Analizga kirish

Logarifmlar: taʼrif, xossalar va tenglamalarni yechish

Q: Nega manfiy sonning logarifmini olib boʻlmaydi?

Chunki log_b x = y bu b^y = x ni bildiradi, musbat asosning istalgan haqiqiy darajasi esa musbat. Hech bir haqiqiy daraja koʻrsatkichi manfiy son yoki nolni bermaydi, shuning uchun bunday logarifmlar haqiqiy sonlarda aniqlanmagan.

Q: log va ln bir xil maʼnoni bildiradimi?

Aksariyat maktab kurslarida log asosi 10 ni, ln esa asosi e ni bildiradi. Ular ln x = log x · ln 10, yaʼni taxminan 2.3026log x orqali bogʻlangan. Biroq koʻplab dasturlash tillarida log natural logarifmni bildiradi.

Q: Logarifmni kalkulyatorsiz qanday hisoblayman?

Uni daraja haqidagi savolga aylantiring. log_4 64 uchun 4 ning qaysi darajasi 64 ekanini soʻrang; 4^3 = 64 boʻlgani uchun javob 3. Bu argument asosning taniqli darajasi boʻlganda doim ishlaydi.

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Logarifm bitta savolga javob beradi: shu sonni hosil qilish uchun asosni qanday darajaga koʻtarish kerak? Ushbu qoʻllanmadagi har bir qoida va usul aynan shu yagona gʻoyadan kelib chiqadi.

Logarifm nima

Darajalar va logarifmlar bir xil bogʻlanishni tasvirlashning ikki usulidir. $2^3 = 8$ tasdigʻi 2 ni 3-darajaga koʻtarish 8 ni berishini aytadi. Logarifm savolni teskarisiga aylantiradi: 8 ni hosil qilish uchun 2 ni qanday darajaga koʻtarish kerak? Javob 3, u $\log_2 8 = 3$ deb yoziladi.

\log_b x = y \iff b^y = x, \qquad b > 0,\; b \neq 1,\; x > 0

$b$ son asos, $x$ argument, $y$ esa izlanayotgan daraja koʻrsatkichi. Shartlar muhim. Asos musbat va 1 ga teng boʻlmasligi kerak, chunki 1 ning darajalari har doim 1 ga teng, manfiy sonlarning darajalari esa har qanday haqiqiy koʻrsatkich uchun aniqlanmagan. Argument musbat boʻlishi kerak, chunki musbat asosning istalgan haqiqiy darajasi musbat.

$\log_{10} 1000 = 3$ , chunki $10^3 = 1000$ .
$\log_5 \frac{1}{25} = -2$ , chunki $5^{-2} = \frac{1}{25}$ .
$\log_9 3 = \frac{1}{2}$ , chunki $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$ .
Har qanday ruxsat etilgan asos uchun $\log_7 1 = 0$ , chunki $b^0 = 1$ ; $\log_b b = 1$ esa $b^1 = b$ boʻlgani uchun oʻrinli.

Ikki asosning oʻz belgilanishi bor. Oʻnli logarifm $\log x$ asosi 10 boʻlib, oʻnning darajalaridagi oʻlchovlar uchun qulay. Natural logarifm $\ln x$ asosi $e \approx 2.71828$ boʻlib, u oʻsish, kamayish va matematik analizda tabiiy ravishda paydo boʻladi. Baʼzi darsliklar va dasturlash tillarida $\log$ natural logarifmni bildiradi, shuning uchun kursingizdagi kelishuvni tekshiring.

Logarifmlarning uchta xossasi

Logarifmlar daraja koʻrsatkichlari boʻlgani uchun daraja qoidalari bevosita logarifm qoidalariga aylanadi. Musbat $M$ va $N$ hamda har qanday ruxsat etilgan asos uchun:

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N, \qquad \log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N, \qquad \log_b(M^k) = k\log_b M

Koʻpaytma xossasi $b^m b^n = b^{m+n}$ dan kelib chiqadi: sonlarni koʻpaytirish ularning daraja koʻrsatkichlarini, demak, logarifmlarini qoʻshadi. Boʻlinma xossasi darajalarni boʻlishdan, daraja xossasi esa $(b^m)^k = b^{mk}$ dan kelib chiqadi. Kalkulyatorlar paydo boʻlishidan oldin logarifm jadvallari aynan shuning uchun ishlatilgan: ular qiyin koʻpaytirishlarni qoʻshishga aylantirgan.

