Oshkormas funksiya hosilasi kalkulyatori

Oshkormas funksiya hosilasi kalkulyatori haqida

Koʻp egri chiziqlarni $y = f(x)$ koʻrinishida chiroyli yozib boʻlmaydi. $x^2 + y^2 = 25$ kabi aylana vertikal chiziq sinovidan oʻtmaydi, Dekart varagʻi kabi $x^3 + y^3 = 6xy$ egri chiziq uchun esa $y$ ning qulay formulasi umuman yoʻq. Ularning qiyaliklari deyarli har bir nuqtada baribir mavjud, oshkormas differensiallash esa ularni avval $y$ ni topmasdan aniqlaydigan usuldir.

Bu kalkulyator usulni aynan darsda oʻrgatilgandek bajaradi. U $y$ ni $x$ ning nomaʼlum funksiyasi deb hisoblaydi, tenglamangizning ikkala tomonini $x$ boʻyicha differensiallaydi va murakkab funksiya qoidasi orqali $y$ qatnashgan har bir hadga $y'$ koʻpaytuvchisini qoʻshadi. Soʻng $y'$ li hadlarni bir tomonga yigʻadi, $y'$ ni qavsdan chiqaradi va boʻladi — natijada $\frac{dy}{dx}$ uchun ham $x$ , ham $y$ orqali ifodalangan formula hosil boʻladi.

Egri chiziqdagi nuqtani bersangiz, kalkulyator uni qoʻyib, burchak koeffitsientining son qiymatini beradi va shu nuqtadagi urinma tenglamasini yozadi. Yakuniy formula xususiy hosilalar bashorat qiladigan $-\frac{F_x}{F_y}$ natija bilan solishtirilib, mustaqil tekshiriladi, shuning uchun javobni ishingizga koʻchirishdan oldin unga ishonishingiz mumkin.

Oshkormas differensiallash nima?

$x^2 + y^2 = 25$ kabi tenglama $y$ ni oshkormas aniqlaydi: u $y$ ni bevosita bermaydi, balki $x$ va $y$ orasidagi bogʻlanishni tavsiflaydi. Egri chiziqning koʻpchilik nuqtalari yaqinida $y$ baribir $x$ ning funksiyasi kabi oʻzini tutadi, hatto bu funksiyani yozib boʻlmasa ham. Oshkormas differensiallash uning hosilasini bogʻlanishning oʻzidan topadi.

Asosiy fakt — murakkab funksiya qoidasi. Agar $y$ $x$ ga bogʻliq boʻlsa, $y^2$ ning $x$ boʻyicha hosilasi $2y$ emas, balki $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . $\sin y$ , $e^y$ yoki $y$ dagi har qanday boshqa ifoda uchun ham shunday: odatdagidek differensiallang, soʻng $y'$ ga koʻpaytiring. Faqat $x$ dan iborat hadlar oddiy differensiallanadi, oʻzgarmaslar esa yoʻqoladi.

Natijada odatda ham $x$ , ham $y$ qatnashadi, masalan, $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . Bu kutilgan va toʻgʻri. Bitta $x$ -qiymatga egri chiziqdagi bir nechta nuqta mos kelishi mumkin va ularning har birida qiyalik har xil, shuning uchun qaysi nuqta nazarda tutilganini bilish uchun formulaga $y$ -koordinata kerak.

Oshkormas funksiya hosilasi kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

x va y qatnashgan, bitta tenglik belgili tenglamani yozing, masalan, x^2 + y^2 = 25 yoki x^3 + y^3 = 6 x y.
Harflar orasidagi koʻpaytirish uchun boʻsh joy yoki * dan foydalaning: x va y koʻpaytmasi uchun x y yoki x*y.
Xohlasangiz, shu yerdagi burchak koeffitsienti va urinmani olish uchun egri chiziqdagi x = 3, y = 4 kabi nuqtani kiriting.
Har bir tomonning differensiallanishini, y′ li hadlarning yigʻilishini va yakuniy formulani koʻrish uchun “dy/dx ni topish” tugmasini bosing.
Nuqta bergan boʻlsangiz, oxirgi qadamlardan burchak koeffitsienti va urinma tenglamasini oʻqib oling.

Formulalar

y li had uchun murakkab funksiya qoidasi

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

y bilan koʻpaytma qoidasi

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Xususiy hosilalar orqali qisqa yoʻl

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

(x₀, y₀) nuqtadagi urinma

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Yechib koʻrsatilgan misol: (3, 4) nuqtada x² + y² = 25

Quyidagi ishlangan misol $(3, 4)$ nuqtadagi $x^2 + y^2 = 25$ aylana uchun jonli hisoblanadi. Ikkala tomonni differensiallash $2x + 2y\,y' = 0$ ni beradi; $2y\,y'$ had murakkab funksiya qoidasidan kelib chiqadi. $2x$ ni narigi tomonga oʻtkazib, $2y$ ga boʻlsak, $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ chiqadi.

