Asosiy mazmunga oʻtish
MathSolver Pro
  • Yechuvchini ochish
  • AI repetitordan so‘rash
  • AP kursini topish
  • Test yaratish
  • Kalkulyatorni ochish
  • Grafik kalkulyator
  • Barcha kalkulyatorlar
  • Matematika qo‘llanmalarini o‘qish
↑ ↓Ochish uchun Enter · Yopish uchun Esc
Masala yechish

Trigonometriya

Sinuslar teoremasi, jumladan, noaniq hol

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan

Sinuslar teoremasiga koʻra, har qanday uchburchakda har bir tomonni qarshisidagi burchak sinusiga boʻlish bir xil sonni beradi. U ikki burchak va bir tomon maʼlum boʻlganda, ehtiyotkorlik bilan esa ikki tomon va ulardan birining qarshisidagi burchak maʼlum boʻlganda uchburchaklarni yechadi.

Formula va belgilash qoidasi

Uchburchak burchaklarini AA, BB va CC deb belgilang, har bir burchak qarshisidagi tomonni esa mos ravishda aa, bb va cc deb ataylik. Burchak qarshisidagi tomon unga tegmaydigan tomondir. Shu belgilashda sinuslar teoremasi quyidagicha:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Bu yerda RR uchala uchidan oʻtadigan aylananing, yaʼni tashqi chizilgan aylananing radiusi. Bir vaqtda uchta kasrdan faqat ikkitasi ishlatiladi, shuning uchun teorema aslida tomon, uning qarshisidagi burchak, boshqa tomon va oʻsha tomon qarshisidagi burchak orasidagi proporsiyadir. Uni agʻdarilgan holda ham yozish mumkin: sin⁡Aa=sin⁡Bb\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}, nomaʼlum burchak boʻlganda bu qulayroq.

Teorema faqat toʻgʻri burchakli uchburchaklar uchun emas, har qanday uchburchak uchun ishlaydi, shuning uchun u koʻpincha ixtiyoriy uchburchaklar trigonometriyasi deb ataladigan boʻlimga kiradi. C=90∘C = 90^\circ boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchakda u tanish sin⁡A=ac\sin A = \frac{a}{c} ga keltiriladi, chunki sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1.

Nega sinuslar teoremasi toʻgʻri

CC uchidan cc tomonga perpendikulyar tushiring va uning uzunligini hh deb belgilang. U uchburchakni ikkita toʻgʻri burchakli uchburchakka ajratadi. AA burchakni oʻz ichiga olganida gipotenuza bb, demak, h=bsin⁡Ah = b\sin A. BB burchakni oʻz ichiga olganida gipotenuza aa, demak, h=asin⁡Bh = a\sin B.

Ikkala ifoda ham bir xil balandlikka teng, shuning uchun bsin⁡A=asin⁡Bb\sin A = a\sin B. Ikkala tomonni sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B ga boʻlsak, asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} hosil boʻladi. Mulohazani boshqa uchdan tushirilgan balandlik bilan takrorlash cc tomonni ham qoʻshadi. Agar AA burchak oʻtmas boʻlsa, balandlik asosi uchburchakdan tashqariga tushadi, lekin sin⁡(180∘−A)=sin⁡A\sin(180^\circ - A) = \sin A boʻlgani uchun xuddi shu tengliklar bajariladi.

Xuddi shu balandlik yuza formulasini beradi. Yuza asos bilan balandlik koʻpaytmasining yarmiga teng, shuning uchun asos cc va balandlik bsin⁡Ab\sin A bilan:

Yuza=12bcsin⁡A=12acsin⁡B=12absin⁡C\text{Yuza} = \tfrac{1}{2}bc\sin A = \tfrac{1}{2}ac\sin B = \tfrac{1}{2}ab\sin C

Masalan, 50∘50^\circ burchak ostida tutashgan 8 va 11 tomonli uchburchakning yuzi 12(8)(11)sin⁡50∘≈33.71\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71 kvadrat birlik.

