Masofa formulasi kalkulyatori — 2 nuqta orasidagi masofa

Q: Masofa formulasi qanday?

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2). U ikki nuqtani tutashtiruvchi toʻgʻri kesmaning uzunligini beradi.

Q: Nega javob kvadrat ildiz koʻrinishida?

Δ x^2 + Δ y^2 toʻla kvadrat boʻlmasa, aniq masofa irratsional son boʻladi. Kalkulyator ildizni soddalashtiradi va oʻnli kasr koʻrinishini ham beradi.

Q: Masofa formulasi uch oʻlchovli fazoda ishlaydimi?

Ha, uchinchi had bilan: d = √(Δ x^2 + Δ y^2 + Δ z^2). Bu kalkulyator tekislikdagi nuqtalar bilan ishlaydi, shuning uchun faqat x va y koordinatalarni kiriting.

Masofa formulasi kalkulyatori haqida

Masofa formulasi — koordinatalarga qoʻllangan Pifagor teoremasi. Ikki nuqta orasidagi gorizontal va vertikal farqlar toʻgʻri burchakli uchburchakning katetlari, masofa esa uning gipotenuzasi.

Bu kalkulyator kvadrat ildizni aniq soddalashtiradi, shuning uchun $(−2, 1)$ dan $(3, −3)$ gacha masofa $\sqrt{41}$ ga, $(0,0)$ dan $(1, 3)$ gacha esa faqat yaxlitlangan oʻnli kasr emas, $\sqrt{10}$ ga teng chiqadi.

Masofa formulasi nima?

Masofa formulasi koordinata tekisligidagi ikki nuqtani tutashtiruvchi toʻgʻri kesmaning uzunligini beradi. Agar nuqtalar $(x_1, y_1)$ va $(x_2, y_2)$ boʻlsa, ular orasidagi gorizontal farq $x_2 - x_1$ , vertikal farq esa $y_2 - y_1$ . Bu ikki farqni chizsangiz, ular gipotenuzasi siz oʻlchamoqchi boʻlgan kesma boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchakning katetlarini hosil qiladi.

Soʻng Pifagor teoremasiga koʻra gipotenuza kvadrati katetlar kvadratlarining yigʻindisiga teng, kvadrat ildiz chiqarish esa masofani beradi. Natija har doim nol yoki musbat, qaysi nuqtani birinchi deb olishingizga bogʻliq emas va koordinatalar bilan bir xil birliklarda oʻlchanadi.

Odatiy qoʻllanishlar: katakli qogʻozga chizilgan uchburchak tomonlari uzunligini, markazi va undagi bir nuqta orqali aylana radiusini hamda xaritadagi ikki joy orasidagi toʻgʻri chiziq boʻyicha masofani topish.

Masofa formulasi kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Birinchi nuqtani (x₁, y₁) kiriting.
Ikkinchi nuqtani (x₂, y₂) kiriting.
Farqlar, ularning kvadratlari, yigʻindi va soddalashtirilgan ildizni koʻrish uchun “Masofani topish” tugmasini bosing.

Formulalar

Masofa formulasi

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Pifagor teoremasi

a^2 + b^2 = c^2

Kesma oʻrtasi

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Yechib koʻrsatilgan misol: (1, 2) va (4, 6)

Ishlangan misolda (1, 2) dan (4, 6) gacha masofa oʻlchanadi. Farqlar $\Delta x = 3$ va $\Delta y = 4$ , ularning kvadratlari 9 va 16, yigʻindisi 25, demak, $d = \sqrt{25} = 5$ — bu tanish 3-4-5 toʻgʻri burchakli uchburchak. Kalkulyator kesma oʻrtasini, (2.5, 4) ni ham koʻrsatadi va $d^2$ ning $\Delta x^2 + \Delta y^2$ ga tengligini tekshiradi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

d = 5

Masalangizni qanday tushundik

Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi toʻgʻri chiziqli (Evklid) masofani toping.

Bosqichma-bosqich yechim

Nuqtalarni belgilang
$(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)$
Gorizontal va vertikal farqlarni toping
$\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4$
Farqlarni kvadratga koʻtarib, qoʻshing
$(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$
Kvadrat ildiz chiqaring
$d = \sqrt{25} = 5$
Kesma oʻrtasi (koordinatalarning oʻrta qiymati)
$M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)$

Qoʻllanilgan formulalar

Masofa formulasi
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Kesma oʻrtasi formulasi
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Masofa formulasi — katetlari nuqtalar orasidagi gorizontal va vertikal farqlardan iborat toʻgʻri burchakli uchburchakka qoʻllangan Pifagor teoremasi.

Tekshiruv

d² = 25 qiymati Δx² + Δy² = 25 bilan mos keladi

Batafsil tushuntirish

Aniq ildizlar

Aksariyat nuqtalar juftligi butun sonli masofa bermaydi. (−2, 1) dan (3, −3) gacha farqlar 5 va −4, kvadratlar yigʻindisi 41 ga teng, 41 esa kvadrat koʻpaytuvchiga ega boʻlmagani uchun aniq javob $\sqrt{41} \approx 6.4031242$ . (1, 1) dan (7, 7) gacha kvadratlar yigʻindisi 72, $72 = 36 \times 2$ boʻlgani uchun kalkulyator ildizni $6\sqrt2 \approx 8.4852814$ ga soddalashtiradi. Masofa keyingi hisobga, masalan, perimetr yoki yuzga uzatilsa, ildizni aniq saqlash muhim.

Masofa, kesma oʻrtasi va aylanalar

Kesma oʻrtasi koordinatalarning oʻrta arifmetigi boʻlib, aynan kesmaning yarmida yotadi, shuning uchun undan har bir uchgacha masofa $\frac{d}{2}$ ga teng. Masofa formulasi aslida aylana tenglamasining boshqacha koʻrinishi: $(h, k)$ markazdan $r$ masofadagi nuqtalar $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ni qanoatlantiradi. Nuqta aylana ichida, ustida yoki tashqarisida yotishini bilish uchun uning markazgacha masofasini radius bilan solishtiring.

Nega kvadratga koʻtarish ishorani yoʻqotadi

$\Delta y = -4$ kabi farq nuqtalar tartibiga qarab manfiy boʻlishi mumkin, lekin uzunlik manfiy boʻlolmaydi. Kvadratga koʻtarish har bir farqni manfiy boʻlmagan songa aylantiradi, shuning uchun $(-4)^2$ ham, $4^2$ ham 16 ni beradi, yakuniy kvadrat ildiz esa musbat son qaytaradi. Ikki nuqtaning oʻrnini almashtirish javobni hech qachon oʻzgartirmasligining sababi ham shu. Xuddi shu mulohaza nega shunchaki $|\Delta x| + |\Delta y|$ ni qoʻshib boʻlmasligini tushuntiradi: bu koʻchalar toʻri boʻylab yurilgan masofa boʻlib, farqlardan biri nolga teng boʻlgan holdan tashqari, u toʻgʻri chiziqdan uzunroq.

Koʻp uchraydigan xatolar

Manfiy farqning kvadrati musbat ekanini unutish.
Har bir haddan alohida kvadrat ildiz chiqarish: $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .
Ayirishda x koordinatani y koordinata bilan aralashtirib yuborish.
Koordinatalarni ayirib, qoʻshishdan oldin ularni kvadratga koʻtarishni unutish.
Kvadrat ildizni juda erta yaxlitlab, keyingi qadamlarda yaxlitlangan qiymatdan foydalanish.

Maslahatlar

Butun sonli masofalarni payqash uchun 3-4-5 va 5-12-13 kabi Pifagor uchliklarini qidiring.
Masofa hech qachon manfiy emas va faqat nuqtalar ustma-ust tushganda nolga teng.
$\sqrt{n}$ ni eng katta kvadrat koʻpaytuvchini ildiz ostidan chiqarib soddalashtiring: $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ .
Gorizontal yoki vertikal kesmalar uchun formula kerak emas: masofa shunchaki oʻzgaradigan koordinataning farqiga teng.
Faqat ikki uzunlikni solishtirish kerak boʻlsa, masofadan ildiz chiqarish oʻrniga uning kvadratidan foydalaning.
$\sqrt{41}$ kabi aniq koʻrinishni eng soʻnggi qadamgacha saqlang va faqat yakuniy javobni yaxlitlang.

Koʻp beriladigan savollar

Masofa formulasi qanday?

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . U ikki nuqtani tutashtiruvchi toʻgʻri kesmaning uzunligini beradi.

U Pifagor teoremasi bilan qanday bogʻlangan?

x va y dagi farqlar toʻgʻri burchakli uchburchakning ikki katetini hosil qiladi; masofa gipotenuza, shuning uchun $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Nega javob kvadrat ildiz koʻrinishida?

$\Delta x^2 + \Delta y^2$ toʻla kvadrat boʻlmasa, aniq masofa irratsional son boʻladi. Kalkulyator ildizni soddalashtiradi va oʻnli kasr koʻrinishini ham beradi.

Masofani oʻlchashda qaysi nuqtani birinchi kiritishim muhimmi?

Yoʻq. Har bir farq kvadratga koʻtariladi, shuning uchun nuqtalarning oʻrnini almashtirish xuddi shu masofani beradi.

Manfiy yoki oʻnli kasr koordinatalardan foydalansam boʻladimi?

Ha. Manfiy va oʻnli qiymatlar yakuniy kvadrat ildizdan oldin aniq hisoblanadi.

Kesma oʻrtasini ham qanday topaman?

x koordinatalar va y koordinatalarning oʻrta arifmetigini oling. Kalkulyator kesma oʻrtasini masofa bilan birga koʻrsatadi.

Masofadagi kvadrat ildizni qanday soddalashtiraman?

Ildiz ostidagi sonning eng katta toʻla kvadrat koʻpaytuvchisini ildizdan chiqaring. (1, 1) dan (7, 7) gacha masofa $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ .

Masofa formulasi uch oʻlchovli fazoda ishlaydimi?

Ha, uchinchi had bilan: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ . Bu kalkulyator tekislikdagi nuqtalar bilan ishlaydi, shuning uchun faqat x va y koordinatalarni kiriting.

Uchta nuqta toʻgʻri burchakli uchburchak hosil qilishini qanday tekshiraman?

Masofa formulasi bilan uchta tomon uzunligini toping, soʻng ikki qisqa tomon kvadratlarining yigʻindisi eng uzun tomon kvadratiga tengligini tekshiring. Teng boʻlsa, uchburchakda toʻgʻri burchak bor.

Nuqtalaringiz orasidagi masofani oʻlchang

Aniq masofani soddalashtirilgan ildiz koʻrinishida, uning oʻnli qiymatini va kesma oʻrtasini olish uchun yuqoriga ikkita nuqtani kiriting.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

Ikki nuqta orasidagi masofa kalkulyatori