$(3, 4)$ da burchak koeffitsienti $-\frac34 = -0.75$ , shuning uchun urinma $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . Geometriya buni tasdiqlaydi: $(3, 4)$ ga oʻtkazilgan radiusning qiyaligi $\frac43$ , aylanaga urinma esa radiusga perpendikulyar, demak, uning qiyaligi teskari ishorali teskari son, yaʼni $-\frac34$ boʻlishi kerak.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{nuqtadagi burchak koeffitsienti} = -0.75

Masalangizni qanday tushundik

y ni x ning differensiallanuvchi funksiyasi deb hisoblab, oshkormas berilgan egri chiziq uchun dy/dx ni toping.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Bosqichma-bosqich yechim

y ni x ning funksiyasi deb hisoblab, ikkala tomonni x boʻyicha differensiallang
y qatnashgan har bir had murakkab funksiya qoidasini talab qiladi: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
Har bir tomonni differensiallash natijasi
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
y′ li hadlarni bir tomonga yigʻish
Barcha y′ li hadlarni chapga, qolgan hammasini oʻngga oʻtkazing, soʻng y′ ni qavsdan chiqaring.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
y′ ni ajratish uchun boʻlish
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
x = 3, y = 4 ni oʻrniga qoʻyish
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Nuqtadagi urinma
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Qoʻllanilgan formulalar

y uchun murakkab funksiya qoidasi
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Oshkormas funksiya hosilasi formulasi
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

Ikkala tomonni differensiallash tenglikni saqlaydi; y x ga bogʻliq boʻlgani uchun har bir y li had y′ koʻpaytuvchisini hosil qiladi, soʻng u algebraik yoʻl bilan topiladi. Natijada odatda x ham, y ham qatnashadi.

Tekshiruv

Mustaqil simvolik differensiallagichdan olingan −F_x / F_y bilan bir nechta nuqtada mos keladi ✓
(3, 4) egri chiziqda yotadi ✓

Batafsil tushuntirish

Usul toʻrt qadamda

Birinchidan, ikkala tomondagi har bir hadni $x$ boʻyicha differensiallang. Ikkinchidan, had $y$ ni oʻz ichiga olgan har bir joyda uning hosilasini $y'$ ga koʻpaytiring; $x$ va $y$ koʻpaytirilgan joyda koʻpaytma qoidasidan foydalaning. Uchinchidan, $y'$ qatnashgan barcha hadlarni bir tomonga, qolganlarini boshqa tomonga oʻtkazing. Toʻrtinchidan, $y'$ ni qavsdan chiqaring va qolgan ifodaga boʻling.

$x^3 + y^3 = 6xy$ ga qoʻllaganda, oʻng tomon koʻpaytma boʻlgani uchun dastlabki ikki qadam $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ ni beradi. Hadlarni yigʻish $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ ni beradi, demak, $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . Kalkulyator aynan shu ketma-ketlikni koʻrsatadi.

Nega murakkab funksiya qoidasi y′ ni hosil qiladi

$y$ ni koʻrinmaydigan $y(x)$ funksiya deb tasavvur qiling. Unda $y^3$ aslida murakkab funksiya — $y(x)$ ning kubi, murakkab funksiya qoidasiga koʻra uning hosilasi $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ . Oshkormas differensiallash — formulasi nomaʼlum ichki funksiyaga qoʻllangan oddiy murakkab funksiya qoidasidan boshqa narsa emas.

Shuning uchun $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ va $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . $\sin y = x$ tenglama uchun differensiallash $\cos y\,y' = 1$ ni beradi, demak, $y' = \frac{1}{\cos y}$ . Bu egri chiziq bosh tarmogʻida $y = \arcsin x$ boʻlgani uchun $\cos y$ ni $\sqrt{1 - x^2}$ deb yozsak, natija arksinus hosilasining tezkor keltirib chiqarilishini beradi.

Qiyaliklar, urinmalar va maxsus nuqtalar

Nuqtani formulaga qoʻyish u yerdagi qiyalikni beradi, lekin faqat nuqta haqiqatan egri chiziqda yotsa; avval uning dastlabki tenglamani qanoatlantirishini tekshirgan maʼqul. $m$ qiyalik va $(x_0, y_0)$ nuqta bilan urinma $y - y_0 = m(x - x_0)$ boʻladi.