$\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$ , haqiqatan ham $128 = 2^7$ .
$\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$ .
$\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$ .
$\ln(e^5) = 5\ln e = 5$ .

Ifodalarni yoyish va ixchamlash

Yoyishda xossalar yordamida bitta logarifm soddaroq qismlarga ajratiladi; ixchamlashda bir nechtasi bittaga birlashtiriladi. Ikkalasi ham imtihonlarda keng tarqalgan topshiriq va ikkalasi ham tenglamalarni yechishda kerak boʻladi.

$\log\dfrac{x^2 y}{z^3}$ ni yoying

Boʻlinma xossasi: $\log(x^2y) - \log(z^3)$ .
Birinchi qismga koʻpaytma xossasi: $\log x^2 + \log y - \log z^3$ .
Daraja xossasi: $2\log x + \log y - 3\log z$ , bu musbat $x$ , $y$ va $z$ uchun oʻrinli.

$2\ln x - \ln(x + 1) + \ln 3$ ni ixchamlang

Koeffitsiyentlarni daraja sifatida ichkariga kiriting: $\ln x^2 - \ln(x + 1) + \ln 3$ .
Qoʻshishlarni koʻpaytma, ayirishlarni boʻlinma sifatida birlashtiring: $\ln\dfrac{3x^2}{x + 1}$ .

Birlashtirishdan oldin koeffitsiyentlar daraja koʻrsatkichiga aylanishi kerak. $2\ln x + \ln y$ bu $\ln(x^2 y)$ , $\ln(2xy)$ emas.

Yangi asosga oʻtish

Kalkulyatorlarda odatda faqat $\log$ va $\ln$ tugmalari boʻladi. Boshqa har qanday asos istalgan yangi $c$ asos bilan ishlaydigan yangi asosga oʻtish formulasi orqali hisoblanadi:

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b} = \frac{\ln x}{\ln b}

Masalan, $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$ . Mantiqiy tekshiruv yordam beradi: $2^3 = 8$ va $2^4 = 16$ , demak, javob 3 va 4 orasida boʻlishi kerak. Formula $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ ekanini ham koʻrsatadi, shuning uchun $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ , chunki $\log_2 8 = 3$ .

Koʻrsatkichli tenglamalarni yechish

Nomaʼlum daraja koʻrsatkichida boʻlsa, darajani ajrating, soʻng daraja xossasi koʻrsatkichni pastga tushirishi uchun ikkala tomonni logarifmlang.

1-misol: $3^x = 20$

Ikkala tomonning natural logarifmini oling: $\ln 3^x = \ln 20$ .
Daraja xossasi: $x\ln 3 = \ln 20$ .
Boʻling: $x = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx \frac{2.995732}{1.098612} \approx 2.7268$ .
Tekshirish: $3^{2.7268} \approx 20.0$ , va $3^2 = 9$ hamda $3^3 = 27$ boʻlgani uchun javob kutilganidek 2 va 3 orasida.

2-misol: $5 \cdot 2^{x - 1} = 40$

Avval darajani ajrating: $2^{x - 1} = 8$ .
$8 = 2^3$ boʻlgani uchun koʻrsatkichlar teng boʻlishi kerak: $x - 1 = 3$ , demak, $x = 4$ .
Tekshirish: $5 \cdot 2^3 = 40$ .

2-misoldagi keng tarqalgan xato 5 ga boʻlishdan oldin logarifmlashdir. Bu notoʻgʻri emas, lekin $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$ hosil boʻladi va uni yechish koʻproq vaqt oladi. Avval darajani ajratish ishni qisqa qiladi.

