Kasr-ratsional ifodalar kalkulyatori

Kasr-ratsional ifodalar kalkulyatori haqida

Kasr-ratsional ifodalar — surati ham, maxraji ham koʻphad boʻlgan kasrlar, masalan, $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Ular oddiy kasrlar kabi ishlaydi, shuning uchun qisqartirish, umumiy maxrajni topish va kasrga boʻlish haqida bilganlaringizning barchasi bu yerda ham amal qiladi. Farqi shundaki, endi koʻpaytuvchilarga ajratiladigan narsalar koʻphadlar, bundan tashqari maxrajni nolga aylantiradigan $x$ qiymatlarini kuzatib borish kerak.

Bu kalkulyator bir oʻzgaruvchili kasr-ratsional ifodalar ustida beshta amalni bajaradi: soddalashtirish, qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish va boʻlish. U har bir surat va maxrajni ratsional sonlar ustida koʻpaytuvchilarga ajratadi, kerak boʻlganda eng kichik umumiy maxrajni tuzadi, umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiradi va yakuniy javobning chiqarib tashlangan qiymatlarini koʻrsatadi — koʻp yechimlarda bular unutiladi.

Kasr-ratsional ifoda nima?

Kasr-ratsional ifoda — ikki koʻphadning $\frac{P(x)}{Q(x)}$ nisbati boʻlib, unda $Q$ nol koʻphad emas. U $Q(x) = 0$ boʻlgan joylarda aniqlanmagan, shuning uchun uning aniqlanish sohasi maxraj ildizlaridan tashqari barcha haqiqiy sonlardan iborat.

Ikki kasr-ratsional ifoda ikkalasi ham aniqlangan har bir nuqtada bir xil qiymat qabul qilsa, ular teng kuchli hisoblanadi. Soddalashtirish ifodani unga teng kuchli, qisqarmas shakldagi — surat va maxraj umumiy koʻpaytuvchiga ega boʻlmagan ifoda bilan almashtiradi. Qisqartirish maxrajdagi koʻpaytuvchini yoʻqotishi mumkinligi sababli, dastlabki ifodaning chiqarib tashlangan qiymatlarini alohida koʻrsatib borish kerak.

Kasr-ratsional ifodalar kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

“A ni soddalashtirish”, “A + B”, “A − B”, “A × B” yoki “A ÷ B” amalini tanlang.
Birinchi ifodani A maydoniga surat va maxrajlarni qavsga olib kiriting, masalan, (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Toʻrtta arifmetik amal uchun ikkinchi ifodani B maydoniga kiriting, masalan, 2/(x + 1).
“Hisoblash” tugmasini bosing va koʻpaytuvchilarga ajratish, umumiy maxraj hamda qisqartirish qadamlarini kuzating.
Natijani chiqarib tashlangan qiymatlari bilan birga koʻchirib oling.

Formulalar

Qisqartirish

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Umumiy maxrajli kasrlarni qoʻshish

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Koʻpaytirish

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

Boʻlish

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Yechib koʻrsatilgan misol: (x² − 9)/(x² + 5x + 6) ni soddalashtirish

Ishlangan misolda $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ qisqarmas shaklga keltiriladi. Dvigatel suratda kvadratlar ayirmasini, maxrajda esa koʻpaytuvchilarga ajraladigan kvadrat uchhadni aniqlaydi, shuning uchun ikkala tomonda ham $x + 3$ koʻpaytuvchi bor.