Formula maxsus xususiyatlarni ham aniqlaydi. Gorizontal urinmalar $\frac{dy}{dx}$ ning surati nolga teng, maxraji esa nolga teng boʻlmagan joylarda boʻladi. Vertikal urinmalar maxraj nolga teng, surat esa nolga teng boʻlmagan joylarda boʻladi; aylanada bu $y = 0$ boʻlgan $(\pm 5, 0)$ nuqtalarda yuz beradi. Agar surat ham, maxraj ham nolga aylansa, masalan, Dekart varagʻining koordinata boshida, egri chiziq oʻzini kesib oʻtishi mumkin va qiyalikni alohida tekshirish kerak.

Xususiy hosilalar orqali qisqa yoʻl

Hamma narsani bir tomonga oʻtkazsak, egri chiziq $F(x, y) = 0$ koʻrinishida yoziladi. Koʻp oʻzgaruvchili analiz shunda $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ formulani beradi, bu yerda $F_x$ va $F_y$ xususiy hosilalar. $x^2 + xy + y^2 = 7$ uchun $F_x = 2x + y$ va $F_y = x + 2y$ , demak, $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , bu $(1, 2)$ da $-0.8$ ga teng.

Kalkulyator bu formuladan bosqichma-bosqich natijani mustaqil tekshirish uchun foydalanadi. Siz ham undan xuddi shunday foydalanishingiz mumkin: qoʻlda hisoblaganingiz va qisqa yoʻl mos kelsa, javobga ishonsangiz boʻladi.

Usul keyin qayerda qoʻllanadi: bogʻliq tezliklar

Oshkormas differensiallash bogʻliq tezliklar masalalarining harakatlantiruvchi kuchi. Narvon devor boʻylab sirpanib tushganda, uning pastki va yuqori uchlari har lahzada $x^2 + y^2 = L^2$ ni qanoatlantiradi, ikkala koordinata esa vaqtga bogʻliq. $x$ oʻrniga $t$ boʻyicha differensiallash $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ ni beradi, u pastki uchning tezligini yuqori uchning tezligi bilan bogʻlaydi.

Andoza bu sahifadagi bilan bir xil: bogʻlanishni differensiallang, oʻzgaradigan har bir kattalikka murakkab funksiya qoidasini qoʻllang va kerakli tezlikni toping. Logarifmik differensiallash ham shunga asoslanadi: $y = x^x$ ning ikkala tomonidan $\ln$ olinadi va $\ln y = x \ln x$ oshkormas differensiallanib, $y' = x^x(\ln x + 1)$ hosil qilinadi.

Koʻp uchraydigan xatolar

$y^2$ ning hosilasini $2y$ deb yozib, $y'$ koʻpaytuvchisini unutish.
Aralash hadlarda koʻpaytma qoidasini tashlab ketish, natijada $\frac{d}{dx}[xy]$ ni faqat $y'$ yoki $xy'$ deb yozish.
Oʻng tomondagi oʻzgarmasni 0 berish oʻrniga oʻzgaruvchi kabi differensiallash.
Qaralayotgan nuqtada nolga teng boʻlgan ifodaga boʻlish, bu vertikal urinmani yashirib qoʻyadi.
Dastlabki tenglamani qanoatlantirmaydigan nuqtani qoʻyish.
Kerak boʻlmaganda avval $y$ ni topish, bu koʻpincha ishorasi noaniq kvadrat ildizlarni keltirib chiqaradi.

Maslahatlar

Hadlarni yigʻishda hech biri yoʻqolmasligi uchun har bir $y'$ ni yozayotganda aylana ichiga oling yoki belgilang.
Agar koʻpaytma qoidasi hadlari sonini kamaytirsa, differensiallashdan oldin koʻpaytmalarni oching.
Natijangizni tez tekshirish uchun $-\frac{F_x}{F_y}$ dan foydalaning.
Yakuniy kasrni 2 yoki 3 kabi umumiy koʻpaytuvchilarga qisqartirib soddalashtiring.
Urinmani topishdan oldin nuqtangiz egri chiziqda yotishini tekshiring.
Ikkinchi hosila uchun $y'$ ni yana oshkormas differensiallang va birinchi hosila formulasini qoʻying.

Koʻp beriladigan savollar

Oshkormas differensiallashdan qachon foydalanish kerak?

y x ga x³ + y³ = 6xy kabi y ga nisbatan yechish qiyin yoki imkonsiz tenglama bilan bogʻlanganda yoki yechish egri chiziqni bir nechta tarmoqqa ajratib yuborganda, masalan, aylana va ellipslarda.

Nega dy/dx da x bilan birga y ham qatnashadi?

Oshkormas egri chiziqda bitta x-qiymatga har biri oʻz qiyaligiga ega bir nechta nuqta mos kelishi mumkin. Formuladagi y qaysi nuqta nazarda tutilganini koʻrsatadi. Aylana uchun −x/y (3, 4) da −0.75 ni, (3, −4) da esa +0.75 ni beradi.