Logarifmik tenglamalarni yechish

Nomaʼlum logarifm ichida boʻlsa, logarifmlarni bittaga birlashtiring, soʻng tenglamani koʻrsatkichli koʻrinishda qayta yozing. Nol va manfiy sonlarning logarifmi aniqlanmagani uchun har bir taxminiy yechimni dastlabki tenglamada tekshirish kerak.

3-misol: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$

Koʻpaytma xossasi: $\log_2[x(x - 2)] = 3$ .
Koʻrsatkichli koʻrinish: $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .
Hadlarni koʻchiring va koʻpaytuvchilarga ajrating: $x^2 - 2x - 8 = 0$ , demak, $(x - 4)(x + 2) = 0$ va $x = 4$ yoki $x = -2$ .
Tekshirish: $x = 4$ da $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ . $x = -2$ qiymati $\log_2 x$ ni aniqlanmagan qiladi, shuning uchun u rad etiladi.
Yechim: $x = 4$ .

4-misol: $\ln(2x + 1) = 3$

$e$ asosli koʻrsatkichli koʻrinish: $2x + 1 = e^3$ .
Yeching: $x = \frac{e^3 - 1}{2} \approx \frac{20.0855 - 1}{2} \approx 9.5428$ .
Argument musbat ekanini tekshiring: $2x + 1 = e^3 > 0$ .

3-misoldagi algebra kvadrat tenglamaga olib keldi. Uni qanday yechishni eslash kerak boʻlsa, kvadrat tenglamalarni qanday yechish maqolasini koʻring.

Logarifm grafigi

$y = \log_b x$ funksiya $y = b^x$ ga teskari, shuning uchun uning grafigi koʻrsatkichli funksiya grafigining $y = x$ toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik aksidir. $b > 1$ da u $(1, 0)$ va $(b, 1)$ nuqtalardan oʻtadi, sekin, lekin chegarasiz oʻsadi va y oʻqiga vertikal asimptota sifatida yaqinlashadi. Uning aniqlanish sohasi $(0, \infty)$ , qiymatlar sohasi esa barcha haqiqiy sonlar, bu koʻrsatkichli funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohalarining aynan teskarisi.

Siljishlar aniqlanish sohasini oʻzgartiradi. $y = \ln(x - 3)$ da argument musbat boʻlishi kerak, shuning uchun aniqlanish sohasi $(3, \infty)$ , asimptota esa $x = 3$ ga koʻchadi. Bunday sohalarni topish aniqlanish va qiymatlar sohasi qoʻllanmasida, koʻrsatkichli funksiyalar bilan bogʻliqlik esa teskari funksiyalar maqolasida batafsilroq tushuntirilgan. Bir nechta asosni grafik kalkulyatorida birga chizishingiz mumkin.

Logarifmlar qayerda ishlatiladi

Murakkab foiz: yiliga 5 foiz oʻsadigan miqdor $1.05^t = 2$ boʻlganda ikki baravar oshadi, demak, $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ yil.
Kimyo: pH $-\log[\mathrm{H}^+]$ ga teng, shuning uchun litriga $10^{-3}$ mol vodorod ionlari konsentratsiyasi pH 3 ni beradi va pH ning har bir birligi oʻn baravar farqni bildiradi.
Tovush: desibel darajasi $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$ , shuning uchun 100 marta kuchliroq tovush 20 desibel balandroq boʻladi.
Informatika: $n$ ta elementda ikkilik qidiruv taxminan $\log_2 n$ qadam talab qiladi, shuning uchun million element uchun atigi 20 ga yaqin qadam kerak.

Toʻrttalasining umumiy jihati bor: logarifmlar oʻnning koʻp darajalarini qamrab oladigan kattaliklarni boshqarish oson boʻlgan shkalaga siqadi va koʻpaytmali oʻzgarishni qoʻshiluvchi oʻzgarishga aylantiradi.

