Chiziqli tenglamalarni qadamma-qadam yechish

Chiziqli tenglama nima

Bir oʻzgaruvchili chiziqli tenglama bu $ax + b = 0$ koʻrinishiga keltirish mumkin boʻlgan tenglama boʻlib, bunda $a$ va $b$ sonlar va $a \neq 0$. Nomaʼlum faqat birinchi darajada qatnashadi: $x^2$ ham, $\sqrt{x}$ ham, maxrajda $x$ ham yoʻq. $y = ax + b$ ning grafigi toʻgʻri chiziq boʻlgani uchun tenglama aynan bitta yechimga ega: $x = -\frac{b}{a}$, yaʼni oʻsha chiziq x oʻqini kesib oʻtadigan nuqta.

$3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ va $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ kabi tenglamalarning barchasi chiziqli, garchi ular hali $ax + b = 0$ ga oʻxshamasa ham. Vazifa ularni har safar bitta toʻgʻri qadam bilan qayta yozib, nomaʼlumni yolgʻiz qoldirishdir.

Har bir qadam ortidagi muvozanat qoidasi

Tenglamani muvozanatdagi tarozi deb tasavvur qiling. Bir tomonga istalgan amalni bajarishingiz mumkin, faqat xuddi shu amalni ikkinchi tomonga ham bajarsangiz boʻldi, chunki bir xil tarzda oʻzgartirilgan teng miqdorlar teng boʻlib qoladi. Siz foydalanadigan toʻrtta amal:

• ikkala tomonga bir xil son yoki ifodani qoʻshish;
• ikkala tomondan bir xil son yoki ifodani ayirish;
• ikkala tomonni bir xil noldan farqli songa koʻpaytirish;
• ikkala tomonni bir xil noldan farqli songa boʻlish.

Nolga koʻpaytirish yoki nolga boʻlish yagona taqiqlangan harakat: nolga koʻpaytirish har qanday tenglamani $0 = 0$ ga aylantiradi va maʼlumotni yoʻq qiladi, nolga boʻlish esa aniqlanmagan.

Besh qadamli tartib

1. Qavslarni ochib, guruhlash belgilaridan qutuling: $5(x - 2)$ ifoda $5x - 10$ ga aylanadi.
2. Ikkala tomonni eng kichik umumiy maxrajga yoki 10 ning darajasiga koʻpaytirib, kasrlar yoki oʻnli kasrlardan qutuling.
3. Har bir tomonda oʻxshash hadlarni alohida ixchamlang.
4. Qoʻshish yoki ayirish orqali oʻzgaruvchili hadlarni bir tomonga, ozod hadlarni esa boshqa tomonga yigʻing.
5. Oʻzgaruvchining koeffitsiyentiga boʻling, soʻng tekshirish uchun javobni dastlabki tenglamaga qoʻying.

Har bir tenglamaga barcha qadamlar kerak boʻlavermaydi. Bu tartib shunchaki eng keng tarqalgan chalkashliklardan, masalan, oʻxshash hadlar ixchamlanmasdan oldin boʻlishga urinishdan saqlaydigan ketma-ketlikni beradi.

Oddiydan murakkabga qarab ishlangan misollar

Tartibga eʼtibor bering. $3x + 7$ ifodasi tuzilayotganda yetti oxirida qoʻshilgan, shuning uchun u birinchi boʻlib olib tashlanadi. Yechish amallar tartibini teskari aylantiradi.

Agar musbat koeffitsiyentni afzal koʻrsangiz, oʻzgaruvchili hadlarni koeffitsiyenti allaqachon kattaroq boʻlgan tomonga yigʻing. 3-misolda ikkala tomonga $4x$ ni qoʻshsak, $9 = 6x - 15$, soʻng $24 = 6x$ va $x = 4$ hosil boʻladi, manfiy songa boʻlish umuman kerak boʻlmaydi.

Kasrli va oʻnli kasrli tenglamalar

Xatolarning aksariyati kasrlarda yuz beradi, shuning uchun ulardan boshidayoq qutuling. Ikkala tomondagi har bir hadni eng kichik umumiy maxrajga koʻpaytiring. Har bir had deganda har bir had, jumladan koʻrinadigan maxraji boʻlmagan butun sonlar ham nazarda tutiladi.

