Koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish: qadamma-qadam usullar roʻyxati

Koʻpaytuvchilarga ajratish nima uchun muhim

Koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish uni soddaroq koʻphadlar koʻpaytmasi shaklida yozish demakdir. $(x + 3)(x + 4)$ ni ochsak, $x^2 + 7x + 12$ hosil boʻladi; koʻpaytuvchilarga ajratish teskari yoʻnalishda ketadi. Koʻpaytuvchilarga ajratilgan shakl koʻpincha ancha foydaliroq: u tenglamaning ildizlarini darhol koʻrsatadi, umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartirib ratsional ifodalarni soddalashtiradi va grafik x oʻqini qayerda kesib oʻtishini ochib beradi.

Har qanday ajratishni koʻpaytuvchilarni qayta koʻpaytirib tekshirish mumkin. Agar qavslarni ochganda dastlabki koʻphad aynan hosil boʻlmasa, qayerdadir xato bor, shuning uchun bu tekshiruvni odat qiling.

Koʻpaytuvchilarga ajratish roʻyxati

Oʻqituvchilar va darsliklar usullarni biroz turlicha tartiblaydi, lekin quyidagi roʻyxat boshlangʻich algebra kursidagi deyarli har bir koʻphad uchun ishlaydi. Uni tartib bilan qoʻllang va boshqa hech narsa ajralmaguncha har bir koʻpaytuvchida takrorlang.

1. Barcha hadlarning eng katta umumiy koʻpaytuvchisini (EKUB) qavsdan tashqariga chiqaring.
2. Hadlarni sanang. Ikki had: kvadratlar ayirmasi yoki kublar yigʻindisi yoki ayirmasini qidiring.
3. Uch had: toʻla kvadrat uchhadni qidiring, soʻng koʻpaytma va yigʻindi boʻyicha izlash yoki AC usulidan foydalaning.
4. Toʻrt had: guruhlashni sinab koʻring.
5. Darajasi uch yoki undan yuqori va aniq qonuniyat yoʻq: ratsional ildiz alomati va koʻphadni boʻlishdan foydalaning.
6. Har bir koʻpaytuvchini yana tekshiring, soʻng tasdiqlash uchun qavslarni oching.

1-qadam: eng katta umumiy koʻpaytuvchi

Har doim shundan boshlang. Barcha koeffitsiyentlarni boʻladigan eng katta sonni va har bir hadda qatnashgan har bir oʻzgaruvchining eng kichik darajasini toping.

Agar bosh koeffitsiyent manfiy boʻlsa, manfiy umumiy koʻpaytuvchini chiqaring. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ manfiy $x^2$ li had bilan ishlashdan ancha oson.

Bosh koeffitsiyenti 1 ga teng uchhadlar

$x^2 + bx + c$ uchun $mn = c$ va $m + n = b$ boʻladigan ikkita $m$ va $n$ sonni toping. U holda $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$: 3 va 4 ning koʻpaytmasi 12, yigʻindisi 7, demak, koʻpaytuvchilar $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$: $-5$ va 3 ning koʻpaytmasi $-15$, yigʻindisi $-2$, demak, koʻpaytuvchilar $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$: $-4$ va $-5$, natijada $(x - 4)(x - 5)$.

Ishoralar yoʻlni qisqartiradi. Agar $c$ musbat boʻlsa, ikkala son ham $b$ ning ishorasiga ega. Agar $c$ manfiy boʻlsa, sonlar qarama-qarshi ishorali boʻladi va moduli kattarogʻi $b$ ning ishorasini oladi.

Istalgan bosh koeffitsiyentli uchhadlar: AC usuli

$a \neq 1$ boʻlganda $a$ ni $c$ ga koʻpaytiring, koʻpaytmasi $ac$ ga, yigʻindisi $b$ ga teng ikkita son toping, ular yordamida oʻrta hadni ajrating, soʻng guruhlab koʻpaytuvchilarga ajrating.

Butun koeffitsiyentli uchhad butun sonlar ustida aynan $b^2 - 4ac$ toʻla kvadrat boʻlganda koʻpaytuvchilarga ajraladi. $3x^2 - 10x + 8$ uchun diskriminant $100 - 96 = 4$, yaʼni toʻla kvadrat, shuning uchun izlash albatta muvaffaqiyatli tugaydi. Agar diskriminant toʻla kvadrat boʻlmasa, izlashni toʻxtating va uning oʻrniga kvadrat tenglama formulasidan foydalaning.

Tanib olish kerak boʻlgan qisqa koʻpaytirish formulalari

Uchta shakl shunchalik tez-tez uchraydiki, ularni bir qarashda tanib olish foydali:

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: formulani ikki marta qoʻllang.
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$, chunki $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ va $12x = 2(2x)(3)$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ va $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

$x^2 + 4$ kabi ikki kvadrat yigʻindisi haqiqiy sonlar ustida koʻpaytuvchilarga ajralmaydi. Uning diskriminanti $-16$, yaʼni manfiy.

Toʻrt had: guruhlash orqali ajratish

Koʻphadni ikki juftga ajrating, har bir juftning umumiy koʻpaytuvchisini chiqaring va umumiy qavsni qidiring.

