Birlik aylana: radianlar, keltirish burchaklari va aniq trigonometrik qiymatlar

Birlik aylana nima

Birlik aylana markazi koordinatalar boshida joylashgan, radiusi 1 ga teng aylana boʻlib, uning tenglamasi $x^2 + y^2 = 1$. Burchaklar x oʻqining musbat yoʻnalishidan oʻlchanadi: musbat burchaklar soat miliga teskari, manfiylari esa soat mili boʻyicha. Burchak boshlanadigan tomon boshlangʻich tomon, tugaydigan tomon esa oxirgi tomon deyiladi.

Har qanday $\theta$ burchak uchun oxirgi tomon aylanani aynan bitta nuqtada kesadi. Birlik aylanani shunchalik foydali qiladigan taʼrif shuki, bu nuqtaning koordinatalari $(\cos\theta, \sin\theta)$. Tangens ularning nisbatidir:

Oʻtkir burchaklar uchun bu sizga allaqachon tanish boʻlishi mumkin boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak taʼriflariga mos keladi. Nuqtadan x oʻqiga perpendikulyar tushirsangiz, gipotenuzasi 1, yopishgan kateti $x$ va qarshisidagi kateti $y$ boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak hosil boʻladi. Demak, $\cos\theta = \frac{x}{1}$ va $\sin\theta = \frac{y}{1}$. Birlik aylana bu taʼriflarni har qanday burchakka, jumladan, oʻtmas, manfiy va juda katta burchaklarga ham kengaytiradi.

Gradus va radianlar

Toʻliq aylanish $360^\circ$ yoki $2\pi$ radianga teng. Bir radian uzunligi radiusga teng yoyni ajratadigan burchakdir. Radiusi 1 boʻlgan birlik aylanada burchakning radian oʻlchovi aynan u ajratgan yoy uzunligiga teng, shuning uchun radianlar matematik analizda tabiiy birlik hisoblanadi.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• $\frac{7\pi}{4}$ radian $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Bir radian taxminan $57.3^\circ$ ga teng.

Birinchi chorakdagi maxsus burchaklar

Uchta burchakning aniq qiymatlari ikkita tanish uchburchakdan kelib chiqadi. $45^\circ$ burchak gipotenuzasi 1 boʻlgan teng yonli toʻgʻri burchakli uchburchakdan olinadi, uning ikkala kateti ham $\frac{\sqrt{2}}{2}$. $30^\circ$ va $60^\circ$ burchaklar tomoni 1 boʻlgan teng tomonli uchburchakning yarmidan olinadi, uning katetlari $\frac{1}{2}$ va $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $0$: $(1, 0)$ nuqta, demak, $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ nuqta, demak, $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ nuqta, demak, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nuqta, demak, $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: $(0, 1)$ nuqta, demak, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\tan\frac{\pi}{2}$ esa aniqlanmagan.

Eslab qolishga bir qonuniyat yordam beradi: $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ ning sinuslari $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ ga teng, kosinuslari esa xuddi shu roʻyxatning teskari tartibi. Har bir nuqta $x^2 + y^2 = 1$ ni ham qanoatlantiradi; masalan, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Keltirish burchaklari va boshqa choraklar

Oʻn oltita standart nuqtaning hammasini alohida yodlash shart emas. Har bir burchakning keltirish burchagi bor: bu uning oxirgi tomoni bilan x oʻqi orasidagi oʻtkir burchak. Burchak koordinatalarining kattaligi keltirish burchagi koordinatalariniki bilan bir xil, faqat ishoralar chorakka qarab oʻzgaradi.

• I chorak ($0$ dan $\frac{\pi}{2}$ gacha): $x$ va $y$ musbat, demak, uchala funksiya ham musbat.
• II chorak ($\frac{\pi}{2}$ dan $\pi$ gacha): $x$ manfiy, $y$ musbat, demak, faqat sinus musbat.
• III chorak ($\pi$ dan $\frac{3\pi}{2}$ gacha): ikkalasi ham manfiy, demak, faqat tangens musbat.
• IV chorak ($\frac{3\pi}{2}$ dan $2\pi$ gacha): $x$ musbat, $y$ manfiy, demak, faqat kosinus musbat.

Xuddi shunday, $\frac{3\pi}{4}$ ning keltirish burchagi II chorakda $\frac{\pi}{4}$ boʻlib, $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ nuqtani va $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$ ni beradi.

Manfiy burchaklar va bir aylanishdan katta burchaklar

Toʻliq aylanishni, yaʼni $2\pi$ ni qoʻshish yoki ayirish xuddi shu nuqtaga olib keladi, shuning uchun sinus va kosinus har $2\pi$ da takrorlanadi. Oxirgi tomoni umumiy boʻlgan burchaklar koterminal burchaklar deyiladi. Katta burchakni hisoblash uchun u 0 va $2\pi$ orasiga tushguncha $2\pi$ ga karrali sonlarni ayiring; manfiy burchak uchun esa $2\pi$ ga karrali sonlarni qoʻshing.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$, demak, uning nuqtasi $\frac{\pi}{4}$ niki bilan bir xil: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ burchak $\frac{11\pi}{6}$ bilan koterminal, demak, $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ va $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, demak, $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

x oʻqiga nisbatan simmetrik aks ettirish yana ikki simmetriya qoidasini koʻrsatadi: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, yaʼni kosinus juft funksiya, va $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, yaʼni sinus toq funksiya. Tangensning davri qisqaroq, $\pi$ ga teng, chunki $\theta$ va $\theta + \pi$ ga mos nuqtalar bir-biriga qarama-qarshi joylashgan va bir xil $\frac{y}{x}$ nisbatni beradi.