Oʻnli kasrlar ham xuddi shunday, faqat oʻnning darajasi bilan yoʻqotiladi. Verguldan keyin eng koʻp xonali oʻnli kasrni yoʻqotadigan darajani tanlang.

Kasrlarga boy tenglamalarni kasrlar kalkulyatori yordamida tasdiqlashingiz yoki har bir qadamni tenglama yechuvchi bilan solishtirishingiz mumkin.

Yechimi yoʻq va cheksiz koʻp yechimli tenglamalar

Baʼzan yechish jarayonida oʻzgaruvchi butunlay yoʻqolib ketadi. Qolgan narsa qaysi maxsus holatga duch kelganingizni koʻrsatadi.

$6 = 6$ kabi toʻgʻri tasdiq ikkala tomon bir xil ifoda ekanini bildiradi, shuning uchun har qanday haqiqiy son yechim boʻladi. Bunday tenglama ayniyat deyiladi.

$6 = 5$ kabi notoʻgʻri tasdiq $x$ ning hech bir qiymati tomonlarni tenglashtira olmasligini bildiradi: tenglama yechimga ega emas. Grafikda ikkala tomon ogʻmasi bir xil, lekin y oʻqini turli nuqtalarda kesadigan parallel toʻgʻri chiziqlardir, shuning uchun ular hech qachon kesishmaydi.

Formulada bitta oʻzgaruvchini ifodalash

Xuddi shu muvozanat qoidasi formulalarni qayta tuzishda ham ishlaydi; bu koʻpincha harfiy tenglamani yechish deb ataladi. Sizga kerakli harfdan boshqa barcha harflarni son deb hisoblang.

Tenglamani shu tarzda qayta yozish uning grafigini chizishning birinchi qadamidir, buni ogʻma kalkulyatori yordamida oʻrganishingiz mumkin.

Matnli masalani tenglamaga aylantirish

Biror miqdor oʻzgarmas tezlik bilan oʻzgarganda matnli masalalar chiziqli tenglamaga aylanadi. Nomaʼlumni belgilang, har bir iborani ifoda shaklida yozing va bir xil miqdorning ikki tavsifini tenglashtiring.

Gaplarni tenglamalarga aylantirish boʻyicha koʻproq mashqni matnli masalalar yechuvchisida topasiz.

Keng tarqalgan xatolar va ulardan qochish yoʻllari

• Faqat birinchi hadga koʻpaytirish: $3(x + 4)$ bu $3x + 4$ emas, $3x + 12$.
• Minus ishorasini yoʻqotish: $-(x - 5)$ bu $-x + 5$. Minusni qavs ichidagi har bir hadga tatbiq qiling.
• Eng kichik umumiy maxrajga faqat kasrlarni koʻpaytirib, butun sonli hadlarni unutish.
• Hadni tenglik belgisining narigi tomoniga ishorasini oʻzgartirmasdan oʻtkazish. Had oʻtadi deyish uni ikkala tomondan ayirishning qisqa ifodasidir.
• $-x = 3$ da toʻxtab qolish. $x = -3$ ni olish uchun $-1$ ga boʻling.
• Tekshirishni tashlab ketish. Keyingi qatorga emas, dastlabki tenglamaga qoʻyib tekshirish istalgan qadamda yoʻl qoʻyilgan xatoni aniqlaydi.

Keyin nimani oʻrganish kerak

Chiziqli tenglamalar avtomatik tarzda yechiladigan boʻlgach, xuddi shu koʻnikmalar bevosita bitta qoʻshimcha qoida qoʻllaniladigan chiziqli tengsizliklarga va ikkita chiziqli tenglama ikkita nomaʼlumga ega boʻlgan tenglamalar sistemalariga oʻtadi. Agar tenglamada $x^2$ boʻlsa, kvadrat tenglamalarni yechish qoʻllanmasini oʻqing. Mashq qilish uchun yuqoridagi misollardan istalganini x ni topish kalkulyatoriga kiriting va uning qadamlarini oʻzingiznikilar bilan solishtiring.

Koʻp beriladigan savollar