Agar qavslar mos kelmasa, taslim boʻlishdan oldin hadlarni boshqacha juftlarga qayta joylashtirib koʻring.

Yuqori darajalar: ratsional ildiz alomati

Butun koeffitsiyentli koʻphad uchun qisqarmas kasr koʻrinishidagi har qanday $\frac{p}{q}$ ratsional ildizda $p$ ozod hadning, $q$ esa bosh koeffitsiyentning boʻluvchisi boʻladi. Nomzodlardan biri nol bermaguncha ularni tekshiring, soʻng uni boʻlib chiqaring.

Solishtirmoqchi boʻlsangiz, koʻphadlar kalkulyatori boʻlishni qadamma-qadam bajaradi.

Koʻpaytuvchilarga ajratishdagi keng tarqalgan xatolar

• Umumiy koʻpaytuvchini unutish, bu murakkabroq uchhad va toʻliq boʻlmagan javobni qoldiradi.
• Juda erta toʻxtash: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ hali tugallanmagan, chunki $x^2 - 4$ yana ajraladi.
• $a^2 + b^2$ ni kvadratlar ayirmasidek ajratish.
• Guruhlashdagi ishora xatolari: $-4x - 12 = -4(x + 3)$, $-4(x - 3)$ emas.
• Qavslarni ochib tekshirmaslik. Koʻpaytirib chiqish bir necha soniya oladi va yuqoridagi xatolarning barchasini aniqlaydi.

Oʻz koʻphadlaringizni har bir qadamda qaysi usul qoʻllanganini koʻrsatadigan koʻpaytuvchilarga ajratish kalkulyatorida sinab koʻring va ajratilgan shakllardan ratsional ifodalarni soddalashtirish uchun foydalaning.

Koʻphad ajralmasligini qanday bilish mumkin

Har bir koʻphad ham butun sonlar ustida koʻpaytuvchilarga ajralavermaydi va buni erta payqash koʻp vaqtni tejaydi. Butun koeffitsiyentli $ax^2 + bx + c$ kvadrat uchhad uchun $b^2 - 4ac$ diskriminantni hisoblang. Agar u toʻla kvadrat boʻlsa, uchhad ratsional koeffitsiyentli chiziqli koʻpaytuvchilarga ajraladi. Agar u musbat, lekin toʻla kvadrat boʻlmasa, ildizlar irratsional va uchhad ratsional sonlar ustida keltirilmaydigan deyiladi; agar manfiy boʻlsa, u haqiqiy sonlar ustida umuman ajralmaydi.

Masalan, $x^2 + 3x + 1$ ning diskriminanti $9 - 4 = 5$, bu toʻla kvadrat emas, shuning uchun koʻpaytmasi 1 ga, yigʻindisi 3 ga teng butun sonlar jufti yoʻq. Uning $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ ildizlari kvadrat tenglama formulasidan topiladi. $x^2 + 4$ kvadratlar yigʻindisining diskriminanti $-16$ va u haqiqiy sonlar ustida ajralmaydi, garchi kompleks sonlar ustida $(x - 2i)(x + 2i)$ koʻrinishida ajralsa ham.

Kub va undan yuqori darajali koʻphadlar uchun ratsional ildiz alomati chekli nomzodlar roʻyxatini beradi. Agar ularning hech biri ildiz boʻlmasa, koʻphad ratsional koeffitsiyentli chiziqli koʻpaytuvchiga ega emas, ammo toʻrtinchi darajali koʻphad baribir ikkita kvadrat uchhadga ajralishi mumkin.

Koʻpaytuvchilarga ajratish keyinchalik nima uchun kerak

Koʻpaytuvchilarga ajratish alohida mavzu emas. Koʻphadli tenglamalarni yechish koʻpaytmaning nolga tenglik xossasiga tayanadi: agar $AB = 0$ boʻlsa, $A = 0$ yoki $B = 0$. Ratsional ifodalarni soddalashtirish umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartirishga bogʻliq. Koʻphad grafigining x oʻqi bilan kesishish nuqtalari va ishora oʻzgarishini topishda bevosita ajratilgan shakldan foydalaniladi, matematik analizda esa $\frac{0}{0}$ koʻrinishidagi limitlar koʻpincha koʻpaytuvchilarga ajratish va qisqartirish orqali hal qilinadi.

Masalan, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ni oʻrniga qoʻyish bilan hisoblab boʻlmaydi, lekin suratni $(x - 2)(x + 2)$ koʻrinishida ajratib qisqartirsak, $x + 2$ qoladi, demak, limit 4 ga teng. Integrallashdagi sodda kasrlarga ajratish ham maxrajni toʻliq koʻpaytuvchilarga ajratishdan boshlanadi.

Ajratishni har doim qavslarni ochib tekshiring. Koʻpaytirib chiqish ajratishdan kamroq vaqt oladi va ishora xatolarini darhol aniqlaydi.

Oʻz ajratishingizni tekshirish uchun uni koʻpaytuvchilarga ajratish kalkulyatoriga kiriting yoki javobingizni soddalashtirish kalkulyatori yordamida oching.

Koʻp beriladigan savollar