Burchak koeffitsienti uchun nuqtani qanday kiritaman?

Ikkala koordinatani ixtiyoriy maydonga yozing, masalan, x = 3, y = 4. Kalkulyator ularni dy/dx ga qoʻyadi va urinmani nuqta va burchak koeffitsienti orqali yozadi.

sin y yoki e^y qatnashgan tenglamalarni differensiallay oladimi?

Ha. x va y dagi istalgan differensiallanuvchi ifodadan foydalanish mumkin. sin y va e^y kabi hadlar murakkab funksiya qoidasi orqali y′ koʻpaytuvchisini oladi, shuning uchun sin y = x dan dy/dx = 1/cos y kelib chiqadi.

dy/dx ning maxraji nolga teng boʻlsa, bu nimani bildiradi?

Surat ham nolga teng boʻlmasa, bunday nuqtada urinma vertikal boʻladi. x² + y² = 25 da bu (5, 0) va (−5, 0) da yuz beradi.

Oshkormas differensiallash xususiy hosilalardan foydalanish bilan bir xilmi?

Ular bir xil javob beradi. Bosqichma-bosqich usul murakkab funksiya qoidasidan bevosita foydalanadi, dy/dx = −F_x/F_y formula esa F(x, y) ning xususiy hosilalaridan foydalanadi. Kalkulyator birinchisini koʻrsatadi va ikkinchisi bilan tekshiradi.

Bu kalkulyator bilan d²y/dx² ni topa olamanmi?

Kalkulyator birinchi hosilani qaytaradi. Ikkinchisi uchun dy/dx formulasini boʻlinma qoidasi bilan yana differensiallang, y hamon x ga bogʻliq ekanini yodda tuting va paydo boʻlgan har bir y′ ni birinchi hosila ifodasi bilan almashtiring.

Tenglamada qaysi harflardan foydalanish kerak?

Tenglama x va y da yozilishi, y esa bogʻliq oʻzgaruvchi deb qaralishi kerak. Boshqa harflar qoʻllab-quvvatlanmaydi va kalkulyator ularning rolini taxmin qilish oʻrniga buni aytadi.

Differensiallashdan oldin y ni topishim kerakmi?

Yoʻq, odatda topmagan maʼqul. x² + y² = 25 ni y ga nisbatan yechish ±√(25 − x²) ni, yaʼni noqulay kvadrat ildizli ikkita alohida funksiyani beradi. Dastlabki tenglamani differensiallash aylananing ikkala yarmini birdaniga qamrab oladi.

Oshkormas tenglamangizni differensiallang

Murakkab funksiya qoidasining har bir qadami bilan dy/dx ni topish uchun yuqorida x va y dagi tenglamani kiriting, burchak koeffitsienti va urinmani olish uchun esa nuqta qoʻshing.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

Oshkormas funksiya hosilasi kalkulyatori haqida

Oshkormas differensiallash nima?

Oshkormas funksiya hosilasi kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Formulalar

y li had uchun murakkab funksiya qoidasi

y bilan koʻpaytma qoidasi

Xususiy hosilalar orqali qisqa yoʻl

(x₀, y₀) nuqtadagi urinma

Yechib koʻrsatilgan misol: (3, 4) nuqtada x² + y² = 25

Yakuniy javob

Masalangizni qanday tushundik

Bosqichma-bosqich yechim

Qoʻllanilgan formulalar

Tekshiruv

Batafsil tushuntirish

Usul toʻrt qadamda

Nega murakkab funksiya qoidasi y′ ni hosil qiladi

Qiyaliklar, urinmalar va maxsus nuqtalar

Xususiy hosilalar orqali qisqa yoʻl

Usul keyin qayerda qoʻllanadi: bogʻliq tezliklar

Koʻp uchraydigan xatolar

Maslahatlar

Koʻp beriladigan savollar

Oshkormas differensiallashdan qachon foydalanish kerak?

Nega dy/dx da x bilan birga y ham qatnashadi?

Burchak koeffitsienti uchun nuqtani qanday kiritaman?

sin y yoki e^y qatnashgan tenglamalarni differensiallay oladimi?

dy/dx ning maxraji nolga teng boʻlsa, bu nimani bildiradi?

Oshkormas differensiallash xususiy hosilalardan foydalanish bilan bir xilmi?

Bu kalkulyator bilan d²y/dx² ni topa olamanmi?

Tenglamada qaysi harflardan foydalanish kerak?

Differensiallashdan oldin y ni topishim kerakmi?

Oshkormas tenglamangizni differensiallang

Boshqa matematik kalkulyatorlar