Asosiy trigonometrik ayniyat va boshqa nisbatlarni topish

Aylanadagi har bir nuqta $x^2 + y^2 = 1$ ni qanoatlantirgani uchun har bir burchak trigonometriyadagi eng muhim ayniyatni qanoatlantiradi:

Ishorani chorak hal qiladi; ayniyatning oʻzi faqat kattalikni beradi. Trigonometrik ayniyatlar qoʻllanmasi shu ayniyatdan yana koʻplab ayniyatlarni keltirib chiqaradi.

Oddiy trigonometrik tenglamalarni aylana yordamida yechish

$0 \le \theta < 2\pi$ da $\sin\theta = \frac{1}{2}$ kabi tenglamani yechish uchun aylanada y koordinatasi $\frac{1}{2}$ boʻlgan barcha nuqtalarni izlang. Ular ikkita: biri I chorakda, $\frac{\pi}{6}$ da, ikkinchisi II chorakda, $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ da.

Xuddi shunday, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ uchun x koordinatasi $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ boʻlgan nuqtalar kerak, ular II chorakda $\frac{3\pi}{4}$ da va III chorakda $\frac{5\pi}{4}$ da joylashgan. Agar savolda barcha yechimlar soʻralsa, ixtiyoriy butun $k$ uchun $2\pi k$ ni qoʻshing: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ yoki $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Kalkulyatordagi arksinus yoki arkkosinus faqat bitta javob qaytaradi. Ikkinchi yechim qayerdaligini birlik aylana koʻrsatadi, kalkulyatorlar buni hech qachon qilmaydi.

Uni qanday samarali oʻrganish mumkin

Oʻn oltita nuqtani alohida faktlar sifatida yodlash sekin va ishonchsiz. Yaxshiroq yondashuv uchta narsani puxta oʻrganishdir: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ va $\frac{\pi}{3}$ uchun birinchi chorakdagi uchta nuqta; keltirish burchagini qanday topish; va har bir chorakda qaysi ishoralar amal qilishi. Shular bilan har qanday standart burchak bir necha soniya oladi.

Bir hafta davomida kuniga bir marta aylanani yoddan chizib, burchaklarni ham gradusda, ham radianda belgilab mashq qiling. Soʻng oʻzingizni tasodifiy burchaklar, jumladan, manfiy va $2\pi$ dan katta burchaklar bilan sinang. Birlik aylana kalkulyatori har qanday kirish uchun aniq qiymatlarni va keltirish burchagini beradi, shuning uchun javoblaringizni darhol tekshira olasiz. Sinuslar teoremasi va trigonometrik funksiyalar analizi kabi keyingi mavzular shu koʻnikmani talab qiladi.

Keng tarqalgan xatolar

• Koordinatalarni almashtirib yuborish: x koordinata kosinus, y koordinata esa sinus.
• Radianli masala uchun kalkulyatorda gradus rejimidan foydalanish yoki aksincha.
• Keltirish burchagini x oʻqidan emas, y oʻqidan oʻlchash.
• $\sin\theta = \frac{1}{2}$ kabi tenglamaga faqat bitta yechim berish.
• Kosinus nolga teng boʻlgan $\frac{\pi}{2}$ va $\frac{3\pi}{2}$ da tangens aniqlanmaganini unutish.

Aylanadan sinus va kosinus grafiklariga

Birlik aylana boʻylab soat miliga teskari yoʻnalishda bir tekis tezlikda harakatlanayotgan nuqtani tasavvur qiling. Uning x oʻqidan balandligi birinchi chorak aylanish davomida 0 dan 1 gacha koʻtariladi, yarim aylanishda yana 0 ga tushadi, uch chorakda $-1$ gacha pasayadi va toʻliq aylanishdan keyin 0 ga qaytadi. Bu balandlikni burchakka nisbatan chizish $y = \sin x$ ning tanish toʻlqinini hosil qiladi. Buning oʻrniga gorizontal holatni chizish $y = \cos x$ ni beradi, bu xuddi shu toʻlqinning chorak aylanish chapga siljigan koʻrinishidir.

Bu grafiklar haqidagi hamma narsani aylanadan oʻqish mumkin. Ularning qiymatlar sohasi $[-1, 1]$, chunki radiusi 1 boʻlgan aylanadagi nuqta koordinatalarining kattaligi hech qachon 1 dan oshmaydi. Ularning davri $2\pi$, chunki bitta toʻliq aylanish nuqtani boshlangan joyiga qaytaradi. Sinusning nollari $\pi$ ga karrali nuqtalarda, yaʼni nuqta x oʻqini kesib oʻtgan joylarda, kosinusning nollari esa $\frac{\pi}{2}$ ning toq karralilarida, yaʼni nuqta y oʻqini kesib oʻtgan joylarda. Grafiklarni aylanma harakatning yozuvi sifatida koʻrish trigonometrik funksiyalar nega suv koʻtarilishi, tovush toʻlqinlari, oʻzgaruvchan tok va sikl boʻyicha takrorlanadigan boshqa har qanday jarayonni modellashtirishini ham tushuntiradi.

Koʻp beriladigan savollar