Qisqartirishdan soʻng dvigatel ikkala chiqarib tashlangan qiymatni — $-3$ va $-2$ ni koʻrsatadi. $-3$ qiymati endi qisqartirilgan maxrajni nolga aylantirmaydi, ammo u dastlabki ifodadan chiqarib tashlangan edi, shuning uchun chiqarib tashlanganligicha qoladi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

\frac{x - 3}{x + 2}

Masalangizni qanday tushundik

Kasr-ratsional ifodani qisqarmas koʻrinishgacha soddalashtiring.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Bosqichma-bosqich yechim

Bitta kasr shaklida yozing
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Surat va maxrajni koʻpaytuvchilarga ajrating
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Umumiy koʻpaytuvchiga qisqartiring
x + 3 koʻpaytuvchi ham suratda, ham maxrajda bor. Unga qisqartirish dastlabki ifoda aniqlangan har qanday nuqtada qiymatni oʻzgartirmaydi.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Chiqarib tashlanadigan qiymatlarni koʻrsating
Dastlabki ifoda biror maxraj (yoki boʻluvchi) nolga teng boʻlgan joyda aniqlanmagan: x ≠ -3, x ≠ -2. Koʻpaytuvchi qisqargan taqdirda ham bu cheklovlar saqlanadi.

Qoʻllanilgan formulalar

Qisqartirish
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

Qisqarmas koʻrinishda natija (x - 3)/(x + 2). Chiqarib tashlanadigan qiymatlar: x ≠ -3, x ≠ -2.

Tekshiruv

Soddalashgan shakl dastlabki ifoda bilan toʻrtta tekshiruv nuqtasida solishtirildi va mos keldi.

Batafsil tushuntirish

Qoʻshish va ayirish

Kasr-ratsional ifodalarni qoʻshish uchun ularni umumiy maxrajga keltiring. Eng kichik umumiy maxraj (EKUM) — maxrajlardagi har bir turli koʻpaytuvchining u uchraydigan eng katta darajadagi koʻpaytmasi. $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ uchun EKUM $(x - 1)(x + 1)$ ga teng; har bir surat oʻz maxrajida yetishmayotgan koʻpaytuvchiga koʻpaytiriladi va $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ hosil boʻladi.

Ayirish ham xuddi shu tartibda bajariladi, faqat ikkinchi surat butunlay ayiriladi, shuning uchun minus ishorasini qavs ichiga tarqatishdan oldin uni qavsga oling. Birlashtirgandan soʻng yangi suratni koʻpaytuvchilarga ajrating va EKUM bilan biror narsa qisqarishini tekshiring.

Koʻpaytirish va boʻlish

Koʻpaytirish uchun umumiy maxraj kerak emas. Avval hammasini koʻpaytuvchilarga ajrating, istalgan suratda va istalgan maxrajda uchraydigan har qanday koʻpaytuvchini qisqartiring va qolganini koʻpaytiring. Koʻpaytirishdan oldin qisqartirish koʻphadlarni kichik saqlaydi.

Boʻlish uchun ikkinchi ifodaga teskari ifodaga koʻpaytiring. Bu yangi cheklov qoʻshadi: boʻluvchining surati nolga teng boʻlishi mumkin emas, chunki kasr agʻdarilgandan keyin u maxrajga aylanadi. $\frac{x}{x + 2}$ ni $\frac{x - 1}{x + 2}$ ga boʻlish $\frac{x}{x - 1}$ ni beradi, bunda $x \neq -2$ va $x \neq 1$ — ikkalasi ham chiqarib tashlanadi.

Chiqarib tashlangan qiymatlar nega muhim

Chiqarib tashlangan qiymatlar shunchaki rasmiyatchilik emas. $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ ning grafigi $\frac{x - 3}{x + 2}$ ning grafigiga oʻxshaydi, biroq unda $x = -3$ nuqtada teshik va $x = -2$ da vertikal asimptota bor. Kasr-ratsional ifodali tenglamalarni yechishda chiqarib tashlangan qiymatga teng boʻlgan yechim nomzodi chet ildiz hisoblanadi va rad etilishi kerak.

