Asosiy mazmunga oʻtish
MathSolver Pro
  • Yechuvchini ochish
  • AI repetitordan so‘rash
  • AP kursini topish
  • Test yaratish
  • Kalkulyatorni ochish
  • Grafik kalkulyator
  • Barcha kalkulyatorlar
  • Matematika qo‘llanmalarini o‘qish
↑ ↓Ochish uchun Enter · Yopish uchun Esc
Masala yechish

Birlik aylana kalkulyatori

Gradus yoki radianda burchakni kiriting va uning birlik aylanadagi nuqtasini, sinus, kosinus va tangensning aniq qiymatlarini, keltirish burchagi va chorakni hamda teskari funksiyalarni oling.

Gradusda, masalan, 150 yoki -45; radianda, masalan, 5pi/6, π/4 yoki 1.2.

Misollar

Birlik aylana kalkulyatori haqida

Birlik aylana trigonometriyani koordinatalarga aylantiradi. Har bir burchakka radiusi 1 boʻlgan aylanadagi nuqta mos keladi, burchakning kosinusi va sinusi esa shunchaki shu nuqtaning xx va yy koordinatalari. Bir nechta maxsus nuqtani yodlab, soʻng simmetriyadan foydalanish kalkulyatorsiz oʻnlab burchaklar uchun aniq qiymatlarni beradi.

Bu kalkulyator shu mulohazani siz uchun bajaradi. U burchakni gradus va radian oʻrtasida oʻtkazadi, bitta aylanishga keltiradi, chorak va keltirish burchagini topadi hamda maxsus burchaklar uchun 32\frac{\sqrt3}{2} kabi aniq qiymatlarni oʻqiydi. Boshqa burchaklar uchun aniq oʻnli kasrlarni beradi. Shuningdek, tangens, sekans, kosekans va kotangensni koʻrsatadi va ulardan biri aniqlanmagan boʻlsa, buni aytadi.

Birlik aylana nima?

Birlik aylana — markazi koordinata boshida, radiusi 1 boʻlgan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 aylana. θ\theta burchak xx oʻqining musbat yoʻnalishidan oʻlchanadi: musbat burchaklar soat millariga teskari, manfiylari esa soat millari boʻyicha. Burchakning oxirgi tomoni aylanani kesib oʻtgan nuqta (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta).

Bu nuqta aylanada yotgani uchun har bir burchakda cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 bajariladi — bu Pifagor ayniyati. Tangens sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} nisbat, yaʼni oxirgi tomonning burchak koeffitsienti, teskari funksiyalar esa sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} va cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}.

Birlik aylana kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

  1. Burchakni kiriting, masalan, 150, -30 yoki 5pi/4.
  2. Gradus yoki radianni tanlang.
  3. “Qiymatlarni topish” tugmasini bosing.
  4. Chorak, keltirish burchagi va aniq koordinatalarni oʻqing.
  5. Koordinatalar ostida keltirilgan tangens va teskari funksiyalar qiymatlaridan foydalaning.

Formulalar

Aylanadagi nuqta

P(θ)=(cos⁡θ, sin⁡θ)P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

Gradusdan radianga

θrad=θgrad⋅π180\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}

Pifagor ayniyati

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Tangens

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Yechib koʻrsatilgan misol: θ = 150°

Misolda θ=150°\theta = 150° olinadi. Burchak II chorakda yotadi, u yerda xx manfiy, yy esa musbat, keltirish burchagi esa 180°−150°=30°180° - 150° = 30°.

30°30° ga mos nuqta (32,12)(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12). II chorak ishoralarini qoʻllash (−32,12)(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12) ni beradi, sinusni kosinusga boʻlish esa tan⁡150°=−33\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3} ni beradi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

(cos⁡θ,sin⁡θ)=(−32, 12)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

Masalangizni qanday tushundik

150° uchun birlik aylana qiymatlari

θ=150∘\theta = 150^\circ

Bosqichma-bosqich yechim

  1. Gradusni radianga aylantiring (π/180) ga koʻpaytiring

    θ=150∘=5π6 rad\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}

  2. Oxirgi tomonni aniqlang: II chorakda

    II chorakda sinus musbat, kosinus esa manfiy (ASTC qoidasi: I chorakda hammasi, II da sinus, III da tangens, IV da kosinus musbat).