Qachon foydalanish kerak: AAS va ASA

Sinuslar teoremasi uchun kamida bitta toʻliq juftlik kerak: tomon va uning qarshisidagi burchak. Ikki burchak maʼlum boʻlsa, uchinchisi ham maʼlum, chunki uchburchak burchaklarining yigʻindisi 180∘180^\circ. Demak, ikki burchak va bir tomon berilgan har qanday masalani sinuslar teoremasi bilan oxiriga yetkazish mumkin. Bu hollar AAS (burchak, burchak, tomon) va ASA (burchak, tomon, burchak) deyiladi.

1-misol (AAS): A=40∘A = 40^\circ, B=60∘B = 60^\circ, a=10a = 10

  1. Uchinchi burchak: C=180∘−40∘−60∘=80∘C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ.
  2. bb ni toping: bsin⁡60∘=10sin⁡40∘\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}, demak, b=10sin⁡60∘sin⁡40∘≈13.47b = \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 13.47.
  3. cc ni toping: c=10sin⁡80∘sin⁡40∘≈15.32c = \frac{10\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.32.
  4. Mantiqiy tekshiruv: eng katta burchak, 80∘80^\circ, eng uzun tomon, yaʼni 15.32 qarshisida joylashgan.

2-misol (ASA): A=35∘A = 35^\circ, C=75∘C = 75^\circ, b=20b = 20

  1. Maʼlum tomon ikki maʼlum burchak orasida yotadi. Avval B=180∘−35∘−75∘=70∘B = 180^\circ - 35^\circ - 75^\circ = 70^\circ ni toping, bu bb, BB juftligini toʻldiradi.
  2. a=20sin⁡35∘sin⁡70∘≈12.21a = \frac{20\sin 35^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 12.21.
  3. c=20sin⁡75∘sin⁡70∘≈20.56c = \frac{20\sin 75^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 20.56.

Har bir hisoblashda oʻzingiz topib yaxlitlagan tomonni emas, berilgan tomonni ishlating. Shunda yaxlitlash xatolari toʻplanib bormaydi.

Noaniq hol (SSA)

Ikki tomon va ulardan birining qarshisidagi burchak maʼlum boʻlganda, maʼlumotlar hech qanday uchburchakni, aynan bittasini yoki ikkita turli uchburchakni tasvirlashi mumkin. Sababi, oʻtkir burchak sinusi va uni toʻldiruvchi burchak sinusi teng, shuning uchun sin⁡B=k\sin B = k ni yechish ikkita nomzod burchakni, BB va 180∘−B180^\circ - B ni beradi va ikkalasi ham mos kelishi mumkin.

Faraz qilaylik, AA burchak oʻtkir, aa uning qarshisidagi tomon, bb esa boshqa maʼlum tomon. h=bsin⁡Ah = b\sin A balandlikni hisoblang. U holda:

  • Agar a<ha < h boʻlsa, tomon asosga yetish uchun juda qisqa: uchburchak yoʻq.
  • Agar a=ha = h boʻlsa, u aynan yetadi: bitta toʻgʻri burchakli uchburchak.
  • Agar h<a<bh < a < b boʻlsa, u ikki holatga burila oladi: ikkita uchburchak.
  • Agar a≥ba \ge b boʻlsa, faqat bitta holat mos keladi: bitta uchburchak.

Agar AA oʻtmas boʻlsa, a>ba > b boʻlganda bitta uchburchak bor, aks holda birorta ham yoʻq, chunki oʻtmas burchak qarshisidagi tomon eng uzun boʻlishi kerak.

3-misol: A=30∘A = 30^\circ, a=6a = 6, b=10b = 10 dan ikkita uchburchak

  1. Balandlik: h=10sin⁡30∘=5h = 10\sin 30^\circ = 5. 5<6<105 < 6 < 10 boʻlgani uchun ikkita uchburchak kutiladi.
  2. sin⁡B=10sin⁡30∘6=56≈0.8333\sin B = \frac{10\sin 30^\circ}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333, demak, B≈56.44∘B \approx 56.44^\circ yoki B≈123.56∘B \approx 123.56^\circ.
  3. Birinchi uchburchak: C≈93.56∘C \approx 93.56^\circ va c=6sin⁡Csin⁡30∘≈11.98c = \frac{6\sin C}{\sin 30^\circ} \approx 11.98.
  4. Ikkinchi uchburchak: C≈26.44∘C \approx 26.44^\circ va c≈5.34c \approx 5.34.

4-misol: uchburchak yoʻq va bitta uchburchak

  1. A=30∘A = 30^\circ, a=4a = 4, b=10b = 10 da: sin⁡B=10(0.5)4=1.25\sin B = \frac{10(0.5)}{4} = 1.25. Sinus 1 dan oshmaydi, shuning uchun uchburchak mavjud emas.
  2. A=30∘A = 30^\circ, a=12a = 12, b=10b = 10 da: sin⁡B=512\sin B = \frac{5}{12}, demak, B≈24.62∘B \approx 24.62^\circ yoki 155.38∘155.38^\circ.
  3. Ikkinchi variant mos kelmaydi, chunki 30∘+155.38∘>180∘30^\circ + 155.38^\circ > 180^\circ. Bitta uchburchak: C≈125.38∘C \approx 125.38^\circ, c≈19.57c \approx 19.57.

Geodezik masala

Geodezistlar sinuslar teoremasidan piyoda bosib oʻtib boʻlmaydigan masofalarni oʻlchash uchun foydalanadi. Daryoning bir qirgʻogʻidagi PP va QQ nuqtalar orasidagi masofa 100 m. Narigi qirgʻoqda TT daraxt turibdi. PP nuqtada qirgʻoq bilan daraxtga qaragan nigoh chizigʻi orasidagi burchak 52∘52^\circ, QQ nuqtada esa 71∘71^\circ.

5-misol: daryoning kengligi

  1. Daraxtdagi burchak: 180∘−52∘−71∘=57∘180^\circ - 52^\circ - 71^\circ = 57^\circ, u maʼlum 100 m lik bazis chiziq qarshisida joylashgan.
  2. QQ dan daraxtgacha boʻlgan, 52∘52^\circ burchak qarshisidagi masofa: QT=100sin⁡52∘sin⁡57∘≈93.96QT = \frac{100\sin 52^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 93.96 m.
  3. PP dan daraxtgacha boʻlgan masofa: PT=100sin⁡71∘sin⁡57∘≈112.74PT = \frac{100\sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 112.74 m.
  4. Kenglik, yaʼni daraxtdan qirgʻoqqacha perpendikulyar masofa: QTsin⁡71∘≈88.84QT\sin 71^\circ \approx 88.84 m. PTsin⁡52∘PT\sin 52^\circ dan foydalanish ham xuddi shu qiymatni beradi, bu foydali tekshiruv.

Uchburchaklarning katta tarmoqlari boʻylab takrorlangan xuddi shu triangulyatsiya gʻoyasi sunʼiy yoʻldosh orqali joylashuvni aniqlash paydo boʻlishidan oldin butun mamlakatlar xaritasini tuzishda qoʻllanilgan va hozir ham GPS qabul qilgichlari hamda mobil tarmoqlar burchak va masofalardan joylashuvni baholashining asosi boʻlib qolmoqda.

Sinuslar teoremasimi yoki kosinuslar teoremasimi?

Sizga nima berilganiga qarang. Agar tomon va uning qarshisidagi burchak hamda yana bitta element maʼlum boʻlsa, sinuslar teoremasidan foydalaning. Agar ikki tomon va ular orasidagi burchak (SAS) yoki uchala tomon (SSS) maʼlum boʻlsa, toʻliq juftlik yoʻq, shuning uchun kosinuslar teoremasidan boshlang. Kosinuslar teoremasi bir marta qoʻllanilgandan keyin odatda juftlik paydo boʻladi va sinuslar teoremasi ishni yakunlashi mumkin, biroq arksinusning noaniqligidan qochish uchun eng katta burchakni avval kosinuslar teoremasi bilan topish xavfsizroq.

Har bir hol uchun toʻliq qaror qabul qilish jarayoni uchburchaklarni yechish qoʻllanmamizda bayon etilgan. Burchak qiymatlarining oʻziga kelsak, birlik aylana noaniq holning manbai boʻlgan sin⁡θ=sin⁡(180∘−θ)\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta) nega bajarilishini tushuntiradi.

Keng tarqalgan xatolar

  • Tomonni uning qarshisida boʻlmagan burchak bilan juftlash. Avval uchburchakni chizing va belgilang.
  • SSA holida ikkinchi yechim 180∘−B180^\circ - B ni unutish.
  • Burchaklar yigʻindisini 180∘180^\circ dan oshiradigan ikkinchi yechimni qabul qilish.
  • Burchaklar gradusda boʻlganda kalkulyatordan radian rejimida foydalanish.
  • Oraliq burchaklarni qoʻpol yaxlitlash, bu yakuniy tomonlarni sezilarli siljitishi mumkin.

Tez mantiqiy tekshiruv aksariyat xatolarni aniqlaydi: eng uzun tomon eng katta burchak qarshisida, eng qisqa tomon esa eng kichik burchak qarshisida boʻlishi kerak. Kosinuslar teoremasi kalkulyatori har qanday uchburchakni uchta maʼlum elementi boʻyicha yechadi va noaniq holda ikkala yechimni ham koʻrsatadi, shuning uchun ishingizni tekshirishingiz mumkin.

Koʻp beriladigan savollar

Sinuslar teoremasi toʻgʻri burchakli uchburchaklar uchun ishlaydimi?

Ha. C=90∘C = 90^\circ da sin⁡C=1\sin C = 1, demak, asin⁡A=c\frac{a}{\sin A} = c, bu odatiy sin⁡A=ac\sin A = \frac{a}{c} taʼrifiga aylanadi. Toʻgʻri burchakli uchburchaklar uchun asosiy nisbatlar odatda tezroq, lekin sinuslar teoremasi ham xuddi shu javoblarni beradi.

Nega SSA baʼzan ikkita uchburchak beradi?

0<k<10 < k < 1 uchun sin⁡B=k\sin B = k ni yechish oʻtkir burchakni va uni toʻldiruvchi oʻtmas burchakni beradi, ikkalasining sinusi bir xil. Agar maʼlum burchak bilan oʻtmas nomzod yigʻindisi hali ham 180∘180^\circ dan kichik boʻlsa, ikkala uchburchak ham mavjud.

Sinuslar teoremasidagi 2R nimani bildiradi?

Har bir asin⁡A\frac{a}{\sin A} nisbat uchta uchdan oʻtuvchi aylananing diametriga teng. Masalan, a=10a = 10 va A=30∘A = 30^\circ boʻlgan uchburchakda 100.5=20\frac{10}{0.5} = 20, demak, uning tashqi chizilgan aylanasining radiusi 10.

Sinuslar teoremasi yordamida burchakni topsa boʻladimi?

Ha, sin⁡B=bsin⁡Aa\sin B = \frac{b\sin A}{a} ni yechib, arksinusni olish orqali. Arksinus faqat oʻtkir burchaklarni qaytarishini unutmang, shuning uchun uni toʻldiruvchi oʻtmas burchak ham mos kelish-kelmasligini tekshiring.

Uchburchak masalam qaysi holga tegishli ekanini qanday bilaman?

Uchta maʼlum elementni uchburchak atrofida tartib bilan sanab chiqing. Ikki burchak va istalgan tomon AAS yoki ASA boʻladi va sinuslar teoremasi uni bevosita yechadi. Ikki tomon va ular orasidagi burchak SAS, uchta tomon esa SSS; ikkalasi uchun avval kosinuslar teoremasi kerak. Ikki tomon va ular orasida boʻlmagan burchak SSA, yaʼni noaniq hol boʻlib, unda nol, bitta yoki ikkita uchburchak borligini tekshirish kerak.

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.