Koʻp uchraydigan xatolar

Koʻpaytuvchilar oʻrniga qoʻshiluvchilarni qisqartirish, masalan, $\frac{x + 2}{x}$ da $x$ ni oʻchirib tashlash.
Surat va maxrajlarni alohida-alohida qoʻshish: $\frac1x + \frac1y$ ifoda $\frac{2}{x + y}$ ga teng emas.
Ayirishda minus ishorasini butun ikkinchi suratga tarqatishni unutish.
Umumiy koʻpaytuvchini qisqartirgandan keyin chiqarib tashlangan qiymatlarni tushirib qoldirish.
Boʻlishda ikkinchi kasr oʻrniga birinchisini agʻdarish.

Maslahatlar

Boshqa har qanday ishdan oldin har bir surat va maxrajni toʻliq koʻpaytuvchilarga ajrating.
EKUMni koʻpaytuvchilarga ajratilgan shaklda yozing; uni erta ochib yuborish qisqartirishni qiyinlashtiradi.
Qisqartirishdan oldin chiqarib tashlangan qiymatlarni barcha maxrajlardan, jumladan, boʻluvchining suratidan ham yigʻib oling.
Natijani tekshirish uchun dastlabki va soddalashtirilgan shaklga $x = 5$ kabi qiymatni qoʻyib koʻring.
Natijaning toʻliq aniqlanish sohasini koʻrish uchun aniqlanish sohasi va qiymatlar toʻplami kalkulyatoridan foydalaning.

Koʻp beriladigan savollar

Kasr-ratsional ifodani qanday soddalashtiraman?

Surat va maxrajni toʻliq koʻpaytuvchilarga ajrating, ulardagi umumiy koʻpaytuvchilarni qisqartiring va dastlabki maxrajni nolga aylantiradigan x qiymatlarini chiqarib tashlangan qiymatlar sifatida koʻrsating.

Chiqarib tashlangan qiymat nima?

Oʻzgaruvchining maxrajni nolga aylantiradigan qiymati; unda ifoda aniqlanmagan. Dastlabki ifodaning chiqarib tashlangan qiymatlari soddalashtirilgandan keyin ham chiqarib tashlanganligicha qoladi.

Eng kichik umumiy maxrajni qanday topaman?

Har bir maxrajni koʻpaytuvchilarga ajrating va barcha turli koʻpaytuvchilarni ularning biror maxrajda uchraydigan eng katta darajasida olib, oʻzaro koʻpaytiring.

Nega (x + 2)/x dagi x ni qisqartirib boʻlmaydi?

Suratda x butun suratning koʻpaytuvchisi emas, balki qoʻshiluvchi. Faqat butun suratni va butun maxrajni koʻpaytirib turgan koʻpaytuvchilarnigina qisqartirish mumkin.

Kasr-ratsional ifodalarni qanday boʻlaman?

Birinchi ifodani ikkinchisiga teskari ifodaga koʻpaytiring, soʻngra koʻpaytuvchilarga ajratib qisqartiring. Ikkinchi ifodaning surati maxrajga aylangani uchun yangi chiqarib tashlangan qiymatlar qoʻshadi.

Kalkulyator bir nechta oʻzgaruvchi bilan ishlaydimi?

Bu kalkulyator bitta oʻzgaruvchili kasr-ratsional ifodalar bilan ishlaydi. Bir nechta oʻzgaruvchili koʻphad ifodalar uchun soddalashtirish kalkulyatoridan foydalaning.

Teshik va asimptotaning farqi nimada?

Teshik biror koʻpaytuvchi surat va maxrajdan birga qisqarib ketgan joyda paydo boʻladi. Vertikal asimptota esa soddalashtirilgandan keyin ham maxrajda qolgan koʻpaytuvchi nolga aylanadigan joyda paydo boʻladi.

Kasr-ratsional ifodalaringizni soddalashtiring yoki birlashtiring

Koʻpaytuvchilarga ajratish, umumiy maxraj va chiqarib tashlangan qiymatlarni koʻrish uchun yuqoriga bir yoki ikkita algebraik kasr kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash