Trigonometriya

Istalgan uchburchakni har bir hol boʻyicha qanday yechish mumkin

Q: Uchburchakni yechish uchun nechta qism kerak?

Kamida bittasi tomon boʻlgan uchta qism. Faqat uchta burchak faqat shaklni aniqlaydi. SSA joylashuvi nol, bitta yoki ikkita uchburchak berishi mumkin, shuning uchun u qoʻshimcha tekshiruvni talab qiladi.

Q: Qiyshiq burchakli uchburchak uchun qaysi teoremadan boshlash kerak?

Agar sizda tomon va uning qarshisidagi burchak boʻlsa, sinuslar teoremasidan boshlang. Agar sizda SAS yoki SSS boʻlsa, bunday juftlik yoʻq, shuning uchun kosinuslar teoremasidan boshlang.

Q: Nega SSS masalalarida avval eng katta burchakni topish kerak?

Faqat eng katta burchak oʻtmas boʻlishi mumkin. Uni arkkosinus bilan topish uni toʻgʻri aniqlaydi, shundan keyin qolgan ikki burchak albatta oʻtkir boʻladi va hech qanday noaniqlik qolmaydi.

Q: Uchburchakni uchta burchak boʻyicha yechish mumkinmi?

Bir qiymatli emas. Uchburchakning har qanday kattalashtirilgan nusxasi bir xil burchaklarga ega, shuning uchun tomonlar nisbatlarini topish mumkin, lekin ularning uzunliklarini emas. Oʻlchamni aniqlash uchun bitta tomon uzunligi kerak.

Q: SOH CAH TOA nimani anglatadi?

Bu toʻgʻri burchakli uchburchak nisbatlarini eslab qolish uchun inglizcha mnemonik qoida: sinus qarshisidagi katetning gipotenuzaga nisbati (Sine, Opposite, Hypotenuse), kosinus yopishgan katetning gipotenuzaga nisbati (Cosine, Adjacent, Hypotenuse), tangens esa qarshisidagi katetning yopishgan katetga nisbati (Tangent, Opposite, Adjacent).

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Uchburchakni yechish berilgan qismlar boʻyicha uning uchala tomoni va uchala burchagini topishni anglatadi. Qaysi vositadan foydalanish qaysi uchta qism maʼlumligiga bogʻliq, shuning uchun birinchi qadam doimo holni aniqlashdir.

Uchburchakni yechish nimani anglatadi

Har bir uchburchakning oltita qismi bor: uchta tomon va uchta burchak. Umuman olganda, ulardan kamida bittasi tomon boʻlgan uchtasini bilish uchburchakni bir qiymatli aniqlaydi va qolgan uchtasini hisoblash mumkin. Faqat uchta burchakni bilish yetarli emas, chunki har qanday oʻlchamdagi oʻxshash uchburchaklarning burchaklari bir xil; bu hol baʼzan AAA deb ataladi va yagona yechimga ega emas.

Maʼlum qismlar uchburchak atrofida qaysi tartibda kelishiga qarab belgilanadi. ASA ikki burchak va ular orasidagi tomonni, SAS esa ikki tomon va ular orasidagi burchakni bildiradi. Oltita mumkin boʻlgan qolip va har biri uchun vosita quyidagicha:

Yana istalgan ikki qismi maʼlum toʻgʻri burchakli uchburchak: asosiy nisbatlar va Pifagor teoremasi.
AAS yoki ASA: burchaklar yigʻindisi, soʻng sinuslar teoremasi.
SAS: uchinchi tomon uchun kosinuslar teoremasi, soʻng qolgan burchaklar.
SSS: burchaklar uchun kosinuslar teoremasi.
SSA: nol, bitta yoki ikkita uchburchakni tekshirgan holda sinuslar teoremasi.
AAA: faqat shakl, yagona oʻlcham yoʻq.

Usulni tanlashdan oldin har doim uchburchak chizmasini chizing va berilgan qismlarni belgilang. Koʻpchilik xatolar tomonni notoʻgʻri burchak bilan juftlashdan kelib chiqadi.

Toʻgʻri burchakli uchburchaklar: SOH CAH TOA

Toʻgʻri burchakli uchburchakda $\theta$ oʻtkir burchak uchun uchta asosiy nisbat burchakni tomonlar bilan bogʻlaydi: qarshisidagi katet, yopishgan katet va gipotenuza.

\sin\theta = \frac{\text{qarshi}}{\text{gip}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{yopishgan}}{\text{gip}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{qarshi}}{\text{yopishgan}}

1-misol: gipotenuza 10, bir burchak $35^\circ$

Qarshisidagi katet: $10\sin 35^\circ \approx 5.736$ .
Yopishgan katet: $10\cos 35^\circ \approx 8.192$ .
Ikkinchi oʻtkir burchak: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
Tekshirish: $5.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2$ .

2-misol: daraxt balandligini soyasi boʻyicha topish

Quyosh ufqdan $40^\circ$ balandlikda boʻlganda daraxt 18 m uzunlikdagi soya tashlaydi.
Balandlik burchak qarshisida, soya esa unga yopishgan, shuning uchun tangensdan foydalaning: $h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10$ m.

Burchakni topish uchun teskari nisbatdan foydalaning. Tomonlari 3, 4, 5 boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchakning kichikroq oʻtkir burchagi $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$ ga teng.

Ikki burchak va bir tomon (AAS, ASA)

Uchinchi burchakni $180^\circ$ dan ayirib toping. Shunda sizda barcha burchaklar va bitta tomon boʻladi, bu esa sinuslar teoremasi uchun toʻliq juftlikdir:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

3-misol (ASA): $A = 50^\circ$ , $B = 65^\circ$ , $c = 12$

$C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ$ .
$a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14$ .
$B = C$ , demak, uchburchak teng yonli va qoʻshimcha hisobsiz $b = c = 12$ .

Berilgan ikki burchak yigʻindisi $180^\circ$ dan kichik boʻlsa, bu hollar doimo aynan bitta yechimga ega.

Ikki tomon va ular orasidagi burchak (SAS)

Maʼlum burchak qarshisidagi tomonni topish uchun kosinuslar teoremasidan foydalaning. Soʻng ikkinchi burchakni toping. Eng xavfsiz tanlov dastlabki ikki tomondan qisqarogʻi qarshisidagi burchakdir, chunki u oʻtkir boʻlishi shart va arksinus uni noaniqliksiz beradi.

4-misol: $b = 10$ , $c = 14$ , $A = 110^\circ$

$a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77$ , demak, $a \approx 19.79$ .
$A$ oʻtmas boʻlgani uchun $B$ va $C$ ikkalasi ham oʻtkir. $\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79}$ dan $B \approx 28.34^\circ$ kelib chiqadi.
$C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ$ .
Tekshirish: eng uzun tomon, 19.79, eng katta burchak, $110^\circ$ qarshisida joylashgan.

Uchta tomon (SSS)

Avval tomonlar uchburchak tengsizligini qanoatlantirishini tekshiring: har bir tomon qolgan ikkitasining yigʻindisidan qisqa boʻlishi kerak. Soʻng eng uzun tomon qarshisidagi burchakdan boshlab, kosinuslar teoremasining kosinus koʻrinishidan foydalaning:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

5-misol: 6, 8 va 9 tomonlar

9 qarshisidagi burchak: $\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}$ , demak, $C \approx 78.58^\circ$ .
6 qarshisidagi burchak: $\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}$ , demak, $A \approx 40.80^\circ$ .
8 qarshisidagi burchak: $180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ$ .
$81 < 36 + 64$ bashorat qilganidek, uchala burchak ham oʻtkir.

Ikki tomon va ular orasida boʻlmagan burchak (SSA)

Bu noaniq hol. Nomaʼlum burchakni sinuslar teoremasi, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ yordamida toping va natijani tahlil qiling:

Agar $\sin B > 1$ boʻlsa, uchburchak mavjud emas.
Agar $\sin B = 1$ boʻlsa, bitta toʻgʻri burchakli uchburchak bor.
Agar $\sin B < 1$ boʻlsa, $B$ ni ham, $180^\circ - B$ ni ham tekshiring. Uchinchi burchakni musbat qoldiradigan har biri haqiqiy uchburchak beradi.

Masalan, $A = 30^\circ$ , $a = 6$ va $b = 10$ boʻlsa, $\sin B = \frac{5}{6}$ , demak, $B \approx 56.44^\circ$ yoki $123.56^\circ$ . Ikkalasi ham uchinchi burchakka joy qoldiradi, shuning uchun ikkita uchburchak bor. Sinuslar teoremasi haqidagi maqolada ularning ikkalasi, shuningdek uchburchak yoʻq va bitta uchburchak hollari toʻliq ishlab chiqilgan.

Koʻtarilish va pasayish burchaklari

Koʻplab amaliy masalalarda burchaklar gorizontaldan oʻlchanadi. Koʻtarilish burchagi obyektga qarab yuqoriga, pasayish burchagi esa pastga qarab oʻlchanadi. Kuzatuvchi va obyekt joylashgan nuqtalardagi gorizontal chiziqlar parallel boʻlgani uchun A dan B ga pasayish burchagi B dan A ga koʻtarilish burchagiga teng.

6-misol: yoʻlning koʻtarilishi

Toʻgʻri yoʻl gorizontal boʻyicha oʻlchangan 200 m masofada $3^\circ$ burchak ostida koʻtariladi. U qancha balandlikka koʻtariladi?
Koʻtarilish $= 200\tan 3^\circ \approx 10.48$ m.
Qiyalik sifatida bu taxminan 5.2 foizni tashkil etadi, chunki $\tan 3^\circ \approx 0.0524$ .

Ikki kuzatuvli masalalar, masalan, bino tepasini yer boʻylab ikki nuqtadan kuzatish, toʻgʻri burchakli uchburchakni qiyshiq burchakli uchburchak bilan birlashtirib yechiladi, qiyshiq qismida koʻpincha sinuslar teoremasidan foydalaniladi.

Har bir javob uchun nazorat roʻyxati

Uchta burchak yigʻindisi $180^\circ$ ga teng.
Eng uzun tomon eng katta burchak qarshisida, eng qisqa tomon esa eng kichik burchak qarshisida joylashgan.
Har bir tomon qolgan ikkitasining yigʻindisidan qisqa.
Bir tomonni boshqa teorema bilan qayta hisoblash yaxlitlash aniqligida bir xil qiymat beradi.
Javoblar faqat oxirida, savolda soʻralgan aniqlikkacha yaxlitlanadi.

Uchburchak yechilgach, uning yuzi istalgan ikki tomon va ular orasidagi burchak yordamida $\frac{1}{2}ab\sin C$ dan kelib chiqadi. Kosinuslar teoremasi kalkulyatori barcha qiyshiq burchakli hollarni qadamlari bilan yechadi, masofa formulasi kalkulyatori esa koordinatalari bilan berilgan uchburchaklar bilan ishlaydi.

Yaxlitlash va aniqlik

Uchburchak masalalari bir nechta hisoblashlarni ketma-ket bogʻlaydi, shuning uchun boshida yoʻl qoʻyilgan kichik yaxlitlash xatolari oxirida sezilarli farqlarga aylanishi mumkin. Har bir oraliq qiymat uchun kalkulyatorning toʻliq aniqligini saqlang: natijalarni xotiraga yozing yoki kamida toʻrtta qiymatli raqam yozib boring. Faqat yakuniy javoblarni yaxlitlang va ularni savolda soʻralgan aniqlikkacha yaxlitlang: odatda gradusdagi burchaklar uchun bir yoki ikki kasr xonasigacha, uzunliklar uchun esa oqilona miqdordagi qiymatli raqamlargacha.

Yaxlitlash tufayli siz koʻrsatgan uchta burchak yigʻindisi $179.9^\circ$ yoki $180.1^\circ$ chiqishi mumkin. Bu usuldagi xato emas. Ammo yigʻindi butun bir gradus yoki undan koʻproq farq qilsa, nimadir notoʻgʻri ketgan, koʻpincha tomon notoʻgʻri burchak bilan juftlangan yoki oʻtmas yechim eʼtibordan chetda qolgan. Ikkinchi mustaqil hisoblash, masalan, oxirgi tomonni ikkala teorema bilan topish, javobingiz toʻgʻriligini tasdiqlashning eng ishonchli usulidir.

Koʻp beriladigan savollar

Uchburchakni yechish uchun nechta qism kerak?

Kamida bittasi tomon boʻlgan uchta qism. Faqat uchta burchak faqat shaklni aniqlaydi. SSA joylashuvi nol, bitta yoki ikkita uchburchak berishi mumkin, shuning uchun u qoʻshimcha tekshiruvni talab qiladi.

Qiyshiq burchakli uchburchak uchun qaysi teoremadan boshlash kerak?

Agar sizda tomon va uning qarshisidagi burchak boʻlsa, sinuslar teoremasidan boshlang. Agar sizda SAS yoki SSS boʻlsa, bunday juftlik yoʻq, shuning uchun kosinuslar teoremasidan boshlang.

Nega SSS masalalarida avval eng katta burchakni topish kerak?

Faqat eng katta burchak oʻtmas boʻlishi mumkin. Uni arkkosinus bilan topish uni toʻgʻri aniqlaydi, shundan keyin qolgan ikki burchak albatta oʻtkir boʻladi va hech qanday noaniqlik qolmaydi.

Uchburchakni uchta burchak boʻyicha yechish mumkinmi?

Bir qiymatli emas. Uchburchakning har qanday kattalashtirilgan nusxasi bir xil burchaklarga ega, shuning uchun tomonlar nisbatlarini topish mumkin, lekin ularning uzunliklarini emas. Oʻlchamni aniqlash uchun bitta tomon uzunligi kerak.

SOH CAH TOA nimani anglatadi?

Bu toʻgʻri burchakli uchburchak nisbatlarini eslab qolish uchun inglizcha mnemonik qoida: sinus qarshisidagi katetning gipotenuzaga nisbati (Sine, Opposite, Hypotenuse), kosinus yopishgan katetning gipotenuzaga nisbati (Cosine, Adjacent, Hypotenuse), tangens esa qarshisidagi katetning yopishgan katetga nisbati (Tangent, Opposite, Adjacent).

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.