javob: $f(2) = 4$ va $f(4) = 10$.

Agar birinchi masalaga javobingiz $x^2 - 2$ boʻlgan boʻlsa, funksiyalarni notoʻgʻri tartibda qoʻllagansiz; bu ikkinchi masalaning javobi. Ikki tartibni chalkashtirish eng keng tarqalgan xato va $x = 0$ kabi son bilan tekshirish uni tez aniqlaydi: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, $g(f(0)) = g(1) = -2$ esa boshqa.

Koʻp beriladigan savollar