  3. Keltirish burchagi (x oʻqi bilan hosil qilingan oʻtkir burchak)

    θkelt=30∘\theta_{\text{kelt}} = 30^\circ

  4. Keltirish burchagidan aniq koordinatalarni oling va chorak ishoralarini qoʻllang

    (cos⁡θ,sin⁡θ)=(−32, 12)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

  5. Tangens = sinus ÷ kosinus

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−33\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

  6. Teskari funksiyalar

    csc⁡θ=2,sec⁡θ=−233,cot⁡θ=−3\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}

Qoʻllanilgan formulalar

  • Birlik aylanadagi nuqta

    (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

  • Tangens va teskari funksiyalar

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ, csc⁡θ=1sin⁡θ, sec⁡θ=1cos⁡θ, cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}

  • Graduslar va radianlar

    rad=grad×π180\text{rad} = \text{grad} \times \frac{\pi}{180}

150° (5π/6 rad) burchakning oxirgi tomoni II chorakda yotadi, keltirish burchagi 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Tekshiruv

  • cos²θ + sin²θ = 1 (1) ga teng boʻlishi kerak.

Batafsil tushuntirish

Maxsus burchaklar

Uchta oʻtkir burchakning aniq qiymatlari oddiy. 30°30° da nuqta (32,12)(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12), 45°45° da (22,22)(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2}), 60°60° da esa (12,32)(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}). Ular 30-60-90 va 45-45-90 uchburchaklaridan kelib chiqadi. Oʻqlardagi 0°0°, 90°90°, 180°180° va 270°270° burchaklar bilan birga ular birlik aylananing tanish oʻn oltita nuqtasini hosil qiladi.

Keltirish burchaklari va chorak ishoralari

Har bir burchakning keltirish burchagi bor: uning oxirgi tomoni bilan xx oʻqi orasidagi oʻtkir burchak. Burchak koordinatalarining kattaligi keltirish burchagi koordinatalari bilan bir xil; chorakka qarab faqat ishoralar oʻzgaradi. I chorakda ikkalasi ham musbat, II da faqat sinus, III da faqat tangens, IV da esa faqat kosinus musbat. Shunday qilib, III chorakdagi, keltirish burchagi 45°45° boʻlgan 225°225° ga teng 5π4\frac{5\pi}{4} burchak (−22,−22)(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2}) ni beradi.

Toʻliq aylanishdan katta yoki manfiy burchaklar avval 360°360° ni qoʻshish yoki ayirish orqali keltiriladi. Kalkulyator 765°765° ni 45°45° ga keltiradi, −30°-30° ni esa IV chorakdagi 330°330° deb oladi, u yerda nuqta (32,−12)(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12).

Aniqlanmagan qiymatlar va maxsus boʻlmagan burchaklar

Tangens va sekans kosinusga boʻlinadi, shuning uchun ular oxirgi tomon vertikal boʻlgan 90°90° va 270°270° da aniqlanmagan. Kotangens va kosekans sinusga boʻlinadi va 0°0° hamda 180°180° da aniqlanmagan. Kalkulyator maʼnosiz son chiqarish oʻrniga bu holatlarni aytib oʻtadi.

20°20° kabi aksariyat burchaklarning oddiy ildizli koʻrinishi yoʻq. Ular uchun kalkulyator oʻnli qiymatlarni beradi va ishoralar nega shunday chiqishini koʻrishingiz uchun baribir chorak va keltirish burchagidan foydalanadi.

Koʻp uchraydigan xatolar

  • Koordinatalarni chalkashtirish: kosinus — xx koordinata, sinus — yy koordinata.
  • π\pi bilan yozilgan burchak uchun gradus rejimini yoki gradusdagi burchak uchun radian rejimini ishlatish.
  • Keltirish burchagini xx oʻqidan emas, yy oʻqidan oʻlchash.
  • Notoʻgʻri chorak ishorasini qoʻllash; har bir chorakda qaysi funksiyalar musbat ekanini eslang.
  • tan⁡90°\tan 90° ni aniqlanmagan deyish oʻrniga katta son deb yozish.

Maslahatlar

  • 30°30°, 45°45° va 60°60° uchun qiymatlarni yodlang; qolganlari simmetriyadan kelib chiqadi.
  • Radiandagi burchaklarni tez joylashtirish uchun π6\frac{\pi}{6} va π4\frac{\pi}{4} ning karralilari bilan sanang.
  • Kerak boʻlsa, maxrajni irratsionallikdan qutqaring: 13=33\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}.
  • Natijalarni cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 bilan tekshiring.
  • Bu funksiyalar orasidagi bogʻlanishlarni isbotlash uchun trigonometrik ayniyatlar kalkulyatoridan foydalaning.

Koʻp beriladigan savollar

Birlik aylanadagi nuqtaning koordinatalari qanday?

θ burchak uchun nuqta (cos θ, sin θ). x koordinata — kosinus, y koordinata — sinus.

Keltirish burchagi qanday topiladi?

Burchakni 0° va 360° oraligʻiga keltiring, soʻng x oʻqigacha boʻlgan oʻtkir burchakni oʻlchang: I chorakda θ, II da 180° − θ, III da θ − 180° va IV da 360° − θ.

Burchaklarni radianda kiritsam boʻladimi?

Ha. Radianni tanlang va pi/3 yoki 5pi/4 kabi ifodalarni yozing. Kalkulyator qadamlarda radian va gradus oʻrtasida oʻtkazadi.

Nega tan 90° aniqlanmagan?

Tangens — sinusning kosinusga nisbati, cos 90° = 0 esa. Nolga boʻlish aniqlanmagan, shuning uchun tan 90° va sec 90° ning qiymati yoʻq.

Kalkulyator manfiy burchaklar va 360° dan katta burchaklar bilan ishlaydimi?

Ha. U ularni bitta aylanish ichidagi teng kuchli burchakka keltiradi. Masalan, 765° burchak 45° ga keltiriladi, −30° esa 330° deb olinadi.

Maxsus boʻlmagan burchaklarda nima boʻladi?

20° kabi burchaklarning oddiy aniq koʻrinishi yoʻq, shuning uchun kalkulyator oʻnli qiymatlarni koʻrsatadi va baribir chorak hamda keltirish burchagini tushuntiradi.

Har bir chorakda qaysi trigonometrik funksiyalar musbat?

I chorakda hammasi, II da sinus va kosekans, III da tangens va kotangens, IV da kosinus va sekans musbat.

ASTC qoidasi nimani bildiradi?

Bu chorak ishoralarini eslab qolish uchun qisqartma boʻlib, I chorakdan soat millariga teskari oʻqiladi: I da barcha funksiyalar, II da sinus, III da tangens, IV da kosinus musbat. Har bir ishorani oʻz choragi bilan bogʻlashingiz uchun kalkulyator uni chorak qadamida keltiradi.

Aniq trigonometrik qiymatlarni toping

Birlik aylanadagi nuqtani, keltirish burchagini va barcha oltita trigonometrik qiymatni koʻrish uchun yuqoriga istalgan burchakni kiriting.

Kalkulyatordan foydalanishSI matematika yechuvchisidan soʻrash

Boshqa matematik kalkulyatorlar

Trigonometrik ayniyatlar kalkulyatoriTrigonometriyaKosinuslar teoremasi kalkulyatoriTrigonometriyaKasrlar kalkulyatoriUmumiy matematikaFoiz kalkulyatoriUmumiy matematikaEKUB kalkulyatoriUmumiy matematikaEKUK kalkulyatoriUmumiy matematika