Keng tarqalgan xatolar

$\log(a + b) = \log a + \log b$ deb yozish. Koʻpaytma xossasi koʻpaytmalar haqida, yigʻindining logarifmi uchun esa qoida yoʻq.
$\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$ deb yozish. Chap tomon yangi asosga oʻtish, yaʼni $\log_b a$ .
$(\log x)^2$ ni $\log x^2 = 2\log x$ bilan adashtirish.
Logarifmik tenglamalar yechimlarini tekshirishni unutish, natijada argumentni manfiy qiladigan javob oʻtib ketadi.
Kalkulyatorda $\log$ va $\ln$ ni chalkashtirish.

Logarifm kalkulyatori istalgan asosni hisoblaydi va yangi asosga oʻtish qadamini koʻrsatadi, shuning uchun u yuqoridagi misollarni tekshirishning tez yoʻlidir.

Logarifmlarni oʻrganish rejasi

Logarifmlar asosan belgilanish oddiy savolni yashirgani uchun mavhum tuyuladi. Ravonlikka erishishning yaxshi yoʻli ikki yoʻnalishda tarjima qilishni avtomatik boʻlguncha mashq qilishdir. Allaqachon biladigan oʻnta darajani, masalan, $2^5 = 32$ yoki $10^{-2} = 0.01$ ni oling va har birini logarifm koʻrinishida qayta yozing. Soʻng oʻnta logarifmni oling va har birini daraja koʻrinishida yozing. Qisqa mashgʻulotdan keyin $\log_3 81$ yoki $\log_{10} 0.001$ ni hisoblash jumboq emas, balki tez bajariladigan ogʻzaki qadamga aylanadi.

Keyin xossalarni oʻzgaruvchilarga qoʻllashdan oldin sonlarda mashq qiling. Ikkala tomonni hisoblab, $\log_2 8 + \log_2 4$ ning $\log_2 32$ ga tengligini tekshirish koʻpaytma xossasini ishonchli qiladi va sizni yuqoridagi xatolar boʻlimida sanab oʻtilgan notoʻgʻri koʻrinishlarni payqashga oʻrgatadi. Shundan keyingina algebraik ifodalarni yoyish va ixchamlashga oʻting.

Nihoyat, tenglamalarni ikki turkumda yeching: nomaʼlum daraja koʻrsatkichida boʻlganlari va nomaʼlum logarifm ichida boʻlganlari. Birinchi turkum logarifmlash orqali, ikkinchisi koʻrsatkichli koʻrinishda qayta yozish orqali yechiladi. Masala qaysi turkumga tegishli ekanini aniqlash ishning yarmi, oxirida aniqlanish sohasini tekshirish esa toʻgʻri javoblarni deyarli toʻgʻri javoblardan ajratadigan ikkinchi odatdir.

Koʻp beriladigan savollar

Nega manfiy sonning logarifmini olib boʻlmaydi?

Chunki $\log_b x = y$ bu $b^y = x$ ni bildiradi, musbat asosning istalgan haqiqiy darajasi esa musbat. Hech bir haqiqiy daraja koʻrsatkichi manfiy son yoki nolni bermaydi, shuning uchun bunday logarifmlar haqiqiy sonlarda aniqlanmagan.

log va ln bir xil maʼnoni bildiradimi?

Aksariyat maktab kurslarida $\log$ asosi 10 ni, $\ln$ esa asosi $e$ ni bildiradi. Ular $\ln x = \log x \cdot \ln 10$ , yaʼni taxminan $2.3026\log x$ orqali bogʻlangan. Biroq koʻplab dasturlash tillarida log natural logarifmni bildiradi.

Logarifmni kalkulyatorsiz qanday hisoblayman?

Uni daraja haqidagi savolga aylantiring. $\log_4 64$ uchun 4 ning qaysi darajasi 64 ekanini soʻrang; $4^3 = 64$ boʻlgani uchun javob 3. Bu argument asosning taniqli darajasi boʻlganda doim ishlaydi.

Logarifmik tenglamalar javoblarini har doim tekshirishim kerakmi?

Ha. Logarifmlarni birlashtirish dastlabki argumentni nol yoki manfiy qiladigan qiymatlarni keltirib chiqarishi mumkin. Har bir taxminiy yechimni dastlabki tenglamaga qoʻying va aniqlanmagan logarifm beradiganlarini rad eting.

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.